1 Présentation du cours  Théorie Bases de la théorie des sous-ensembles flous  Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro.

Présentation au sujet: "1 Présentation du cours  Théorie Bases de la théorie des sous-ensembles flous  Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro."— Transcription de la présentation:

1 1 Présentation du cours  Théorie Bases de la théorie des sous-ensembles flous  Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro

2 2 Bibliographie  « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que- sais-je? PUF, N° 2702.  « Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.  « La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995  « Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

3 3 Plan du cours  Introduction  Présentation du cours  Définitions de base Sous-ensemble flou (sef) Caractéristiques de sef Opérations sur les sefs  Quelques applications commerciales de la logique floue

4 4 Introduction  L'imprécision du monde réel Le flou est partout Le flou est humain Le flou est plus souple  Théorie des sous-ensembles flous « mesurer une gradation dans l'appartenance à un ensemble » Une théorie mathématique formelle pour la prise en compte de l'imprécision et des incertitudes  Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in Information and Control, 1965.

5 5 Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle  Dissoudre le flou puis traiter des données précises informations floues  informations précises  part importante d'arbitraire  analyse de la sensibilité indispensable  plusieurs jeux de données traités un par un  comparaison des résultats

6 6 Gestion des imprécisions - Approche floue  Traiter des données floues puis dissoudre le flou Garder le flou comme une information Reporter la dissolution du flou le plus tard possible et sur la décision uniquement  Accroissement de la fiabilité et de la stabilité du système

7 7 Gestion des imprécisions  Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi Zadeh en 1965.  Modèle mathématique pour représenter l'imprécision et l'incertitude.  Idée des ensembles flous facile à comprendre : Freine dans 32m50 ou Freine bientôt  La précision n'est pas toujours utile.  Capable d'interpréter des informations imprécises et d'agir.

8 8 Ensembles classiques / Ensembles flous  ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant des propriétés précises  Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8 fonction caractéristique : m : R  {0, 1} m(x) = 1 si 6  x  8 0 sinon.  ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des propriétés imprécises  Exemple : ensemble des nombres proches de 7 fonction d'appartenance :  : X  [0, 1]  (x) pas unique.  différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance

9 9 Théorie des sous-ensembles flous X ensemble de référence A sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance       X  [0, 1] Caractéristiques Noyau : éléments appartenant de façon absolue Noy(A) = {x  X /   (x) = 1} Support : éléments appartenant au moins un peu Supp(A) = {x  X /   (x)  0}

10 10  Infinité de fonctions d'appartenance possibles  flexibilité, ajustement maximal pour une situation donnée  Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions  Toute fonction  X  [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X. Théorie des sous-ensembles flous

11 11 Probabilité / Flou ensembles flous = déguisement pour les statistiques ? NON A B  p(B) = 0.9 Quelle bouteille boirez-vous ?

12 12  A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique.  A est proche d'un liquide tout à fait potable.  Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales.  Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir. 2 philosophies différentes Probabilité / Flou

13 13 La théorie des sous-ensembles flous  Une extension de la théorie des ensembles classiques  Une théorie plus générale qui englobe la théorie des ensembles classiques La theorie des ensembles classiques et un cas particulier Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés existantes dans la théorie des ensembles classiques Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même temps  La logique floue: application de la théorie des sous- ensembles flous pour la modélisation du raisonnement Extension de la logique classique  La commande floue: utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques Cas particulier de la logique floue

14 14 1 0 Jeune X 15 203035 Exemples de sous-ensembles flous  X={moto,auto,train} (moyens de transport) A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train  X=[0, 130] (ensemble des âges) A: sous-ensemble de X des âges jeunes

15 15 Caractéristiques d'un sef  Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance f A.  Noyau de A : Noy(A) = {x  X | f A (x)=1}  Support de A : Supp(A) = {x  X | f A (x)>0}  Hauteur de A : h(A) = sup x  X f A (x)  Cardinalité de A: |A| =  x  X f A (x)

