Modélisation affine Montage préparé par : André Ross

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1 Modélisation affine Montage préparé par : André Ross
Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2 Introduction La modélisation affine consiste à déterminer l’équation d’une droite pour décrire le lien entre deux variables. On peut construire un modèle affine local, valide sur un petit intervalle, lorsqu’on connaît le taux de variation moyen et un couple de données. La démarche consiste à trouver l’équation d’une droite dont la pente est le taux de variation moyen sur l’intervalle. À l’aide du modèle, on peut calculer des correspondances qui sont des approximations de la valeur réelle dans cet intervalle. On peut également construire par régression un modèle affine prenant en considération l’ensemble des données expérimentales. C’est un modèle affine global.

3 Modèle affine local ( x2; y2)
Déterminer un modèle affine local signifie que l’on fait l’hypothèse qu’en prenant des mesures additionnelles dans l’intervalle entre deux données expérimentales, les points obtenus seraient alignés. ( x; y) ( x1; y1) On considère donc que le taux de variation est constant dans l’intervalle. Le modèle affine est alors l’équation du segment de droite joignant les deux points aux extrémités de l’intervalle. On peut alors avoir à trouver l’équation du segment de droite dont deux couples sont connus ou dont un couple et le taux de variation (pente de la droite) est connu. Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne : y – y1 x – x1 y2 – y1 x2 – x1 = = a

4 Exemple 1.3.1 On a réalisé une expérience pour étudier la variation de la vitesse d’éjection d’un fluide par un orifice dans un réservoir. On a utilisé un réservoir de 12 m de hauteur, rempli d’eau et on a aménagé un petit orifice dans la paroi à la base du réservoir. L’expérience consistait à mesurer la vitesse d’éjection du liquide et à dresser un tableau de ces vitesses selon la différence h entre le niveau du liquide et celui de l’orifice. On a recueilli les données suivantes : h (m) v (m/s) 14,01 12,53 10,85 8,86 6,26 0,00 À l’aide des données du tableau, estimer la vitesse d’éjection lorsque le niveau de la colonne de liquide est à 9 m au-dessus de l’orifice.

5 Exemple 1.3.1 À 8 m la vitesse est de 12,53 m/s et à 10 m elle est de 14,01 m/s. Pour estimer la vitesse d’éjection à une profondeur de 9 m, nous allons faire l’hypothèse que la variation est affine dans l’intervalle de 10 m à 8 m de profondeur. Il nous faut donc calculer le taux de variation moyen sur cet intervalle, ce qui donne : h (m) v (m/s) 14,01 12,53 10,85 8,86 6,26 0,00 Pour une hauteur de 9 m, on aurait : S À l’aide des données du tableau, estimer la vitesse d’éjection lorsque le niveau de la colonne de liquide est à 9 m au-dessus de l’orifice.

6 Exemple 1.3.1 S On peut se poser la question suivante :
Le taux de variation est-il constant durant toute l’expérience? En calculant le taux de variation sur l’intervalle [4; 6], par exemple, on trouve : Le taux de variation n’est donc pas constant. Le taux de variation n’est pas constant parce que le phénomène à l’étude n’est pas globalement descriptible par un modèle affine puisque les points ne sont pas alignés. La représentation graphique devrait nous permettre de voir pourquoi le taux de variation n’est pas constant. h (m) v (m/s) 14,01 12,53 10,85 8,86 6,26 0,00 S

7 Critère algébrique Supposons que des mesures expé-rimentales ont été prises pour des valeurs à intervalles réguliers de la variable indépendante. ∆y constant Le taux de variation constant est une caractéristique du modèle affine. Dès que l’on peut déterminer, dans une situation donnée, que le taux de variation est constant, on peut conclure que le phénomène est modélisable par une fonction affine. Voyons comment on peut tirer cette conclusion pour des données expérimentales à pas constant. ∆y Si le phénomène est descriptible par un modèle affine. La représentation des couples aura l’aspect ci-contre. ∆y ∆y ∆y Cela permet d’obtenir le critère algébrique suivant : ∆y p f(x + p) – f(x) p = = a p p p p On remarquera qu’il est simple de faire appliquer ce critère en utilisant un tableur électronique comme Excel. S

