IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle.

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1 IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle ( =0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps ( = constante). 2.1. Définition : CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement 0 : la position angulaire initiale : la position angulaire à linstant t = = constante : la vitesse angulaire = = 0 rd/s 2 : l accélération angulaire 2.2 Conditions aux limites du mouvement :

2 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer et 0 par les valeurs trouvées. 2.3. Équations du mouvement ou horaires: = 0 = constante = 0.t + 0 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires = 2. N / 60 Formule utile : Vitesse en rd/s Vitesse en tours/mn

3 V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M.C.U.V.) - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) - L accélération totale du point est a= (a n 2 + a t 2 ) 1/2 avec a t =R. =R. - Laccélération angulaire du solide est constante ( =constante). 2.1. Définition CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement 0 : la position angulaire initiale : la position angulaire à linstant t = 0 : la vitesse angulaire initiale = : la vitesse angulaire à linstant t = = constante : l accélération angulaire 2.2 Conditions aux limites du mouvement :

4 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer, 0 et 0 par les valeurs trouvées. 2.3. Équations du mouvement ou horaires: = constante =.t + 0 = ½..t 2 + 0.t + 0 = 2 – 0 2 / [2( – 0 )] Formule utile : 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires

5 Relation entre labscisse curviligne s et labscisse angulaire : s = R. (m) = (m). (rd) Exemple du périmètre du cercle : P = R. 2

6 Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire = : v = R. R. (m/s) = (m). (rd/s) Daprès Thalès : =V N /ON = V P /OP = V M /OM

7 Relation entre laccélération linéaire a et laccélération angulaire = : a t = R. = R. (m/s 2 ) = (m). (rd/s 2 ) a n = R. 2 = R. 2 (m/s 2 ) = (m). (rd/s) 2 Daprès Pythagore : a = ( a t 2 + a n 2 ) 1/2 a

8 V M = 0.06m. (2.3000/60)rd/s V M = 18,84 m/s formule littérale : Exercice 1: touret à meuler 1.1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule. Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn. V M = R. = R. 2.N/60 Application numérique :

9 1.2/ Calculez l'accélération de ce même point. formule littérale : Exercice 1: touret à meuler a M = 18,84 2 / 0,06 a M = 5 916 m/s 2 Application numérique : a M = (a t 2 + a n 2 ) 1/2 = a n =V 2 /R

10 Lextrémité de lhélice dun avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340m/s afin déviter sa détérioration 2.1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1,2m et OA=0,6m. T A,1/0 : cercle (O,OA) T E,1/0 : cercle (O,OE) Exercice 2: hélice davion (trajectoires)

11 Données : OE=1,20 m 1/0 = 340 (m/s) / 1.2 (m) = 283 rd/s V A,1/0 = 170 m/s V E,1/0 V A,1/0 Exercice 2: hélice davion (vitesses) Échelle des vitesses : 1 cm => 100m/s 2.3/ Tracer V E,1/0. En déduire graphiquement V A,1/0. 2.2/ Calculer la vitesse de lhélice si V E,1/0 =340m/s. formule littérale : V E,1/0 = R. = OE. 1/0 => 1/0 = V E,1/0 / OE A.N.:

12 2.4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E,1/0). Sa vitesse critique de 340m/s est constante. a E,1/0 = (a t 2 + a n 2 ) 1/2 = a n =V 2 /R Exercice 2: hélice davion (accélération) a E,1/0 a E,1/0 = 340 2 / 1,2 = 96 333 m/s 2 formule littérale : A.N.:

13 La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3s. Pour cela, écrire les équations horaires (t), (t) et (t). Exercice 2: Arrêt de lhélice davion

14 Lhélice sarrête => MCUV CICF t=0st=3s 0 =0rd = 0 =283rd/s =0rd/s = =.t + 0 =.3 + 283 = - 94 rd/s 2 = - 94.t + 283 rd/s = - 47.t 2 + 283 t rd Calcul du nombre de tours n : n = 426/2 =68 trs 426 rd Réponses : Équations du mouvement : = - 94 rd/s 2 - 94 rd/s 2 Résolution : = 426 rd = ½..t 2 + 0.t + 0 = [- 47.3 2 + 283 3]

15 Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.6/ Calculer a (E,1/0) à l'instant t = 2s. Exercice 2: arrêt de lhélice davion

16 a E,1/0 = (a n 2 + a t 2 ) 1/2 Donc a E1/0 = [ 10 830 2 + (-113) 2 ] 1/2 a E1/0 = 10 830 m/s 2 Calcul de à t=2s : * a n = R. 2 * a t = R. => a n = R. 2 = 1,2. 95 2 = 10 830 m/s 2 => a t = 1,2. -94 = -113 m/s 2 = - 94 = - 94.t + 283 = - 47.t 2 + 283 t Équations horaires: 0<t<3s Réponses : = - 94.2 + 283 = 95 rd/s formule littérale : Application numérique :

17 Étude du démarrage à vide : 3.1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par larbre 2 pendant le démarrage. Exercice 3 : transmission Soit la chaîne cinématique dune transmission de puissance. Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4.

