Système de coordonnées

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1 Système de coordonnées
Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Khayar-marrakh Système de coordonnées Cylindriques Réalisé par A. KHAYAR R. MARRAKH Professeurs assistants - département de physique

2 Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

3 Pré requis : Objectifs : Système de coordonnées cartésiennes
Khayar-marrakh Système de coordonnées cartésiennes Grandeurs scalaires et vectorielles Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte… Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de : Repérer un point de l’espace en utilisant le système de coordonnées cylindriques. Passer des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes Utiliser ce système de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie cylindrique.

4 Coordonnées cylindriques
Khayar-marrakh Coordonnées cylindriques

5 Ox+ le demi-axe positif
Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. Comment le repérer ? Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , j et z. Ces coordonnées sont appelées coordonnées cylindriques. y x z O si on connait la distance Om = r Utilisons d’abord le système cartésien. Peut on repérer le point m par de nouvelles coordonnées ? On trace les axes du repère et on projette M sur le plan Oxy. Question : M ( , , ) Ainsi, M est repéré par les coordonnées x, y et z. Coordonnées Domaine de variation  Oui, le point m est parfaitement repéré, Réponse : z z et l’angle j. r = Om ] 0 , +  [ z donne la cote du point M. x et y repère m dans le plan Oxy. y y j = ( Ox+, Om) [ 0 , 2p [  Origine : le point O x x j j   z = mM ] - , +  [ m Ox+ le demi-axe positif (origine des phases)

6 Expressions de r et j en fonction de x et y.
Khayar-marrakh z f ( r , j ) M g ( r , j ) y m m' x  O j y O y x x j j   Objectif : On cherche à exprimer x et y en fonction de r et j. Soient les coordonnées ( x , y ) et ( r , j ) du point m. m' m x Considérons le triangle rectangle Om' m. Dans ce triangle on a :

7 Surfaces de Coordonnées
Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r = ro ( j et z varient respectivement de 0 à 2p et de –  à +  ) Deuxième surface de coordonnée j = j o ( r et z varient respectivement de 0 à +  et de –  à +  ) Troisième surface de coordonnée z = zo ( r et j varient respectivement de 0 à +  et de 0 à 2p )

8 Première surface de coordonnée r = ro
z Khayar-marrakh Pour z = 0 : ( M ≡ m ) Lorsque on fait varier j de 0 à 2p… Soit M un point de coordonnées r , j et z. Si on fixe r ( r = ro ) Réponse : M m Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon ro. Question : Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier j et z ? Pour z quelconque : O r0 r j y Lorsque on fait varier z de façon continue… M Pour z > 0 : Les cercles sont au dessus du plan Oxy. [ 0,2p [ ] -,+ [ x Pour z < 0 : L’ensemble des cercles forme un cylindre indéfini. Les cercles sont au dessous du plan Oxy. Conclusion :  C’est la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées cylindriques  La première surface de coordonnée décrite par le point M est un cylindre de révolution d’axe Oz et de rayon ro.

9 Deuxième surface de coordonnée j = jo
Khayar-marrakh z Pour z = 0 : ( M ≡ m ) Si on fixe j ( j = jo ) à +  … Lorsque on fait varier uniquement r de 0 Question : Réponse : Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier r et z ? Le point M décrit, à partir de l’origine O, une demi-droite, dans le plan Oxy, faisant un angle jo avec l’axe Ox+. M z ] 0 , + [ ] - , +  [ Pour z quelconque : Pour z > 0 : o Si on fait varier z de façon continue … y Les demi-droites sont au-dessus du plan Oxy j jo r Pour z < 0 : m Les demi-droites sont au-dessous du plan Oxy L’ensemble des demi-droites forme un demi- plan ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle jo avec l’axe Ox+. x Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) faisant un angle jo avec l’axe Ox+.

10 Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon r .
Troisième surface de coordonnée z = zo Khayar-marrakh Si on fixe z ( z = zo )  Lorsque on fait varier j de 0 à 2p … z Réponse : Question : Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on varie j et r ? . O′ Z o Z 0 r Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon r . M Maintenant, si on fait varier r de façon continue … on obtient un ensemble de cercles de centre O′ . Pour d’autres valeurs de r , [ 0 , 2p [ ] 0 , +  [ O r j y m L’ensemble de cercles de centre O forme un disque de rayon infini plan de cote zo . x Conclusion : La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un plan perpendiculaire à l’axe Oz.

