Vecteurs géométriques

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1 Vecteurs géométriques
Légende Montage préparé par : S Cliquer pour la suite. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante.

2 Introduction Nous présentons ici la notion de vecteur géométrique ainsi que l’addition de tels vecteurs et la multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire. Nous utiliserons les opérations et leurs propriétés pour faire des démonstrations de propriétés géométriques et pour décrire des lieux géométriques.

3 Vecteur géométrique DÉFINITION Vecteur géométrique
Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté , où A est l’origine et B l’extrémité du vecteur. AB Il possède les caractéristiques suivantes : • une longueur, appelée le module du vecteur, et notée AB ; • une direction, définie par la droite ∆s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem-ple ∆d; • un sens, indiqué par une pointe de flèche à l’extrémité du segment de droite.

4 Équipollence et parallélisme
DÉFINITIONS Vecteurs équipollents (égaux) On appelle vecteurs égaux (ou équipollents) des vecteurs ayant même direction, même sens et même module. On utilise le signe d’égalité usuel : w u = Vecteurs parallèles On appelle vecteurs parallèles des vecteurs ayant même direction. On utilise le symbole // : v u //

5 Vecteur nul et vecteur opposé
DÉFINITIONS Vecteur nul On appelle vecteur nul tout objet de la forme : AA . On le note 0. Ce vecteur n’a ni direction, ni sens. Son module est 0 et, par convention, il est parallèle à tout vecteur : u // pour tout Vecteur opposé On appelle vecteur opposé à AB tout vecteur de même longueur et de même direction que , mais de sens opposé. On le note : – AB AB. En particulier, – = AB BA.

6 Addition S DÉFINITION Addition de vecteurs géométriques
, deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté Soit u et v , peut être obtenu par deux méthodes, que l’on appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian-gle. + Méthode du parallélogramme Méthode du triangle Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second. Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de l’origine commune. De plus, u – v = u + (– v) S

7 Relation de Chasles THÉORÈME Relation de Chasles
Pour tout point A, B et X du plan ou de l’espace , l’égalité : AX + XB = AB est vérifiée.

8 Exercice En considérant les sommets de la figure ci-contre, trouver des vecteurs égaux à : CA AB + a) = CB On peut déterminer les vecteurs égaux dans cette figure : CB = DA = EF = HG DA BA – b) Puisque – BA = AB , on a : DA – BA = DA + AB = DB = EG S S S S FE AB + c) GB Par l’égalité des vecteurs, on a : FE + AB + GB = FE + EH + HC = FC Dans cette figure, il n’y a pas d’autre vecteur égal à FC.

9 Angle entre deux vecteurs
DÉFINITION Angle entre deux vecteurs Soit , deux vecteurs géométriques libres. On appelle angle entre ces vecteurs le plus petit angle formé par les vecteurs ramenés à une origine commune. u et v sera noté L’angle entre les vecteurs u et v et, s’il n’y a pas de confusion possible, nous le symboliserons par la lettre grecque q (thêta). ( ) v u ,

10 Angles et triangles (rappel de trigonométrie)
LOIS Loi des sinus Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : a sin A b sin B c sin C = = Loi des cosinus Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

11 Module du vecteur somme
THÉORÈME Module du vecteur somme , deux vecteurs géométriques libres tels que : Soit u et v ( ) v u , = q , u v = a et = b 2 = a2 + b2 – 2ab cos (180° – q) alors u + v

12 Exercice , les deux vecteurs géométriques de l’illustration ci-contre qui font entre eux un angle de 37°. Soit u et v Trouver le module du vecteur somme et l’angle qu’il fait avec le vecteur u. Par la loi des cosinus, on a : 2 = – 2´7´5 cos 143° ≈ 129,90. u + v Le module du vecteur somme est : u + v ≈ 129,90 ≈ 11,40. sin a 5 = sin 143° 11,40 5 sin 143° 11,40 Par la loi des sinus, on a : , d’où sin a = 5 sin 143° 11,40 et : a = arcsin ≈ 15,12°. S S Le module est d’environ 11,40 unités et l’angle entre les vecteurs est d’environ 15,12°.

13 Multiplication par un scalaire
DÉFINITION Multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire , un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p Soit u u, dont les caractéristiques sont : sa direction est la même que u; p son module est u = soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u; son sens est : – le même que , si p > 0; u – opposé à celui de , si p < 0; u pour tout De plus, p = pour tout p , et 0 u u.