16 16 Opérations sur les sefs (1)  Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément  Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. f A et f B.  Égalité de sefs: A = B ssi  x  X, f A (x) = f B (x)  Inclusion de sefs: A  B ssi  x  X, f A (x) < f B (x)  Intersection de sefs: A  B:  x  X, f A∩ B (x) = min(f A (x), f B (x))  Union de sefs: A  B:  x  X, f A  B (x) = max(f A (x), f B (x))

17 17 Opérations sur les sefs (2)  Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice):  A U ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A  Associativité de ∩ et de U : (A U B) U C = A U(B U C)  Commutativité de ∩ et de U : A∩B = B∩A  Distributivité de ∩ par rapport à U : A∩(B U C) = ( A ∩ B) U( A ∩C) A U(B∩C) = ( A U B) ∩( A U C)

18 18 Opérations sur les sefs (3)  Complément A c d'un sous-ensemble flou  x  X, f Ac (x) = 1 – f A (x)  Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): (A c ) c = A (A∩B) c = A c U B c (A U B) c = A c ∩ B c  D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): A c ∩ A ≠ ∅ (contradiction) A c U A ≠ X (tiers exclu).

19 19 Opérations sur les sefs (4)  Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩ et U  Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que  x, y, F(x,y)  [0,1].  L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET)  L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)

20 20  Justification des choix des opérateurs Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants  D'autres opérateurs sont possibles : conjonction normes triangulaires (t-normes) disjonction conormes triangulaires (t-conormes) Propriétés communes : associativité, commutativité, monotonie, élément neutre. Opérations sur les sefs (5)

21 21 Normes triangulaires (t-normes)  Soit une fonction ⊤ :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que  x, y, z  [0,1]: ⊤ (x,y) = ⊤ (y,x)(commutativité) ⊤ (x, ⊤ (y,z)) = ⊤ ( ⊤ (x,y),z)(associativité) ⊤ (x,y)  ⊤ (z,t) si x  z et y  t (monotonie) ⊤ (x,1) = x (1 est élément neutre)  Exemples de telles fonctions : min(x,y), x ⋅ y, max(x+y-1,0)  ⊤ est une t-norme  Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

22 22 Normes triangulaires (t-conormes)  Soit une fonction  :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que  x, y, z  [0,1]:  (x,y) =  (y,x)(commutativité)  (x,  (y,z)) =  (  (x,y), z)(associativité)  (x,y)   (z,t) si x  z et y  t (monotonie)  (x,0) = x (0 est élément neutre)  Exemples de telle fonction: max(x,y), x+y-x ⋅ y, min(x+y,1)   est une t-conorme  Utilisée pour l'union

23 23 Dualité t-norme / t-conorme  Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié  Etant donné un opérateur de complémentation par exemple: fc = 1-f  Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et seulement si : 1 – ⊤ (x,y) =  (1-x, 1-y) 1 –  (x,y) = ⊤ (1-x, 1-y)  En terme de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan  Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) = min(1-x, 1-y)  On montre que (à faire en exercice) les opérateurs probabilistes sont duaux les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

24 24 Exemples  X={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train  X=[0, 130] (ensemble des âges) 1 0 Jeune X 15 20303570 55 Salarié

25 25  Une  -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A  extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé : soit   [0,1],  x  X, x  A  si et seulement si f A (x)  A  est un sous-ensemble classique de X. (f A  prend ses valeurs dans {0,1}).  On vérifie que (à faire en exercice): Si  >  ' alors A   A  ' et si B  A alors B   A  (A ∩ B)  = A  ∩ B , et (A  B)  = A   B   x  X, f A(x) = sup  ]0,1]  f  (x) (i.e. on peut reconstruire A à partir de ses  -coupes). Caractéristiques d'un sef (2):  -coupes

26 26 Relations entre sous-ensembles flous  Relation: notion fondamentale des mathématiques classiques Basée sur le produit cartésien d'ensembles  Les relations établissent des liens entre éléments soit d'un même ensemble soit d'ensembles différents  Elles permettent de construire des applications une application est une relation particulière