8 Application du critère algébrique
Considérons à nouveau les données obtenues en utilisant une résistance à différentes températures. Utilisation du modèle Définition du lien entre les variables ∆Ri p T (°C) R (Ω) R(Ti) – 0,216Ti Le modèle est donc : R(T) = 0,216T + 21,50 –20 –10 10 20 30 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0 – 0,22 0,21 0,20 0,23 21,52 21,56 21,50 21,54 21,38 Identification des variables Calculer la résistance à 15°C. La variable indépendante est la température T (°C) et la variable dépendante est la résistance R (Ω). À quelle température la résistance est-elle de 26 Ω? On doit déterminer l’image de 15°C. Cela donne : On doit déterminer la préimage de 26 Ω. Cela donne : R(15) = 0,216 ´ ,50 = 24,74 Définition du lien entre les variables La résistance sera de 24,7 Ω. En appliquant le critère algébrique, on constate que les rapports sont relativement constants. 0,216T + 21,50 = 26 0,216T = 4,50 T = 20,83 Le lien entre les variables est donc de la forme : Moyenne 0,216 21,50 La résistance est de 26 Ω à une température de 20,8 °C. S S R(T) = 0,216T + b, d’où b = R(T) – 0,216T

9 Méthode Il n’est pas simple expérimentalement d’obtenir des données à pas constant. De plus, lorsqu’on obtient des données à partir d’une expérience de laboratoire, d’un sondage ou d’une recherche, même si le phénomène peut être décrit par un modèle affine, il faut s’attendre à ce qu’il y ait une différence entre les valeurs observées et les valeurs décrites par le modèle. Aucun modèle n’est une description exacte d’un phénomène expérimental. Lorsqu’on étudie la relation entre les variables d’un phénomène pour lequel on dispose de données empiriques, la représentation graphique se révèle un moyen efficace pour déceler si le phénomène est descriptible par un modèle affine car, visuellement, il est facile de détecter si le nuage de points suggère une droite.

10 Méthode des moindres carrés
Cette méthode consiste à calculer : x , la moyenne des valeurs de la variable indépendante; y , la moyenne des valeurs de la variable dépendante; x2 , la moyenne des carrés des valeurs de la variable indépendante; xy , la moyenne des produits des valeurs des deux variables. Les paramètres a et b de la droite cherchée sont alors obtenus en solutionnant le système d’équations : y = ax + b xy = ax2 + bx En pratique, on détermine les valeurs moyennes dans un tableau en utilisant de préférence un tableur électronique.

11 Méthode des moindres carrés
En posant : y = ax + b xy = ax2 + bx Et en résolvant les équations : on obtient les expressions suivantes : a = nS xiyi – (S xi)(S yi) nS xi2 – (S xi)2 b = S yi – a S xi n Il n’est pas pertinent pour le moment de démontrer ces résultats, nous les utiliserons directement. En pratique, on détermine les valeurs moyennes dans un tableau en utilisant de préférence un tableur électronique.

12 Exemple 1.3.2 S Représentons d’abord graphiquement les données.
Le tableau ci-contre donne la solubilité du bromure de potassium dans l’eau en fonction de la température de l’eau. 10 20 30 40 50 60 70 51,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i ci La température T est donnée en degrés centigrades et la concentration c est donnée en grammes de soluté par cent grammes d’eau. Établir le lien entre les variables Le représentation graphique permet de faire l’hypothèse que le lien est affine. Nous utiliserons la méthode des moindres carrés. S

13 Exemple 1.3.2 En complétant le tableau pour déterminer les paramètres, on obtient : T ici 10 20 30 40 50 60 70 51,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i ci T i2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 14000 578 1274 2076 2960 3935 5028 6202 22053 En substituant dans les expressions définissant les paramètres, on obtient : a = nS xiyi – (S xi)(S yi) nS xi2 – (S xi)2 8 ´ – 280 ´567,7 8 ´14000 – 2802 a = = 0, b = S yi – a S xi n 280 567,7 567,7 8 280 8 b = – 0, = 52, S S Le modèle affine est alors : c(T) = 0,520T + 52,77

