1. 2 de la causalité Sortie les mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille Marc Ouziaux.

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2 2 de la causalité Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille Marc Ouziaux

3 3 I.) ANALYSE ET CONCEPTION DES SYSTÈMES II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMES III.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES SYSTÈMES Programme de PT-PT*

4 4 II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMES II.1.) Mécanique des chaînes de solides II.1.1.) Dynamique des solides à masse conservative II.1.1.a) Caractéristiques d'inertie des solides II.1.1.b) Cinétique II.1.1.c) Principe fondamental de la dynamique II.1.1.d) Représentation causale II.1.2.) Analyse des mécanismes II.1.2.a) Définitions II.1.2.b) Étude des chaînes de solides indéformables II.1.2.c) Formules de mobilité II.1.3.) Résistance des matériaux II.2.) Fonctions techniques II.3.) Définition des ensembles mécaniques II.4.) Approche Produit-Procédé-Matériau

5 5 représentations graphiques (graphe informationnel causal ou bond graph). Points du programme abordés : II.1.1.d) Représentation causale variable d’état associée à : - masse conservative, - une raideur, - un frottement visqueux ; relation de transformation (équations différentielles) ;

6 6 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

7 7 1) Notion réduite de causalité Un système asservi possède deux parties essentielles : - le processus que l'on commande : tension débit de gaz déplacement température 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal une machine à commande numérique un four à traitement thermique

8 8 - le dispositif de commande. Il a pour objectif d’imposer le comportement du processus par inversion de causalité, quelle que soit la nature de ce dispositif. Il est donc évident que le dispositif de commande ne peut être étudié sans avoir, au préalable, déterminé les caractéristiques du processus. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

9 9 2) Étude du processus - Qu'est ce qu'un processus ? C'est un assemblage d'objets fonctionnant selon la règle de causalité. - Règle de causalité Il existe des grandeurs influentes et d'autres influencées, reliées entre elles par des relations de transformation à l'intérieur d'un processeur. La sortie ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée. Ces relations sont explicitées par des équations différentielles linéaires ou non. Elles présentent naturellement un ordre de dérivation plus élevé sur les sorties que sur les entrées. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

10 10 qui peut encore s'écrire : Toute équation différentielle impose entrée et sortie. C'est une relation causale. On ne peut pas indifféremment choisir l'entrée ou la sortie. - On procède alors à la mise en équations. Étudions quelques exemples :  u = R.i relation rigide ou autoduale indifféremment u ou i en entrée, elle n'est pas causale C m :entrée  :sortie C r : perturbation

11 11 - On dit que la vitesse "intègre le couple" - Si on a une équation différentielle avec des termes du même ordre dans les deux membres, on dit que la relation est semi-rigide. - La représentation faite est satisfaisante sur le plan mathématique. Elle aurait pu être mise sous une forme "plus mécanicienne" : CrCr CmCm  - + f CrCr CmCm  - - + 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

12 12 entrée :u  sortie :i perturbation : e i u e + - CrCr CmCm  - + i u e + - k k Les relations causales orientent le processus.

13 13 - Si on avait dû étudier une dynamo, on aurait eu la même équation différentielle, donc la même causalité. Il ne faut donc pas permuter trop rapidement entrée et sortie ! Ce sont les signes de certaines variables qui auraient été modifiés, selon la convention que l’on se donne au départ. - Le processus décrit comporte une boucle mais n'est pas pour autant un système asservi, c'est seulement un système bouclé dû au principe des actions mutuelles, caractéristique de tous les systèmes mettant en jeu de l’énergie. Remarques :

14 14 Si le système est trop compliqué, on procède par identification à une forme mathématique connue. ?E(p) S(p)

15 15 Conclusions : On peut toujours, par mise en équation ou par identification, associer une fonction de transfert au processus. On est conduit à imaginer que l’entrée et la sortie sont facilement identifiables.

16 16 3) Étude de la commande Le processus présente certaines caractéristiques ne respectant pas le cahier des charges (précision, stabilité, rapidité). On imagine d'inverser la causalité créée par le processus. Si la relation est rigide et biunivoque, aucun problème ! Si la relation est causale, il faut imaginer selon un concept d’actions mutuelles : U  Processus U  ?  1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

17 17 V  Capteur V On compare V par rapport à une référence V réf ou consigne. Si l'on a l'information V = V réf, c'est parfait, c'est ce qui est souhaité ! par contre si V  V réf, il faut pouvoir : comparer  nécessité d'avoir un élément de type soustracteur... amplifier  nécessité de placer un élément donnant un gain important

18 18  réf K(p) Réelle ou fictive Pratiquement impossible de réaliser cette condition, on essaie de réaliser au moins l’égalité des gains statiques Même fonction que le capteur Capteur V Processus U  CrCr Ampli. Capteur : K(p) V réf  U V  + - CrCr +  - Ampli.