18 CICF t=0st=2s 0 =0rd = 0 =0rd/s = = MCUV =.2 + 0 = = 12,5 rd/s 2 = = 12,5.t rd/s = 6,25.t 2 rd Calcul du nombre de tours à t=2s : Calcul de la vitesse de larbre 2 : r = Ns/Ne => Ns = r. Ne Ns. = (1/4).3000 =750 tr/mn s =(2 /60).Ns = 25 rd/s 25 rd/s Réponses : démarrage 12,5 rd/s 2 25 rd n = = 25 / 2 n = 12.5 tours * =.t + 0 = 12,5 rd/s 2 * = ½..t 2 + 0.t + 0 = 6,25.2 2 = 25 rd Équations du mouvement :

19 Calcul de V I2/0 maxi: Formule littérale : V = R. A.N.: V I2/0 = 0.16m. 25 rd/s = 4 m/s Calcul de a I2/0 maxi: Formule littérale : a =(a t 2 + a n 2 ) 1/2 =[ (R ) 2 + (V 2 /R) 2 ] 1/2 A.N.: a I2/0 = [(0,16.12,5 2 + (16 2 / 0,16) 2 ] 1/2 a I2/0 = [(2 2 + (100 2 ) 2 ] 1/2 = 987 m/s 2 3.2/ Déterminer la vitesse V I2/0 et laccélération A I2/0 max. CICF t=0st=2s 0 =0rd = 25 rd 0 =0rd/s = 25 rd/s = 12,5 rd/s 2

20 3.3/ larrêt seffectue en 2,5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos. Exercice 3 : Étude du freinage

21 CICF t=0st= 0 =0rd =2,5.(2 rd 0 =25 rd/s =0rd/s = MCUV => = -(25 ) 2 / 2.(5 ) = -62.5.t +25 rd/s = -31,25.t 2 +25 t rd Réponses : freinage -62,5 rd/s 2 0,4 s = -62,5 rd/s 2 formule utile : = [ 2 - ] / 2( - 0 ) = -62,5 rd/s 2 * =.t + 0 0 = -62.5.t +25 t = -25 /-62.5 t = 0,4 s < 1 sCQFV Équations du mouvement :

22 3.4/ Tracer le graphe de vitesses (rd/s) (rd/s) t (s) 0 25 25 9,6102

23 10 tours 45 tours 63 tours La position angulaire dun pignon animé dun mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6.t 2 + 3 t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? Exercice QCM 4:

24 s = 10 m s = 6,3 m s = 3,15 m Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6.t 2 + 3 t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. Exercice QCM 5:

25 = 12 rd/s 2 = 9 rd/s 2 = 6 rd/s 2 La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t 2 + 3 t. Quelle est son accélération angulaire ? Exercice QCM 6:

26 = 3 rd/s = 6 rd/s = 12 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t 2 + 3 t. Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? Exercice QCM 7:

27 = 6 t + 3 rd/s = 3.(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t 2 + 3 t. Quelle est léquation de sa vitesse angulaire ? Exercice QCM 8:

28 = 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s Exercice QCM 9:

29 = 10 rd/s 2 = 30 rd/s 2 = 90 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer laccélération de larbre moteur durant cette période ? Exercice QCM 10:

30 t = 12 s t = 3 s t = 1 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Exercice QCM 11:

31 = -3.t 2 + 9 t = -6.t 2 + 9 t = -1.5.t 2 + 9 t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9 Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer langle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd Exercice QCM 12:

32 = - 50 rd/s 2 = - 100 rd/s 2 = - 200 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt seffectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Exercice QCM 13:

33 10 tours 45 tours 63 tours La position angulaire dun pignon animé dun mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6t 2 + 3t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? Corrigé Exercice QCM 4: = 6 t 2 + 3 t n = = 10 tours = 6x3 2 + 3x3 = 63 rd

34 s = 10 m s = 6,3 m s = 3,15 m Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6t 2 + 3t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. Corrigé Exercice QCM 5: s = R s = 0,05m x rd = 3,15 m

35 = 12 rd/s 2 = 9 rd/s 2 = 6 rd/s 2 La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6t 2 + 3t Quelle est son accélération angulaire ? Corrigé Exercice QCM 6: = ½ t 2 + 0 t + 0 = 6 t 2 + 3 t

36 = 3 rd/s = 6 rd/s = 12 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6t 2 + 3t Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? Corrigé Exercice QCM 7: = ½ t 2 + 0 t + 0 = 6 t 2 + 3 t

37 = 6 t + 3 rd/s = 3(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation : = 6t 2 + 3t Quelle est léquation de sa vitesse angulaire ? Corrigé Exercice QCM 8: = = 12t + 3 = 3(4t + 1) rd/s

38 = 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s Corrigé Exercice QCM 9: N = 1146 tours/minute = 2 N / 60 = 120 rd/s

39 = 10 rd/s 2 = 30 rd/s 2 = 90 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer laccélération de larbre moteur durant cette période ? Corrigé Exercice QCM 10: = t + 0 = 3 + 120 = 30 / 3

40 t = 12 s t = 3 s t = 1 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Corrigé Exercice QCM 11: = -3t + 9 t = - 9 / - 3 = 3 s

41 = -3.t 2 + 9 t = -6.t 2 + 9 t = -1.5.t 2 + 9 t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = - 3t + 9 Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer langle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd Corrigé Exercice QCM 12: = - 3 t + 9 = t + = - 3 rd/s 2 = 9 rd/s

42 = - 50 rd/s 2 = - 100 rd/s 2 = - 200 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt seffectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Corrigé Exercice QCM 13: Données : N=1500 tr/mn = 2 N / 60 = 50 rd/s n=12,5 tours = 2 n = 25 rd Application num. : = - (50 ) 2 / 2( ) Formule littérale : = ( 2 - 0 2 ) / 2( - 0 )