Inversion de matrices Montage préparé par : André Ross

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1 Inversion de matrices Montage préparé par : André Ross
Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2 Introduction Nous présentons dans ce diaporama la définition de matrice inverse d’une matrice carrée et deux méthodes pour la déterminer. La première méthode est analogue à la méthode de Gauss-Jordan pour résoudre un système d’équations. Nous allons simplement utiliser cette méthode pour résoudre simultanément plusieurs systèmes d’équations. La deuxième méthode, appelée méthode de la matrice adjointe, utilise la propriété de la matrice adjointe présentée dans le diaporama sur les propriétés des déterminants.

3 Matrice inverse DÉFINITION
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A–1 telle que : A • A–1 = A–1 • A = I où I est la matrice identité d’ordre n. Exemple Soit les matrices A = –5 7 –2 3 et B = –3 5 . C21 = 7 ´–3 + 3 ´7 = 0 C22 = 7 ´–2 + 3 ´5 = 1 C12 = –5 ´–2 + (–2) ´5 = 0 C11 = –5 ´–3 + (–2) ´7 = 1 Leur produit est A • B = –5 7 –2 3 • –3 5 = 1 1 Les matrices A et B sont donc inverse l’une de l’autre.

4 Méthode de Gauss-Jordan
Mise en situation 2 3 1 Soit la matrice A = . Cette matrice est-elle inversible ? a b c d On veut savoir s’il existe une matrice A–1 = telle que : 2 3 1 a b c d • 1 = 2a + b 3a + 2b 2c + d 3c + 2d 1 = ou L’égalité des matrices donne deux systèmes d’équations linéaires : 2a + b = 1 3a + 2b = 0 2 3 1 2c + d = 0 3c + 2d = 1 2 3 1 ou et ou S S Puisque la matrice des coefficients est la même, on peut résoudre simultanément ces deux systèmes en considérant la matrice augmentée suivante : 2 3 1

5 Méthode de Gauss-Jordan
Solution 2 3 1 ≈ L1 2L2 – 3L1 2 1 1 –3 2 ≈ L1 – L2 L2 2 4 –2 ≈ L1 /2 L2 1 2 –1 1 –3 2 1 –3 2 La partie droite de la matrice donne la solution des deux systèmes d’équations. On a donc : 2 –3 –1 . A–1 = On peut vérifier que c’est bien la matrice inverse. 2 3 1 • 2 –3 –1 = 1 S S S A • A–1 = 2 –3 –1 2 3 1 • = 1 A –1 • A=

6 Procédure de Gauss-Jordan
pour construire la matrice inverse (méthode de Gauss-Jordan) 1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre. 2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée. 3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe. 4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I.

7 Exemple 4.1.1 2 3 5 1 4 –2 . Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe. Soit A = Vérifions ce résultat. Construisons d’abord la matrice augmentée. Écrivons la matrice inverse. Effectuons les opérations de lignes pour échelonner la partie gauche. 2 3 5 1 4 –2 1 ≈ L1 2L2 – 3L1 2L3 – 5L1 2 1 –2 1 10 –3 2 2/7 –1/7 –2/7 11/7 –16/7 3/7 –6/7 10/7 –1/7 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 –1 1 7 3 16 –5 2 A–1 = = ≈ L1 – L2 L2 L3 – 3L2 2 –12 4 –2 ≈ 7L1 – 6L3 7L2 + 5L3 L3 14 4 22 –12 1 10 –3 2 7 –1 –16 10 –14 4 –6 2 –14 4 –6 2 1 7 2 3 5 4 –2 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 • 1 ≈ L1 /14 L2 /7 L3/(–14) 1 2/7 11/7 –6/7 A• A–1 = = 1 1 –1/7 –16/7 10/7 S S S S S S 1 1 –2/7 3/7 –1/7