27 27 Produit cartésien de sefs  Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence  Soit X 1 et X 2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X 1 ×X 2, dont les éléments sont les couples (x 1,x 2 ), x 1  X 1 et x 2  X 2  Déf.: Soient A 1 et A 2 respectivement définis sur X 1 et X 2, on définit le produit cartésien A=A 1 ×A 2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance:  x  X, x=(x 1,x 2 ), f A (x)=min( f A1 (x 1 ), f A2 (x 2 ) )

28 28 X2X2 X1X1 A2A2 A1A1 x2x2 (x 2, x 1 ) x1x1 Produit cartésien

29 29 Exemple d'application du produit cartésien  X 1 ={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A 1 = 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train  X 2 ={pasCher, cher} (prix) Prix souhaité: A 2 = 0.7 / pasCher + 0.4 / cher  Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)

30 30 Relations floues  Une relation floue R entre 2 ensembles de références X et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion}  La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par:  (x,z)  XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))

31 31  Transitivité : propriété très utilisée pour des relations si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors est-ce que A ressemble à C ? si x < y et que y < z alors x < z  Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie R  R  R.  En particulier, si on utilise la composition max- min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si:  (x,z)  XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y), fR(y,z)) Relation floue transitive

32 32 Principe d'extension (1)  Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.

33 33 Entrée précise

34 34 Entrée floue

35 35 Principe d'extension (2)  Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X.  Définition: Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  :   y  Y, fB(y)= sup{x  X | y=  (x)}fA(x) si  -1 (y)≠ ∅ 0 sinon  Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

36 36 Exemple d'application du principe d'extension (1)  X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport)  Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)  On définit la fonction  qui associe une vitesse à un moyen de transport :  (camion)=L,  (caravane)=L,  (voiture)=N,  (moto)=R  Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane  Mesure de la vitesse d'un side-car? f B (L)= max(f sc (camion),f sc (caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 f B (N)= f sc (voiture)= 0.4 f B (R)= f sc (moto)= 0.5

37 37 Exemples d'application du principe d'extension (2)  Fonction mathématique classique:  (x)= x 2 A un sef de [0,1] de f. a. f A, le sef B de [0,1[ de f.a. f B qui correspond à la A 2.  y  Y, f B (y)= sup{x  X | y=x 2 } f A (x) si  -1 (y) ≠ ∅ 0 sinon  Mesure de surprise:  (p)= -log(p) A un sef de [0,1] de f. a. f A, le sef B de [0,1[ de f.a. f B qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.

38 38 Raisonnement flou  Variables linguistiques et propositions floues Variables linguistiques Proposition floue générale Implication floue  Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé  Application du Modus ponens généralisé

39 39 Variable linguistique  Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, XV, TV) V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) X V : univers des valeurs prises par V ( ℝ,...) T V = {A1, A2,...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V.  Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) 1 0 Age Très-jeune Jeune Agé

40 40 Proposition floue  Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, X V, T V ) Par exemple: « Age-personne est jeune »  Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes Soit « V est A » p.f.e. de (V, X V, T V ), et « W est B » p.f.e. de (W, X W, T W ), Exemples de proposition floue générale :  « V est A et W est B »  « V est A ou W est B »

41 41  Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou VRAI)  Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1]  Valeur de vérité p A de « V est A » : f A fonction d'appartenance de A  Négation: « V n'est pas A » : p Ac = f Ac = 1-f A  Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité p A et p B de chaque proposition floue élémentaire Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)  Conjonction « V est A et W est B » : p A  B = min(p A, p B )  Disjonction « V est A ou W est B » : p A  B = max(p A, p B ) Valeur de vérité d’une proposition floue

42 42  Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues « V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B » « V est A » est la prémisse « W est B » est la conclusion Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »  Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » : évaluée par une fonction implicative f I : X x Y  [0,1]  x  X,  y  Y, f I (x, y) =  (f A (x), f B (y))  est une fonction [0,1]x[0,1]  [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. Implication floue

