Passer à la première page Initiation au calcul des structures dans le domaine plastique Elasto - plasticité en petite transformation Cours.

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1 Passer à la première page Initiation au calcul des structures dans le domaine plastique Elasto - plasticité en petite transformation Cours

2 Passer à la première page Objectifs Introduction à la plasticité « classique » Aborder la résolution de problème non linéaire Utiliser un code de calcul en non linéaire

3 Passer à la première page Plan Aspect physique - modèles analogiques Elasto-plasticité des barres (1D) étude des treillis Elasto-plasticité des poutres (3D ==> 1D) étude des portiques (rotule plastique) Critères 3D & règles d ’écoulement plastique

4 Passer à la première page Supports : Polycopié de cours Sur le site intranet de l ’école Cours, Exercices, projets Doc d’utilisation et tutorials des logiciels ALGOR CASTEM Evaluation : 2 notes : TD - TA sur 10 Projet sur 10

5 Passer à la première page Aspects physiques Déformations Elastiques (instantanées - réversibles) Visqueuses (f ct du temps) Plastiques (irréversibles - non linéaire)

6 Passer à la première page les Essais Ecrouissage imposé mesuré Fluage - recouvrance imposé mesuré Relaxation mesuré imposé

7 Passer à la première page Modèles rhéologiques Modèles « linéaires » ==> solides visco - élastiques Le ressort ou de l ’amortisseur peuvent être non linéaire

8 Passer à la première page Modèles non linéaires Modèles de base de la plasticité

9 Passer à la première page Ecrouissage monotone Essai de traction oo Impossible à mesurer ==> Norme  e (A)  p (A) A Cycles charges- décharges   observation Domaine élastique

10 Passer à la première page Ce n ’est pas si simple !! 1 er passage 2 ème passage Il faut connaître l ’historique du chargement Caractère incrémental des lois de comportement en plasticité On utilise un temps cinématique = temps réel/

11 Passer à la première page Ecrouissage   Ecrouissage monotone Ecrouissage ISOTROPE Même augmentation en traction et compression W def élastique Ecrouissage CINEMATIQUE Effet Baushinger durcissement dans un sens adoucissement dans l ’autre  o

12 Passer à la première page Critère   E ETET Modélisation  s (E) Etat actuel (    Etat présumé  Etat réel Loi d ’écoulement plastique

13 Passer à la première page Evolution élasto-plastique des Treillis Résolution Explicite Analytique (RDM) par la MEF Modèles EPP et EPE Chargements cycliques Résolution Numérique (MEF) Algorithmes de résolution des Pb non linéaire Newton-Raphson et N-R modifié Algorithme de projection sur le critère Calcul du résidus {F int }-{F ext }

14 Passer à la première page Application Structure à étudierModèle EPP (pas d ’écrouissage)

15 Passer à la première page oSoS oSoS N1N1 N2N2 Domaine d ’élasticité 3 C  D 4 2B 1 A 1 Phase élastique En A : 2 Phase élasto-plastique En B ruine de la structure On ne peut pas calculer directement les déformations plastiques de la barre 2 E 5 5 Phase élasto-plastique en compression En E ruine de la structure 3 Décharge élastique En C (F = 0) // à 1 Contraintes résiduelles : Les déformations plastiques ne vérifient pas les conditions de compatibilité 4 En D (F = -  o S) Il y a plastification de la barre 2 en compression 6 C' A' 6 Phase élastique 7 7 Phase élasto-plastique Le domaine d'élasticité n'est pas modifié au cours du chargement car le matériau est EPP

16 Passer à la première page N1N1 N2N2 Ecrouissage ISOTROPE

17 Passer à la première page N1N1 N2N2 Ecrouissage CINEMATIQUE

18 Passer à la première page Résolution numérique Principe Incrément de charge donné Calcul élastique ==> Pour chaque élément Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==> ==> Assemblage et calcul du résidu {R} = {  F ext }-{  F int } SiIl faut itérer

19 Passer à la première page Algorithme de résolution FF Solution cherchée U F F = K(u) U Maillage éléments finis Définition de l ’historique du chargement (incréments  F) Définition des lois de comportement  o,E,E T Calcul de [K] Pour chaque incrément {  F} Initialisation du résidu {R} <== {  F} Tant que || {R} || >  Calcul de {  U} = [K] -1 {R} Pour chaque élément déformation ==> projection {  F int } e fin pour Nouveau résidu {R} = {R} - {  F int } fin tant que Impression des résultats de l ’incrément fin pour Convergence lente {R  } Convergence la plus rapide Calcul de [K(u)]

20 Passer à la première page PROJECTION sur le critère de plasticité si  +  e >  s (E) élément en cours de plastification  e Etat réel  p  e Projection sur le critère Etat présumé  Cas particulier  =  s (E) incrément plastique  s (E)   E ETET Etat actuel (    si non  +  e <  s (E) incrément élastique

21 Passer à la première page A vous de jouer...

22 Passer à la première page Plasticité des poutres Rappels Equations « PFD » 3 Hypothèses de Bernoulli 12 4 L.C. Elastique Intégrée sur la section 4 équations pour 4 champs ==> résolution En plasticité ce qui change c ’est la LC intégrée on pose

23 Passer à la première page Pour Objectif : obtenir la LC élasto-plastique Début de plastification des fibres pour LC élasto-plastique Essai de flexion pure ==> M f = cte

24 Passer à la première page Facteur de forme plastique d ’une section Représente la réserve vis à vis de la plastification totale : 1 pas de réserve

25 Passer à la première page Essai de flexion simple Négligeons T et utilisons la LC==>

26 Passer à la première page Etude de Comportement asymptotique ==> notion de rotule plastique Modèle simplifié - rotule plastique Application Etude des portiques charges limites

27 Passer à la première page Phase élastique ==> critère ==> Rotule plastique en A pour Phase élasto-plastique ==> F 2 charge de ruine critère

28 Passer à la première page A vous de jouer...

29 Passer à la première page Plasticité 3D Critère (fonction de charge) État actuel est intérieur au domaine d ’élasticité État actuel se situe sur la frontière du domaine (état plastique) Un état extérieur au domaine d’élasticité est physiquement impossible à obtenir Le domaine d’élasticité représente l’ensemble des états  admissibles. Modèle EPE Modèle EPP Ecrouissage « E » Doit respecter les symétries matérielles

30 Passer à la première page Critère de Von Mises (1910) Pour les métaux Partie sphérique ==> utilisation du déviateur des  Fonction de charge ==> essai de traction : {  VM Contrainte de Von Mises

31 Passer à la première page Critère de Tresca (1870) Contraintes principales  T Contrainte de Tresca Critère dit de cisaillement maximal Tresca plus sévère de 13%

32 Passer à la première page Loi d ’écoulement plastique Principe de Hill Dissipation plastique associée à ==> D e est convexe d  p est normal à la surface de charge Loi de normalité Von Mises ==>

33 Passer à la première page Principe de la résolution numérique Soitla solution de Pour chaque élément Aux points de Gauss La sol. Supposée élastique SiOK schéma numérique Schéma idéal Si non il faut projeter sur D e