8 Exercice 1 –4 3 2 4 –4 4 1 –2 Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe. Soit A = . S Construisons d’abord la matrice augmentée. Écrivons la matrice inverse. Effectuons les opérations de lignes pour échelonner la partie gauche. –2 –5/2 2 –6 –7 5 –17/2 6 = –4 –5 4 –12 –14 10 –17 12 1 2 A–1 = 1 –4 3 2 4 –2 1 ≈ L1 L2 + 4L1 L3 – 3L1 1 2 4 12 17 4 1 Vérifions ce résultat. –10 –14 –3 1 ≈ 6L1 – L2 L2 6L3+5L2 6 7 2 –1 ≈ L1 – 7L3 L2 – 17L3 L3 6 –12 –36 –42 12 17 4 1 12 –30 –84 –102 1 2 –4 3 4 –2 –4 –5 4 –12 –14 10 –17 12 • = 1 1 1 1 2 5 6 1 2 5 6 A• A–1 = ≈ L1 /6 L2 /12 L3 1 –2 –6 –7 1 –5/2 –7 –17/2 S S S S 1 2 5 6

9 Exemple 4.1.3 2 –1 5 1 5 8 3 –2 7 Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse de la matrice A si elle existe. Soit A = . S Construisons d’abord la matrice augmentée. Effectuons les opérations de lignes pour échelonner la partie gauche. 2 –1 5 1 8 3 –2 7 1 ≈ L1 2L2 + L1 2L3 – 5L1 2 1 3 11 –1 1 2 11 –1 –5 2 ≈ L1 L2 L3 – L2 2 1 3 S S 11 –1 1 2 –6 –2 2 Les éléments de la troisième ligne de la matrice de gauche se sont annulés au cours des transformations. Cela signifie que les systèmes d’équations permettant de trouver les éléments de la matrice inverse n’ont pas une solution unique et la matrice A n’est pas inversible.

10 Matrice inverse et système d’équations linéaires
Par la matrice inverse, lorsqu’elle existe, on peut résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues. Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n inversible. On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice inverse A–1. Cela donne : A–1 • A • X = A–1 • B d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I et : X = A–1 • B , car I • X = X Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système d’équations linéaires.

11 AX = B implique que X = A–1 B
Exemple 4.1.2 Soit les systèmes d’équations linéaires suivants : 2x1 + x2 – 2x3 = 10 3x1 + 2x2 + 2x3 = 7 5x1 + 4x2 + 3x3 = 15 2x1 + x2 – 2x3 = –9 3x1 + 2x2 + 2x3 = 10 5x1 + 4x2 + 3x3 = 13 S 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 1 7 Résoudre en utilisant la matrice inverse : A–1 = Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a : AX = B implique que X = A–1 B Remarque S S En pratique, la matrice inverse est rarement donnée, il faut la déterminer selon la méthode demandée. La solution du deuxième système d’équations est alors : La solution du premier système d’équations est alors : La méthode de la matrice inverse est particulièrement intéressante lorsqu’on doit résoudre plusieurs systèmes d’équations ayant la même matrice des coefficients. x1 x2 x3 = 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 1 7 10 7 15 –9 10 13 1 4 –2 2 –3 5 X = A–1 B = • =

12 AX = B implique que X = A–1 B
Exercice Soit les systèmes d’équations linéaires suivants : x1 + 2x2 + 4x3 = 17 –4x1 + 4x2 + x3 = –26 3x1 – 4x2 – 2x3 = 17 x1 + 2x2 + 4x3 = –4 –4x1 + 4x2 + x3 = 32 3x1 – 4x2 – 2x3 = –26 S –4 –5 4 –12 –14 10 –17 12 1 2 Résoudre en utilisant la matrice inverse : A–1 = Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a : AX = B implique que X = A–1 B S S La solution du deuxième système d’équations est alors : La solution du premier système d’équations est alors : x1 x2 x3 = –4 –5 4 –12 –14 10 –17 12 1 2 –4 32 –26 17 –26 3 –5 6 –2 7 –4 X = A–1 B = • =

13 Théorèmes et propriétés
Critère d’inversibilité d’une matrice Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si : det A ≠ 0 Þ Montrons que : si la matrice A est inversible, alors det A ≠ 0. S Þ Montrons que : si det A ≠ 0, alors la matrice A est inversible. Si la matrice A est inversible, alors il existe une matrice A–1 telle que : Si det A ≠ 0, les systèmes d’équations représentées par la matrice augmentée dont la partie de droite est la matrice identité ont tous une solution unique. Par conséquent, la matrice A est inversible. A • A–1 = I , par définition de la matrice inverse; det (A • A–1) = det I , des matrices égales ont le même déterminant; (det A)(det A–1) = 1 , puisque det(A • B) = (det A)(det B) et det I = 1; par conséquent, det A ≠ 0.