43 43 Principales fonctions d'implication floue f I (x, y) =  (  A (x),  B (y)) -

44 44 Logique classique vs Logique floue

45 45 Mode de raisonnement classique  Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse  Conclusion Observation:Prémisse-observée Déduction:Conclusion  Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain  H est mortel Observation:Socrate est humain Déduction:Socrate est mortel

46 46  Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues  Soient (V, X V, T V ) et (W, X W, T W ) deux variables linguistiques Règle floue: V est A  W est B f A f B Observation floue:V est A' f A' Déduction:W est B' f B'  f A, f B, et f A' sont connus, on recherche la valeur de f B' (y),  y  Y Mode de raisonnement flou

47 47  Règle floue « V est A  W est B » Implication  x  X,  y  Y, f I (x,y)=  (f A (x), f B (y))  Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B'  Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner f I et f A' T est une t-norme T est liée à f I pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique.  On a, pour tout y  Y : f B' = sup x  X T(f I (x,y), f A' (x)) Modus ponens généralisé

48 48 Une règle

49 49 Plusieurs règles

50 50 Exemples d'opérateurs de MPG  Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v) Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,...  Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0) Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,...

51 51 Applications du modus ponens généralisé  Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire  Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification  Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')

52 52 Imprécisions et incertitudes  Théorie des sous-ensembles flous Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune ») traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes  ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 » De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes  « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la certitude que je puisse l'avoir? »

53 53 Théorie des possibilités  Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous- ensembles flous : But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances.  Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est même assez certain. »

54 54  Soit un ensemble de référence fini X  On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.  Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que:   ( ∅ )=0, et  (X)=1   (A,B)  P(X) 2,  (A ∪ B) = max(  (A),  (B)) Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1. Mesure de possibilité

55 55 Mesure de possibilité : propriétés  Une mesure de possibilité vérifie:  (A,B)  P(X) 2,  (A∩B) ≤ min(  (A),  (B)) En particulier, l'occurrence simultanée de 2 événements possibles peut être impossible  Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors  (A) ≤  (B)   A  P(X), max(  (A),  (A c )) = 1   A  P(X),  (A) +  (A c ) ≥ 1

56 56 Mesure de nécessité  Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement  (A) = 1 et  (A c )=1 peuvent être vérifiés en même temps: indétermination complète sur la réalisation de A.  On attribue à chaque événement un coefficient évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine.  Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :  N( ∅ )=0, et N(X)=1  ∀ (A,B) ∈ P(X) 2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))

57 57 Mesure de nécessité : propriétés  Une mesure de nécessité vérifie:  (A,B)  P(X) 2, N(A  B) ≥ max(N(A), N(B))  Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors N(A) ≤ N(B)   A  P(X), min(N(A), N(A c )) = 0   A  P(X), N(A) + N(A c ) ≤ 1

58 58 Relations possibilité / nécessité  Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité  par :  A  P(X), N(A) = 1 -  (A c )  Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire A c est possible.  On a de plus:  A  P(X),  (A) ≥ N(A)  A  P(X), max(  (A), 1-N(A))=1

59 59 Distribution de possibilité  Une mesure de possibilité est totalement définie si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X. si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires.  Une distribution de possibilité  est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : sup x  X  (x) = 1  A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité  :  A  P(X),  (A) = sup x  A  (x)

60 60  Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X  Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X.  Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.  On évalue alors la possibilité de B relative à A par :  (B; A)= sup x  X min (f B (x), f A (x))   (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B. Possibilité de sous-ensemble flou

61 61 Nécessité de sous-ensemble flou  Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.  On évalue alors la nécessité de B relative à A par :  (B; A)= 1-  (B c ; A)= inf x  X max (f B (x), 1-f A (x))  N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A.

