NUMERATION et REPRESENTATION DES NOMBRES

NUMERATION et REPRESENTATION DES NOMBRES
Les systèmes informatiques, numériques, utilisent principalement quatre systèmes de numération : Le décimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (base 10) Le binaire 0, 1 (base 2) L’ octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (base 8) L’hexadécimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (base 16) 1°) Système de numération binaire On utilise uniquement deux chiffres, 0 et 1 Décimal 342 Unité  poids le plus faible (100=1) Dizaine  poids de 101=10 Centaine  poids le plus fort (102=100)

Nombre(10) = an x 2n + … + a2 x 22 + a1 x 21 + a0 x 20
NUMERATION et REPRESENTATION DES NOMBRES 1°) Système de numération binaire On utilise uniquement deux chiffres, 0 et 1 Binaire 1101 Bit de poids faible (20=1) Bit de poids fort (23=8) 2°) Passage de la numération binaire à la numération décimale Nombre(10) = an x 2n + … + a2 x 22 + a1 x 21 + a0 x 20 où “2” est la base d’origine et “n” la puissance ou le rang de la base. Application : 1101(2) 1101(2) = 1 x x x x 20 = = 13 (10)

2°) Passage de la numération binaire à la numération décimale Disposition en tableau : Nombre binaire 1 1 1 Valeur décimale du nombre binaire : Poids binaire 23 22 21 20 = 13 (10) Valeur décimale 8 4 2 1

3°) Passage de la numération décimale à la numération binaire Divisions successives : Traduire en binaire le nombre décimal 21 21 2 21(10) = 10101 (2) 1 10 2 Sens de lecture 5 2 1 2 2 1

3°) Passage de la numération décimale à la numération binaire Divisions successives : Traduire en binaire le nombre décimal 2009 2009 2 1 1004 2 2009(10) = (2) 502 2 Sens de lecture 251 2 1 125 2 1 62 2 31 2 1 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1

3°) Passage de la numération décimale à la numération binaire Tableau de transcodage : Traduire en binaire le nombre décimal 15 1 2 4 8 Valeur décimale 20 21 22 23 Poids binaire Nombre binaire 1 1 1 1 Valeur binaire du nombre décimal : 15-8=7 -4=3 -2=1 -1=0 Soit 15(10) = 1111(2) Traduire en binaire le nombre décimal 175 32 25 16 24 8 23 4 22 1 2 64 128 Valeur décimale 20 21 26 27 Poids binaire Nombre binaire 1 1 1 1 1 1 =47 -32=15 -8=7 -4=3 -2=1 -1=0 Soit 175(10) = (2)

4°) Système de numération hexadécimale La numération hexadécimale est une façon plus condensée d’écrire un nombre binaire en remplaçant une tranche de quatre chiffres binaires par un seul chiffre hexadécimal. (2) = A 8 3 F (16) 1 2 4 8 Valeur décimale 20 21 22 23 Poids binaire Nombre binaire 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8+2 2+1 = A = 8 = 3 = F

4°) Système de numération hexadécimale Exercice: Transcoder en hexadécimal le nombre binaire : = 9EB (16) 1 2 4 8 Valeur décimale 20 21 22 23 Poids binaire Nombre binaire 1 1 1 1 1 1 1 1 8+1 8+4+2 8+2+1 = 9 = E = B Transcoder en binaire le nombre hexadécimal : D 3 C 5 = (2) 1 2 4 8 Valeur décimale 20 21 22 23 Poids binaire Nombre binaire 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D=8+4+1 3=2+1 C=8+4 5=4+1

5°) Passage de la numération hexadécimale à la numération décimale Nombre (10) = an x 16n + … + a2 x a1 x a0 x 160 Exemple : 17B (16) 1 x x x 160 = = 379(10) Remarque : Il devient indispensable de préciser la base dans laquelle se trouve le nombre afin d’éviter toute confusion : 35(16) = 53(10) Exercice : Transcoder en décimal le nombre hexadécimal : BAC2012 11 x x x x x x x 160 = (10) de tête…

6°) Passage de la numération décimale à la numération hexadécimale Divisions successives par 16: Exemple : 1123 (10) 1123 16 1123(10) = 463(16) 3 70 16 Sens de lecture 6 4

7°) Les différentes formes de binaire 7.1 Le binaire pur (naturel) 1 Nombres binaires Nombre décimal 2 4 8 Valeurs décimales 20 21 22 23 Poids binaire 1 2 3 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 1 7 1 8 1 1 9 1 1 10 1 1 1 11 1 1 12 1 1 1 13 1 1 1 14 1 1 1 1 15

7°) Les différentes formes de binaire 7.2 Le binaire codé décimal (BCD) Chaque groupement de 4 bits binaires (quartet) est traduit en une pondération décimale. On appelle aussi deux quartets un octet. Chaque chiffre décimal traduit du BCD ne peut dépasser 9. Au delà, un quartet supplémentaire est utilisé.