14 Exemple 5.1.4 , les deux vecteurs géométriques de l’illustration ci-contre. Soit u et v Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 3 u – v. 2 + v et Pour construire un vecteur équipollent à 2 u + v on fait d’abord coïncider les origines des deux vecteurs, puis on prolonge le vecteur u pour doubler sa longueur. On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2 u + v. S S On procède de façon analogue pour construire un vecteur équipollent à 3 u – v.

15 Exercice Les arêtes du parallélépipède ci-contre sont sur les droites supports des vecteurs , v et w. u Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 2 v + 2 w. u + 3 w et Pour construire un vecteur équipollent à 2 u + 3 w on prolonge le vecteur u pour doubler sa longueur et on prolonge le vecteur w pour tripler sa longueur. On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2 u + 3 w. S S On procède de façon analogue pour construire 2 v + 2 w.

16 Multiplication par un scalaire
THÉORÈME Intégrité de la multiplication par un scalaire , et pour tout scalaire p, Pour tout vecteur u p u = si et seulement si p = 0 ou u = Démonstration On a : p u = 0 p u = p u = 0 , par la définition de multiplication par un scalaire; p = 0 ou u = 0 , par l’intégrité des nombres réels; p = 0 ou u = , par la définition du vecteur nul. S

17 Propriétés des opérations
Î  G, l’ensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur u, v et w 1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs Î  G u + v 2. Commutativité de l’addition des vecteurs = u + v 3. Associativité de l’addition des vecteurs    = u ( ) + v + ( ) w 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs Il existe, dans G, un vecteur nul, noté  , tel que :  = u + 5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des vecteurs   Pour tout vecteur Î G, il existe, dans G, un vecteur opposé, noté – u tel que : u + (– ) = (– ) =

18 Propriétés des opérations
Î  G, l’ensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur u, v et w 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des vecteurs p Î  G u 7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de scalaires   (p + q) = p + q u 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs  p( ) = p p u v 9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de scalaires  (pq) = p (q ) u 10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire 1 = u

19 Parallélisme Nous verrons maintenant quelques théorèmes relatifs au paral-lélisme des vecteurs. Dans la démonstration de l’un de ces théorèmes, nous aurons besoin de la notion de vecteur unitaire dont voici la définition. DÉFINITION Vecteur unitaire u 1 , un vecteur non nul. Alors, Soit u est un vecteur unitaire (son module est 1) ayant même direction et même sens que u.

20 Vecteurs parallèles S S THÉORÈME Vecteurs parallèles
, sont parallèles si et seulement s’il existe un scalaire k non nul tel que : Deux vecteurs non nuls u et v u = k v Démonstration , deux vecteurs tels qu’il existe un scalaire non nul k pour lequel : Soit u et v , deux vecteurs parallèles non nuls. Les vecteurs : Soit u et v u v et u = k v ont alors même direction et même longueur, car ce sont des vecteurs unitaires parallèles. Alors, par la définition de la multiplication par un scalaire, les vecteurs ont la même direction. Ils sont donc parallèles. u et v u v = u v = et k = S’ils sont de même sens, , d’où Cela complète la preuve. u v = – u v = – S’ils sont de sens contraire, , d’où S S u v et k = –

21 Vecteurs parallèles S THÉORÈME Parallélisme et unicité du scalaire
, deux vecteurs parallèles non nuls. Alors, le scalaire k pour lequel : Soit u et v = k est unique. Démonstration Supposons qu’il existe deux scalaires k1 et k2 tels que : et u = k1 v = k2 Montrons que ces scalaires sont nécessairement égaux. Puisque et u = k1 v = k2 , on a : k1 v = k2 k1 v – k2 = , par la définition des opérations; (k1 – k2) v = , par la distributivité sur l’addition des scalaires; k1 – k2 = 0, puisque v est non nul. D’où k1 = k2 et le scalaire est unique. S

22 Exemple 5.1.6 Soit un triangle ABC, et M et N, les points milieux des côtés AB et AC du triangle. Montrer, par une approche vectorielle, que : MN BC = 1 2 MN = MA + AN , par la relation de Chasles; = BA 1 2 AC + ; MA = BA 1 2 et AC AN , car = 1 2 (BA AC ) + , par distributivité; = 1 2 BC , par la relation de Chasles. Remarque S Cela démontre que les vecteurs sont parallèles et que le rapport de leur longueur est 1/2.