14 Mesures de la précision du modèle
On peut mesurer la précision du modèle obtenu en calculant pour chaque valeur de la variable indépendante la différence entre la valeur observée (ci) et la valeur donnée par le modèle mathématique (cm), ces différences sont appelées les résidus. La somme des carrés des résidus est la mesure de précision du modèle mathématique. Le coefficient de corrélation est également une mesure de la précision du modèle. Il est donné par : r = nS xiyi – (S xi)(S yi) nS xi2 – (S xi) nS yi2 – (S yi)2 S Cela peut sembler affolant à première vue, mais quatre de ces sommes sont déjà effectuées en dressant le tableau pour déterminer les paramètres a et b. Il ne reste qu’à calculer la somme des carrés des yi.

15 Méthode des moindres carrés
Calcul des résidus Méthode des moindres carrés 10 20 30 40 50 60 70 51,9 57,8 63,7 69,2 74,0 78,7 83,8 88,6 T i ci Effectuons le calcul des résidus pour le modèle c(T) = 0,520T + 52,77 cm R ci – cm R2 52,77 57,97 63,17 68,37 73,57 78,77 83,97 89,17 –0,87 –0,17 0,53 0,83 0,43 –0,07 –0,57 0,7569 0,0289 0,2809 0,6889 0,1849 0,0049 0,3249 On constate que la somme des carrés des résidus est inférieure à celle des deux autres modèles. Cela signifie que ce modèle donne une bonne description du lien entre les variables. En fait, on peut démontrer que la méthode des moindres carrés donne toujours le modèle pour lequel la somme des carrés des résidus est minimale. Somme des carrés 2,2992

16 Exemple –13 –8 –4 2 8 15 52,0 44,0 36,8 28,0 18,0 6,8 T Q TQ T2 –676,0 –352,0 –147,2 56,0 144,0 102,0 169 64 16 4 225 Le constructeur d’habitations pour lequel vous travaillez a décidé d’évaluer le coût de chauffage des maisons qu’il construit afin de se servir de ce renseignement dans sa publicité. Il a fait relever, pour des périodes de 24 heures, la consommation moyenne de mazout en fonction de la température extérieure. Les relevés ont été faits en fonction de la température moyenne durant ces 24 heures. Les données obtenues ont été compilées dans le tableau ci-contre : On peut alors calculer les paramètres : a = nS TiQi – (S Ti)(S Qi) nS Ti2 – (S Ti)2 6 ´ (–873,2) – 0 ´185,6 6 ´542 – 02 a = = –1,611 185,6 –873,2 542 b = S Qi – a S Ti n Q 50 40 30 20 10 185,6 6 6 b = – (–1,611) = 30,93 Mazout consommé (L) Le modèle affine est alors : Trouver, par la méthode des moindres carrés, le modèle affine décrivant la relation entre la température et la quantité de mazout consommée. Q(T) = –1,611T + 30,93 –12 –8 –4 4 8 12 T Température (°F) S S

17 Calcul du coefficient de corrélation
Considérons le tableau obtenu à l’exemple précédent. –13 –8 –4 2 8 15 52,0 44,0 36,8 28,0 18,0 6,8 T Q –676,0 –352,0 –147,2 56,0 144,0 102,0 T2 169 64 16 4 225 TQ Q2 2704,00 1936,00 1354,24 784,00 324,00 46,24 Pour calculer le coefficient de corrélation, il nous manque la somme des carrés de la variable indépendante. Déterminons cette somme. Calculons le coefficient : 185,6 –873,2 542 7148,48 r = nS TiQi – (S Ti)(S Qi) nS Ti2 – (S Ti) nS Qi2 – (S Qi)2 6 ´(–873,2) – 0 ´185,6 r = = –0,9998 S 6 ´542 – 02 6 ´7148,58 – (185,6)2