14 Théorèmes et propriétés
Unicité de la matrice inverse Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A est unique. Soit A une matrice carrée inversible et, B et C, deux matrices inverses de A. Par hypothèse, on a alors : Une démonstration d’unicité consiste à supposer qu’il existe deux objets dont on veut montrer l’unicité et à démontrer que ces deux objets sont nécessairement égaux. Dans le présent cas, on supposera qu’il existe deux matrices inverses, B et C, et on montrera que ces deux matrices sont nécessairement égales. A • B = B • A = I et A • C = C • A = I B = B • I , puisque I est le neutre multiplicatif; = B • (A • C) , car A • C = I par hypothèse; = (B • A) • C , par associativité du produit matriciel; S = I • C , car B • A = I par hypothèse; = C , puisque I est le neutre multiplicatif. Donc, B = C et l’inverse de A est unique.

15 Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse Soit An´n, une matrice inversible. Alors : det (A–1) = 1 det A S A • A–1 = I , par définition de la matrice inverse; det (A • A–1) = det I , comme déterminant de matrices égales; (det A)(det A–1) = det I , comme déterminant d’un produit; En divisant les deux membres de l’équation par det A, on obtient : det (A–1) = 1 det A

16 Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse Soit An´n, une matrice inversible. Alors : (A–1)–1 = A S (A–1)–1 • A–1 = I , puisque (A–1)–1 est la matrice inverse de A–1; De plus, A • A–1 = I , puisque A–1 est la matrice inverse de A. D’où (A–1)–1 = A , car l’inverse de A est unique.

17 Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse Soit An´n, une matrice inversible. Alors : (At)–1 = (A–1)t S (At)–1At = I , puisque (At)–1 est l’inverse de At; (A–1)tAt = (AA–1)t , par les propriétés de la transposition; = It = I , une matrice diagonale est sa propre transposée; D’où (At)–1 = ( A–1)t, car l’inverse de (At)–1 est unique.

18 Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse Soit An´n et Bn´n, deux matrices inversibles. Alors : (AB)–1 = B–1 A–1 S Il faut montrer que (AB)(B–1A–1) = (B–1A–1)(AB) = I pour pouvoir conclure que l’inverse de AB est B–1A–1. Or, (AB)(B–1A–1) = A(BB–1)A–1 , par associativité de la multiplication; = A(I)A–1 , puisque B–1 est la matrice inverse de B; = AA–1 , puisque I est neutre pour la multiplication; = I , puisque A–1 est la matrice inverse de A. De la même façon, on montre que (B–1A–1)(AB) = I. L’inverse de AB, soit (AB)–1, est donc B–1A–1.

19 Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse Soit An´n, une matrice inversible. Alors : (kA)–1 = A–1 1 k S Puisque A–1 est l’inverse de A et que 1/k est l’inverse multiplicatif de k, l’associativité de la multiplication par un scalaire avec le produit des matrices permet d’écrire : A–1 1 k = k ´ 1 k (kA) (AA–1) = 1 I = I De la même façon, on a : A–1 1 k (kA) = k ´ 1 k (A–1A) = 1 I = I (kA)–1 = A–1 1 k Par conséquent :

20 Exemple 4.1.4 On donne det A = –4 et det B = 5. Calculer les déterminants suivants : a) det (A–1) b) det [B(AB)–1] c) det (AB–1) 1 det A 1 4 = – a) det (A–1) = S S S b) det [B(AB)–1] = det [BB–1A–1] = det [(BB–1)A–1] = det [IA–1] = det [A–1] 1 det A 1 4 = – = 1 det B 4 5 = – c) det (AB–1) = (det A) (det B–1) = det A ´

21 Méthode de la matrice adjointe
Dans la présentation des propriétés du déterminant, nous avons vu que la multiplication d’une matrice carrée A par son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est le déterminant de la matrice A. c f e h i a g d b – = det A a d g b e h c f i • Cette propriété est généralisable à des matrices d’ordre n. On a donc A•(adj A) = (det A)I. Si det A ≠ 0, on peut diviser les deux membres de cette égalité par det A et on obtient : A • (adj A) = I 1 det A A–1 = (adj A) 1 det A , d’où l’on tire :

22 Procédure de la matrice adjointe
pour construire la matrice inverse (méthode de l’adjointe) 1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible. 2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A). 3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse. 4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.