62 62 Exemple  On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses.  Une moto roule à env. 100km/h.  Questions: Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide? Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »? 90 100 110 1 0 km/h Rapide ~100 km/h

63 63 Exemple : possibilité et nécessité  (env.100; Rapide)= sup x  X min (f env.100 (x), f Rapide (x)) = 0,6  (env.100; Rapide)= inf x  X max (f env.100 (x), 1-f Rapide (x))= 0 1 Rapide ~100 km/h 90 100 110 1 0 km/h Rapide ~100 km/h 90 100 110 0 km/h 0,6

64 64 Apprentissage non supervisé  Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan,...)  On ne connaît pas de classe à associer aux exemples  Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires  Clustering = construction de paquets

65 65 Méthodes de C-moyennes  Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means.  Partition d'une population  Affectation sans équivoque (  ou  ) de chaque exemple à une classe  L'algorithme: 1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes. 2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance). Constitution de clusters. 3. Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne, composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster. 4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters.

66 66 C-moyennes: étape 1

67 67 C-moyennes: étape finale X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X O O O

68 68 Méthodes des C-moyennes: Inconvénients  Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) Traduction en valeurs numériques Construction de matrices de distances  Problème du choix du nombre de centroïdes c  Problème du choix de la normalisation dans le calcul de la distance (même poids pour chaque composante) Pondération, normalisation, agrégation

69 69 Méthode des C-moyennes floues  Généralisation de l'algorithme des C-moyennes Partition floue des données Fonctions d'appartenance aux clusters  Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. Utilisation d'un critère permettant de mesurer les associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur  Index de performance

70 70 Rappels  Pseudo-partition floue Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A 1, A 2,..,A n } de X tel que:  x  X,  C-partition floue Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A 1, A 2,..,A c } de c sous-ensembles flous tels que :

71 71 C-moyennes floues Soit X={x 1, x 2,..., x n } un ensemble de données où chaque x k peut être un vecteur: x k =(x k1, x k2,...,x kp ) Étant donné une c-partition floue P= {A 1, A 2,..,A c }, les c centres v 1, v 2,..., v c associés à chaque cluster flou sont calculés par : Avec m  ℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. v i : centre du cluster flou A i Moyenne pondérée des données de A i Le poids d'une donnée x k est la puissance m ième de son degré d'appartenance à A i.

72 72  Soit la c-partition floue P= {A 1, A 2,..,A c }, son indice de performance est défini par:  Avec ||.||: norme sur ℝ p qui permet de mesurer la distance entre x k et v i  Plus J m (P) est faible, meilleure est P Index de performance d'une partition floue

73 73 Algorithme de Bezdek (1981)  Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means).  Hypothèses:  C connu,  On possède une distance (mesure),  Un réel m  ]1,+∞[ est donné,  Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).

74 74 Algorithme de Bezdek  Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P (0).  Etape 2: Calculer les c centres v 1 (t), v 2 (t),...,v c (t) pour P (t) grâce à (1)  Etape 3: Mise à jour de P (t) pour construire P (t+1) :  x k  X, Si alors si pour quelque i  I  ℕ c, alors on définit pour i  I par tout nombre réel >0 tel que: et on définit pour tout i  ℕ c -I  Etape 4: Comparer P (t) et P (t+1) Si | P (t) - P (t+1) | ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a : (distance entre les partitions)

75 75 Construction de clusters flous – Exemple

76 76 Construction de clusters flous – Résultat final

77 77 Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous  Un sef F est convexe si  (x, y)  RxR,  z  [x,y], f F (z)  min(f F (x), f F (y)) Propriété équivalente au fait que toute  –coupe de F est une partie convexe de R.  Quantité floue : sef normalisé de R.  Intervalle flou : quantité floue convexe  Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact. abm 1 R 0

78 78 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1)  Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : L(0)=R(0)=1 L(1)=0 ou L(x)>0  x avec lim x  L(x)=0 R(1)=0 ou R(x)>0  x avec lim x  R(x)=0 I=(m,m’,a,b) LR

79 79 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2)  Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’.  Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires.

80 80 Arithmétique floue – Opérations sur les L-R I=(m,m’,a,b) LR J=(n,n’,c,d) LR alors :  -I=(-m’,-m,b,a) RL  I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d) LR  I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c) LR si L=R