7.2 Le binaire codé décimal (BCD) 3 1 2 Nombres binaires Nombre décimal 4 8 Valeurs décimales 20 21 22 23 Poids binaire 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 1 7 1 8 1 1 9 1 10 1 1 11 1 1 12 1 1 1 13 1 1 14 1 1 1 15

7°) Les différentes formes de binaire 7.3 Le binaire réfléchi (de GRAY) Dans le code binaire pur, le passage d’une combinaison à l’autre entraîne parfois le changement simultané de plusieurs bit : 3 bits ont changé d’état Ce changement simultané de plusieurs bits entraîne des aléas de fonctionnement. Effectivement, dans l’évolution d’un fonctionnement combinatoire, il est impossible de modifier simultanément l’état de deux variables. Exemple : le va et vient ; il est impossible d’actionner simultanément les deux commandes, l’une sera toujours actionnée après l’autre. Le binaire réfléchi tient compte de cette évolution : une seule variable change à la fois

7°) Les différentes formes de binaire 7.3 Le binaire réfléchi (de GRAY) 1 G0 G1 G2 G3 Axes de symétrie ou axes de « réflexion » 1 1 1 Remarque : 1 1 Le code de Gray est un code réfléchi , non pondéré qui ne peut pas être utilisé pour les opérations arithmétiques. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7°) Les différentes formes de binaire 7.4 Les nombres formatés Les nombres peuvent être entiers, ou décimaux, ce qui nécessite l’utilisation d’une virgule. Ils peuvent être supérieurs ou inférieurs à un, ce qui se traduit par les signes + , ou - : on dit que ce sont des nombres signés. Les signes + et – ne sont pas reconnus par un calculateur, qui ne connaît que le 0 ou le 1. Par convention, on définit comme bit de signe le bit le plus à gauche. La convention la plus courante est, pour le signe + le 0, et pour le signe – le 1. + ou - 23 22 21 20 0 ou 1 x Bit de signe quartet Exemple : Nombres binaires avec signes codés sur 4 bits plus 1 bit de signe : (2) = +11 (10) (2) = -14 (10)

8°) Les opérations en binaire Que ce soit en base 10, en base 2 ou 16, les opérations classiques restent valables. 8.1 L’addition binaire On utilise, de la même manière qu’en décimal une table : 0 + 0 = 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 au-dessus de la valeur 1, on pose une retenue sur le chiffre suivant. = = 11 = 100

8°) Les opérations en binaire 8.1 L’addition binaire Exercice : Additionnez 1 1 1 1 1 10 1 101 +110 11100 +01111 10110 +11110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8°) Les opérations en binaire 8.2 L’addition en hexadécimal Au-dessus de la valeur F, on pose une retenue sur le chiffre suivant. Exemples : 1 1 1 1 163 +333 AB +DF EDF +230 4 9 6 1 8 A 1 1 F

8°) Les opérations en binaire Exercice : Effectuez l’addition des deux nombres hexadécimaux suivants : ACDC + ABBA = ? Transformez chaque nombre en binaire puis en décimal. Effectuez l’addition des deux nombres binaires puis l’addition des deux nombres décimaux. Transformez les résultats en hexadécimal et vérifiez les par rapport à la première question de l’énoncé. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ACDC + ABBA ACDC (16) = (2) ABBA (16) = (2) 1 5 8 9 6 (16) 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) 1 5 8 9 6 (16) ACDC = 10x x x = (10) 88214 16 ABBA = 10x x x = (10) 6 5513 16 9 344 16 88214 (10) 8 21 16 5 1

GROUPEMENT DE BITS Le groupement de plusieurs bits est appelé mot binaire. S’il est formé de 4 bits on l’appelle quartet, et s’il est formé de huit bits octet. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 Valeur décimale 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 Poids binaire Décomposition Bit de poids fort (signe) Bit de poids faible (parité) Octet de poids fort Octet de poids faible 4ème Quartet 3ème Quartet 2ème Quartet 1er Quartet

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