11 Axes de Coordonnées Définition :
Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r z = zo et j = jo Axe des j r = ro et z = zo Axe des z r = ro et j = jo

12 Leur intersection donne
Axe des r Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées:  = o Z = Zo et zo r y Leur intersection donne l’axe des r O jo x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo et du demi-plan jo, forme une demi-droite perpendiculaire à l’axe Oz. Cette demi-droite, ayant son origine sur Oz, est appelée axe des r .

13 Leur intersection donne
Axe des j Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées: ro ro r = ro et Z = Zo  Zo y o Leur intersection donne l’axe des j x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo, et du cylindre de rayon ro; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des j.

14 Leur intersection donne
Axe des z Khayar-marrakh z z ro On trace les deux surfaces de coordonnées : r = ro  = o et y o Leur intersection donne l’axe des z jo x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cylindre, de rayon ro, et du demi-plan jo, forme une droite perpendiculaire aux plans Oxy. Cette droite est appelée axe des z.

15 r j z Vecteurs unitaires z z
Khayar-marrakh z O z y x z Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. A partir de M on trace les vecteurs unitaires. ez j ez r O’  O′ er Axes vecteurs unitaires ej M' ej M er r j porté par l’axe des r , dans le sens croissant de la variable r. tangent à l’axe des j , dans le sens croissant de la variable j. z Porté par l’axe des z , dans le sens croissant de la variable z. Conclusion : sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des j et des z dirigés dans le sens croissant des variables r, j et z . et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace. Pour un autre point M'

16 Objectif:On cherche à exprimer , et dans le système cartésien.
Expressions de , et dans le système cartésien er ej ez Khayar-marrakh Dans le plan Oxy on a la configuration suivante : O z y x x y O ex ey ej e m ej e z ez ej Ces deux vecteurs unitaires sont identiques dans les deux systèmes de coordonnées Objectif:On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. er ej ez j Réalisons une vue de dessus. M er r ez ex ey j j j m

17 j r z Déplacement élémentaire z
Khayar-marrakh O z y x z M z r j M r + d r Soient M et M deux points de l’espace. j + d j N.B. : M est infiniment voisin de M. j O' z + dz M dj  M1 dz  M dj d M2 Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : MM Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM Réponse : Question : j Premier déplacement suivant l’axe des MM1 = M1 M2 = M2 M =  dj d dz de M vers M1 MM1 =  dj r Deuxième déplacement suivant l’axe des MM = MM1 + M1 M2 + M2 M M2 M’ z r + dr j + dj z + dz M M1 z r j j + dj M1 M2 z r j + dj r + dr de M1 vers M2 ou encore : M1 M2 = d z Troisième déplacement suivant l’axe des MM = M1M2 + MM1 + M2 M de M2 vers M M2 M = dz

18 dS r dj dz A retenir : = = Surfaces élémentaires
Khayar-marrakh z On se trouve sur la surface latérale du cylindre de rayon r r = constante M Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface latérale du cylindre r =constante définit un élément de surface M' Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , suivi d’un autre suivant l’axe des z , on obtient l’élément de surface dj N.B. : M' est infiniment voisin de M. dS  dS = dS Λ d z O r dj dz = r d j y x A retenir : dS = r dj dz

19 Khayar-marrakh On se trouve sur un plan parallèle au plan Oxy de cote z. z = constante x y z O Un déplacement élémentaire MM’ sur le plan z = constante définit un élément de surface M M' dS j dj  z Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j, r on obtient l’élément suivi d’un autre le long de l’axe des r, N.B. : M' est infiniment voisin de M. dS dS = Λ dj r dr r dr dj = A retenir : dS = r dr dj

20 j dS A retenir : dr dz z r = = On se trouve sur le demi-plan j.
Khayar-marrakh z O x y z On se trouve sur le demi-plan j. j = constante Un déplacement élémentaire M M', sur la surface j = constante, définit un élément de surface M M' dS r Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des r , N.B. : M' est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des z , on obtient un élément de surface j dS dz dr dS A retenir : dS = dr dz = Λ dr dz =

21 dt dt = ( ) A retenir : r dr dj dz =
Volume élémentaire Khayar-marrakh z O z y x Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. dj M' j dj  O’ Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. dt M Traçons d’abord les axes de coordonnées On obtient le volume élémentaire dt et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. Surface de la base dt = ( ) Λ A retenir : dt = r dr dj dz dz dj r dr dj dz = d

22 Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2006