23 Vecteurs et démonstration
Procédure pour démontrer une propriété géométrique à l’aide des opérations sur les vecteurs 1. Représenter graphiquement la situation. 2. Utiliser les opérations sur les vecteurs pour décrire chacun des membres de la propriété à démontrer à l’aide des vecteurs formés par les côtés de la figure. 3. Utiliser la multiplication d’un vecteur par un scalaire pour décrire les vecteurs parallèles mais de longueur différente. 4. Écrire la chaîne d’arguments qui constitue la démonstration, en justifiant chacune des étapes.

24 Exercice Montrer que les diagonales d’un parallé-logramme se coupent en leur milieu. Soit un parallélogramme ABCD et E, le point milieu de la diagonale AC. Montrons que E est également le point milieu de la diagonale DB. DE = DC + CE , par la relation de Chasles; = AB EA + , puisque E est le point milieu de AC. , puisque ABCD est un parallé-logramme et = , car DC AB CE EA = EA AB + , par la commutativité de l’addition; = EB , par la relation de Chasles; On a donc : DE = EB et E est le point milieu de la diagonale DB. S Par conséquent, les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.

25 Exemple 5.1.7 Soit un parallélogramme ABCD, E, le point milieu du côté AB et F, le point milieu du côté DC. Montrer que AECF est également un parallélogramme. AF = AD + DF , par la relation de Chasles (méthode des triangles); = AD DC 1 2 + , car F est le point milieu de DC; = BC AB 1 2 + , puisque ABCD est un parallélogramme; , car AD = BC et DC AB = BC EB + , car E est le point milieu de AB; = EB BC + , par la commutativité de l’addition; = EC , par la relation de Chasles. On a donc : AF = EC AE FC . De plus, , par hypothèse. S Puisque les côtés sont égaux et parallèles deux à deux, AECF forme un parallélogramme.

26 Lieu géométrique Les opérations sur les vecteurs peuvent être utilisées pour décrire vectoriellement la position d’un point, ou le lieu des points ayant une caractéristique géométrique particulière. Dans les situations que nous allons présenter maintenant, les lieux géométriques sont des droites ou des segments de droites. Considérons A, B et O, trois points quelconques. Alors : AB = AO + OB , par la relation de Chasles; = OB + AO , par la commutativité; = OB – OA , comme vecteur opposé. THÉORÈME Description d’un vecteur par rapport à un point fixe Soit A, B et O, trois points quelconques. Alors : AB = OB – OA

27 Exemple 5.1.8 a S Soit deux vecteurs OA et OB .
Si P est le point milieu du segment AB, décrire vectoriellement la position de ce point par rapport au point O en fonction des vecteurs OA et OB . OP = OA + AP , par la relation de Chasles; = OA AB 1 2 + , car P est le point milieu de AB; = OA 1 2 + OB – , par la description vectorielle du vec-teur par rapport à un point fixe; = OA 1 2 – OB + , par associativité et distributivité; = OA 1 2 OB + , par simplification des scalaires. S OP = OA 1 2 OB + On trouve donc :

28 Description vectorielle d’un segment
Soit deux vecteurs OA et OB . On peut, en procédant comme à l’exemple a, décrire vectoriellement la position d’un point Q quelconque de la droite passant par les points A et B. On obtient alors une expression de la forme : r < 0 0 ≤ r ≤ 1 r > 1 OQ = OA + r OB (1 – r) Si 0 ≤ r ≤ 1, le point Q est sur le segment AB (situé entre A et B). Si r < 0, le point Q est sur le prolongement du segment AB au-delà du point A. Si r > 1, le point Q est sur le prolongement du segment AB au-delà du point B. On peut généraliser ce résultat en montant que trois points A, B et C sont sur une même droite si et seulement si il existe un scalaire r tel que : OC = OA + r OB (1 – r)

29 Lieu géométrique Procédure
pour décrire un lieu géométrique à l’aide de vecteurs donnés par rapport à un point fixe O 1. Trouver un parcours du point O au point dont il faut décrire la position ou à un point quelconque du lieu géométrique. 2. Exprimer ce parcours en fonction des vecteurs donnés à l’aide des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire. 3. Utiliser les propriétés des opérations pour simplifier l’expression obtenue.

30 Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets d’étude, les vecteurs géométriques. Notre premier souci a été de déterminer à quelles conditions deux vecteurs géométriques sont égaux, puis, nous avons défini deux opérations sur ces vecteurs : l’addition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans l’ensemble des matrices.

31 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.1, p. 109 à 120. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.1, p. 113 à 123 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.2, p. 121 et 123. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.2, p. 125 et 127.