23 Exemple 4.1.1 . S S S S S • = 2 3 5 1 4 –2 Soit A =
Utiliser la méthode de l’adjointe pour trouver la matrice inverse de la matrice A. Vérifions le résultat. La matrice obtenue est bien l’inverse de A. Le déterminant est non nul, la matrice A est inversible. On peut donc écrire les autres lignes de la matrice des cofacteurs. Transposons la matrice des cofacteurs pour obtenir l’adjointe. Écrivons la première ligne de la matrice des cofacteurs. Les cofacteurs de la première ligne permettent le calcul du déterminant. Écrivons la matrice inverse. –2 1 2 ´–2 ´2 cof A = , det A = 2 + 1 ´1 + (–2) = –7 –11 16 –3 6 –10 1 S S S S S A–1 = 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 1 7 –2 1 2 –11 16 –3 6 –10 1 adj A = 2 3 5 1 4 –2 7 2 –1 –2 11 –16 3 –6 10 • 7 7 7 = 1 7 A • A–1 =

24 Exercice . S S S S S • = 1 –4 3 2 4 –2 Soit A =
Utiliser la méthode de l’adjointe pour trouver la matrice inverse de la matrice A. Vérifions le résultat. La matrice obtenue est bien l’inverse de A. Le déterminant est non nul, la matrice A est inversible. On peut donc écrire les autres lignes de la matrice des cofacteurs. Écrivons la première ligne de la matrice des cofacteurs. Écrivons la matrice inverse. Transposons la matrice des cofacteurs pour obtenir l’adjointe. Les cofacteurs de la première ligne permettent le calcul du déterminant. –4 –5 4 cof A = , det A = 1 ´(–4) + 2 ´(–5) + 4 ´4 = 2 –12 –14 10 –14 –17 12 S S S S S –12 –14 10 A–1 = –4 –5 4 –17 12 1 2 –4 –5 4 –12 –14 10 –14 –17 12 adj A = 1 –4 3 2 4 –2 • –4 –5 4 –12 –14 10 –17 12 2 2 2 = 1 2 A • A–1 =

25 Exemple 4.1.6 On donne det A = –4, où A est une matrice carrée d’ordre 3. Calculer les déterminants suivants : a) det (adj A) b) det (A • adj A) c) det (cof A) a) det (adj A) = det [(det A) A–1] = (det A)n [det A–1] S S S 1 det A = (det A)n ´ = (det A)n–1 . On a donc det (adj A) = (det A)n–1 = (–4)2 = 16. b) Le déterminant d’un produit est égal au produit des déter-minants. On a donc : det (A • adj A) = (det A)[det (adj A)] = (–4)3 = –64. c) Le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée, on a donc : det (cof A) = det (adj A) = (–4)2 = 16.

26 Inversion et matrice nilpotente
Dans les chaînes de Markov avec états absorbants, on doit parfois inverser une matrice de la forme I – Q, où Q est une matrice nilpotente. On utilise alors une procédure particulière. Soit Q, une matrice nilpotente de degré 4 (Q4 = 0). Montrons que l’inverse de I – Q est la matrice I + Q + Q2 + Q3. (I – Q)(I + Q + Q2 + Q3) = I(I + Q + Q2 + Q3) – Q(I + Q + Q2 + Q3) = I + Q + Q2 + Q3 – Q – Q2 – Q3 + Q4 S S = I + Q4 = I, puisque Q4 = 0. Puisque l’inverse est unique, on a : (I – Q)–1 = I + Q + Q2 + Q3 De façon plus générale, si Q est nilpotente de degré n, alors : I – Q)–1 = I + Q + Q Qn–1

27 Conclusion Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Nous avons deux procédures générales pour trouver la matrice inverse d’une matrice A. Avec un peu de pratique, la méthode de l’adjointe est la plus rapide pour des matrices d’ordre 2 ou 3. La méthode de Gauss-Jordan est facile à programmer sous Excel. Les opérations sur les lignes sont les mêmes que celles pour déterminer la matrice échelonnée réduite d’un système d’équations.

28 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.1, p. 83 à 90. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 4.1, p. 83 à 90. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.2, p. 91 et 92. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 4.2, p. 91 et 92.