18 Interprétation du coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation linéaire r est un nombre compris entre –1 et 1 (–1 ≤ r ≤ 1). Lorsque r = 0 (corrélation nulle), le modèle affine n’est pas du tout indiqué pour modéliser le phénomène. Lorsque r est proche de 1 ou de –1, le regroupement des points dans le voisinage de la droite est important. r = 1 corrélation positive parfaite r > 0 corrélation positive r = –1 corrélation négative parfaite r < 0 corrélation négative

19 Droite de tendance La droite de régression permet de construire des modèles simples qui sont utilisés pour analyser des situations ou pour décrire une tendance. On l’appelle alors droite de tendance. On distingue deux cas dans l’analyse de tendance, selon que les valeurs estimées sont à l’intérieur ou à l’extérieur de l’ensemble des données observées. Lorsque les prévisions portent sur des valeurs à l’intérieur de l’intervalle des données, le processus est appelé interpolation. Généralement, les estimations provenant d’une interpolation sont plutôt fiables. Lorsque les prévisions portent sur des valeurs à l’extérieur de l’ensemble des données, le processus est appelé extrapolation. Il faut noter que la fiabilité est plus grande lorsqu’on fait des prédictions pour des valeurs proches de l’ensemble des données observées. Les prédictions portant sur des valeurs éloignées de cet intervalle donnent une estimation qui, sans être à rejeter, doit être considérée de façon plus critique.

20 nS ci2 – (S ci)2 nS ai2 – (S ai)2
Exemple 1.3.3 4,0 8,0 12,0 16,0 20,5 ?   5,2 11,2 16,1 21,0 26,9 15,85 ci ai ciai ci2 ai2 Lors d’une expérience de polarimétrie du sucrose, on a noté l’angle de rotation des solutions étalon dans une cellule de 2,00 dm. Les couples obtenus sont donnés dans la tableau ci-contre. La concentration c est en grammes par 100 mL et l’angle de rotation a est en degrés. Déterminons la préimage de 15,85 par ce modèle. Calculons le coefficient de corré-lation : On peut calculer les paramètres : 20,88 89,6 192,2 336,0 551,45 16,0 64,0 144,0 256,0 420,25 27,04 125,44 259,21 441,00 723,71 r = nS ciai – (S ci)(S ai) nS ci2 – (S ci) nS ai2 – (S ai)2 a(c) = 1,30c + 0,38 = 15,85 a = nS ciai – (S ci)(S ai) nS ci2 – (S ci)2 d’où c = 11,9. 5 ´ 1191,05 – 60,5 ´80,4 5 ´900,25 – 60,52 a = 60,5 80,4 1191,05 900,25 1576,30 Conclusion 5 ´1191,05 – 60,5 ´80,4 a r = = 1,297... 20 30 10 La concentration qui donne un angle de rotation de 15,85° est de 11,9 g/100 ml. b = S ai – a S ci n 5 ´900,25 – 60,52 5 ´1576,3 – 80,42 Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre la concentration et l’angle de rotation en utilisant la méthode des moindres carrés. = 0, Angle de rotation (degrés) 80,4 5 60,5 5 b = – 1,297... = 0, On a une corrélation positive très forte. Le modèle affine est donc très approprié dans cette situation. Le modèle affine est alors : 4 8 12 c 16 20 a(c) = 1,30c + 0,38 Concentration (g/100 mL) S S S S

21 Conclusion On peut utiliser le modèle affine de diverses façons pour déterminer de l’information supplémentaire à partir de données expérimentales. On peut déterminer un modèle affine local et déterminer d’autres correspondances par interpolation. On peut représenter graphiquement les données et juger visuellement de la pertinence d’un modèle affine global que l’on obtient ensuite par régression. Par le calcul des résidus et du coefficient de corrélation, on peut chiffrer la précision du modèle et l’intensité du lien affine entre les variables.

22 Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature section 1.3, p.15 à 28. Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature section 1.4, p. 29 et 34.