19 19 ProcessusAmpli. Capteur : K(p) V réf  U V  + - CrCr  réf K(p)  réf K(p).Ampli.processus  V  + - CrCr est équivalent à : On serait tenté de simplifier, car mais tout sens physique à disparu !

20 20 Écart "vrai" ou écart sur la sortie - +  réf K(p) ProcessusAmpli. Capteur : K(p) V réf  U V  + - CrCr Le système possédant deux entrées, on peut en profiter pour repréciser les deux fonctions de transfert en poursuite et en régulation ainsi que la notion d’écart sur la sortie.

21 21  Processus U  CrCr Ampli. On gomme les imperfections du processus avec  très petit donc des pôles p = très éloignés de l'axe des imaginaires et qui n'influeront donc pas sur le système. peu précis peu stable lent pas causal ! 4) Conception du correcteur Correcteur 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

22 22  réf Correcteur.processus  V  + - CrCr exemple Correcteur PID

23 23 Conclusions : Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger. Meilleure est la conception du processus, moins de corrections, il doit y avoir, donc mieux c’est ! Il est donc important de distinguer entrée et sortie car pour concevoir un système asservi, la commande aura pour règle de création de vouloir inverser la causalité du processus. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal Il reste donc à nos étudiants à toujours maîtriser les notions de mécanique.

24 24 5) application A priori évident : mx"=-k.(x-x e )-f.(x'-x' e ) f k x(t)/équilibre m x e (t)/équilibre La sortie se retrouve sur la variable ayant l'ordre de dérivation le plus élevé, soit x(t). Mais que choisir comme variable d'entrée ? X e (p)X(p) 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

25 25 k f.p + + + - X e (p) X(p ) Remarque 1 : La représentation est correcte sur le plan mathématique mais incorrecte sur le plan physique. En effet un problème de causalité se pose sur le schéma-bloc associé à l'amortisseur Remarque 2 : Si nous avions choisi comme variables d'entrée et de sortie x' e (t) et x'(t) (avec conditions initiales nulles), nous aurions eu la même fonction de transfert globale : L[x’ e (t)]=pX e (p) L[x’(t)]=pX(p)

26 26 f + + + - L[x' e (t)] L[x'(t)] mais une représentation détaillée conduit à : pour laquelle tous les schémas blocs respectent la règle de causalité. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

27 27 Conclusions : Si la conception du système asservi semble logique, on se rend compte que le choix de la variable d'entrée n'est pas si évident que cela. L'état du système doit être caractérisé par le choix réalisé à travers les variables retenues pour réaliser son étude. Ces variables sont appelées variables d'état. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

28 28 État énergétique du système 6) État d’un système Variable d’état Énergie potentielle Énergie cinétique caractérisé par un ensemble de variables constituant un résumé du passé suffisant pour prédire l'évolution future. Le modèle d'un processus se représente à partir de variables d’état qui correspondent aux énergies accumulées à un instant donné. Ce sont donc des variables douées de mémoire : vitesse, effort.... 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

29 29 Toute variable d'état est une grandeur continue au sens mathématique du terme (système linéaire continu et invariant). L'étude dynamique donne un éclairage sur : transitions divers états d'un système et les changements d’états appelés transitions, événements et conditions événements et conditions qui influencent le comportement du système, évolution évolution du système en fonction du temps.

30 30 Le choix d'un ensemble de variables d'état est la première étape de modélisation d'un système. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal Conclusion :

31 31 7) Approche par le graphe informationnel causal c’est une force qui crée l’accélération d’une masse. La grandeur d’entrée, influente, est donc potentielle : la force; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est cinétique : la vitesse. Solide S ayant un mouvement de translation rectiligne suivant l’axe

32 32 La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la vitesse, est fonction de la grandeur d’entrée : la force, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée. Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie cinétique avec une relation causale (unilatérale ou orientée). 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

33 33 Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associéeRelation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « potentielle » Grandeur de sortie : « cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T m v(t) f(t) v(t) RcRc V(s) F(s) v(t) f(t)

34 34 Et pour un volant d’inertie J en rotation autour d’un axe fixe ?

35 35 Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associéeRelation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « potentielle » Grandeur de sortie : « cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T c(t)  (t) RcRc  (s) C(s)  (t) c(t) J  (t) C(t)

36 36 Étudions les composants « classiques » : ressorts et amortisseurs k v 1 (t) f(t) v 2 (t) f(t) Ressort isolé d’où : C’est une variation de longueur qui crée une variation d’effort. La grandeur d’entrée, influente, est donc cinétique : la vitesse; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est potentielle : la force. ressort

37 37 La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la force, est fonction de la grandeur d’entrée : la vitesse, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée. Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie potentielle avec une relation causale (unilatérale ou orientée). D’ou problème lors de son inversion !

38 38 Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associéeRelation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « cinétique » Grandeur de sortie : « potentielle » Énergie potentielle accumulée de 0 à T f(t) v 1 (t)-v 2 (t) V 1 (s) V 2 (s) F(s) k s f(t ) k v 1 (t)v 2 (t) f(t ) v 2 (t) v 1 (t) f(t) RcRc

39 39 Les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent être inversées, il n’y a pas de causalité. Le processeur associé est donc un dissipateur d’énergie avec une relation rigide (bilatérale ou non orientée). amortisseur v 1 (t) f(t) v 2 (t) f(t) f Amortisseur isolé :

40 40 Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associéeRelation rigide : RRelation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur « potentielle » Grandeur « cinétique »Énergie dissipée de 0 à T f(t) V 1 (s) V 2 (s) F(s) f v 1 (t) f(t) v 2 (t) f(t) fv 2 (t) v 1 (t) f(t) R

41 41 Modulateurs Un modulateur est constitué de deux processeurs dipôles duaux dont les entrées et les sorties sont de même nature énergétique. On trouvera donc comme modulateur parmi les éléments mécaniques :  Les leviers  Les systèmes poulie(s) / courroie  Les engrenages  Les systèmes pignon / crémaillère  Les systèmes roue vis, vis écrou… s 1 (t) Re 1 (t) e 2 (t) R s 2 (t) R R m

42 42 Élément Mécanique processeur (GIC)Relations causales temporelles : Rc m f 2 (t) Rf 1 (t) v 2 (t) R v 1 (t) R R d2d2 d1d1 f 1 (t) f 2 (t) v 2 (t) v 1 (t) Exemples de modulateurs Modulateur en translation : levier

43 43 Élément Mécanique processeur (GIC)Relations causales temporelles : Rc m c 2 (t) Rc 1 (t)  2 (t) R  1 (t) R R Exemples de modulateurs Modulateur en translation : engrenage, poulies et courroie d2d2 d1d1 C 1 (t) C 2 (t) ω 2 (t) ω 1 (t)

44 44 Élément Mécanique processeur (GIC)Relations causales temporelles : Rc m c 2 (t) Rf 1 (t)  2 (t) R v 1 (t) R R Exemples de modulateurs Modulateur en translation/rotation : pignon/crémaillère, roue/vis r f 1 (t) C 2 (t) ω 2 (t) v 1 (t)

45 45 Exemple traité v e (t) v s (t) k fm

46 46 R c2 R v s (t) v e (t) v s (t) f(t) f 1 (t) f(t) R c1 f 1 (t) f(t) v e (t) v s (t) f(t) v s (t) f 1 (t)

47 47 v s (t) R v e (t) R c1 R c2 Bonjour GIC

48 48 V s (s) V e (s) F(s) f k s F 1 (s)

49 49 R v e (t) R c2 R c1 V s (s) V e (s) F(s)f k s F 1 (s) Même sur un exemple aussi simple, bien que les démarches soient proches, les représentations obtenues diffèrent fortement. Difficile de passer de l’une à l’autre directement !

50 50 k3k3 f3f3 k2k2 k1k1 f2f2 f1f1 m2m2 m1m1 X 2 (t) X 1 (t) F 2 (t) F 1 (t) Exercice à préparer Les paramètres sont définis à partir des positions d’équilibre - 1) Déterminer les variables d’état - 2) Établir la représentation sous forme de blocs fonctionnels - 3) Écrire le processeur (G.I.C) des composants créant le couplage entre les deux masses. - 4) Compléter le G.I.C fourni

51 51 Rf 2 F1F1 F2F2 Rf 1 Rk 1 Rm 1 Rk 2 Rf 3 Rk 3 Rm 2

52 52 F1F1 F2F2 f1f1 k1k1 s f2f2 f3f3 k3k3 s k2k2 s Éléments de réponse

53 53 k3k3 f3f3 k2k2 k1k1 f2f2 f1f1 m2m2 m1m1 X 2 (t) X 1 (t) F 2 (t) F 1 (t) Rk 2 Rf 2 v1v1 Ff 2 v2v2 v2v2 v1v1 Fk 2 Relation rigide Relation causale

54 54 x’ 2 Rf 2 F1F1 F2F2 Rf 1 Rk 1 Rm 1 Rk 2 Rf 3 Rk 3 Rm 2 x’ 1

55 55 de la causalité C’était Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille Marc Ouziaux