Eléments Réduction 1 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de.

Présentation au sujet: "Eléments Réduction 1 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de."— Transcription de la présentation:

1 Eléments Réduction 1 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p. Calculer les éléments de réduction pour chaque configuration Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants Configuration 1 Configuration 2

2 p Résolution x y Ry0 Ry1 G Principe de calcul (cas Pb plan) G y Ry0
Elts Réd1 Résolution Les réactions d'appuis ont été résolues par le PFS (Principe fondamental de la statique) x y Réactions d'appuis : Ry0=Ry1=pL/2 Ry0 Ry1 Il s'agit d'identifier en chaque point G d'abscisse X de la poutre la valeur résultante des efforts selon x, y et moments autour de z du tronçon à gauche de X càd : 0  t  X t G X Détermination des éléments de Réduction Principe de calcul (cas Pb plan) Couper virtuellement la poutre en deux parties,au point d'abscisse X: Chaque tronçon est en équilibre : G y X Le tronçon de Gauche Ry0 p Ry1 X G 1 x Le tronçon de Droite Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Le tronçon de gauche est sollicité par le Torseur des actions extérieures gauches Le tronçon de droite est sollicité par le Torseur des actions extérieures droites L'ensemble est en équilibre, Donc

3 p Résolution G y Ry0 TGy x y z G MGx G MGz NGx Elts Réd1
Détermination des Eléments de Réduction Torseur Elts Réduction Elts de réduction G y Le tronçon de Gauche Ry0 p TGy Un effort selon l'axe y tangent à la section appelé Effort tranchant : TGy x y z G Un moment autour de l'axe x normal à la section appelé Moment de torsion : MGx MGx X G MGz Un moment autour de l'axe z tangent à la section appelé Moment de flexion : MGz NGx Un effort selon l'axe x normal à la section appelé Effort normal : NGx La détermination des éléments de réduction correspond au calcul du Torseur des Elts de réduction c.à.d du Torseur des actions extérieures gauches calculé en tout point G d'abscisse x pour 0  x  L Ce torseur est exprimé au centre de Gravité G de la section au point ( passe par la fibre moyenne) et se décompose en : Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Le principe de calcul redevient alors le même que pour celui des actions aux liaisons : En particulier on peut remplacer une charge répartie, par sa charge équivalente appliquée en son centre de gravité

4 Sens de rotation positif
Elts Réd1 Résolution 1) Vérification du repère (+) Sens de rotation positif y x Ry0 G X 2) Indication du sens de rotation positif p * Remplacement de la charge répartie p par une force de même intensité au centre de gravité y x Ry0 G (+) X 1) Calcul effort normal (proj/x) X/2 px NGx=0 2) Calcul effort tranchant (proj/y) TGy=Ry0-px 3) Calcul moment flexion (rot/z) MGz=-Ry0*(x)+px*(x/2) Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Solution : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 NGx, TGy, MGz sont des fonctions qui dépendent de x, on va donc tracer leur diagramme RDV page suivante

5 (x=L/2) MGz=-Ry0*(L/2)+p(L/2)2/2
Elts Réd1 Solution : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 Tracé des Diagrammes x y Ry0 Ry1 G 1 x T Diagramme effort tranchant: TGy=Ry0-px Ry0 pL/2 -pL/2 x=L/2 T=0 Ry1 pL/2 -pL/2 G 1 x Mz Diagramme moment de flexion : MGz=-Ry0*(x)+px2/2 x=L/2 (x=L/2) MGz=-Ry0*(L/2)+p(L/2)2/2 =-pL2/8 -pL2/8

6 Elts Réd1 Remarque sur le Tracé des Diagrammes x y Ry0 Ry1 Chargement& Géométrie symétriques par rapport à x=L/2 x=L/2 G 1 x T Diagramme effort tranchant: Anti-symétrique par rapport à la droite x=L/2 Ry0 x=L/2 Ty(x) Ty(x)=-Ty(L-x) x // T=0 L-x // Ry1 Ty(L-x) Diagramme moment de flexion : Symétrique par rapport à la droite x=L/2 G 1 x Mz x=L/2 Mz(x)=Mz(L-x) L-x // x // Mz(x) =Mz(L-x)

7 Fin Conclusion: Récapitulatif x y Ry0 Ry1 G x T Ry1 Ry0 T=0 G x Mz
Elts Réd1 Elts Réduction : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 Conclusion: Récapitulatif x y Ry0 Ry1 Diagramme effort tranchant: TGy=Ry0-px G 1 x T Ry1 -pL/2 Ry0 pL/2 x=L/2 T=0 pL/2 -pL/2 Diagramme moment de flexion : MGz=-Ry0*(x)+px2/2 x=L/2 -pL2/8 G 1 x Mz Fin

8 Elts Réd1 Configuration 2 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p. Calculer les éléments de réduction Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants L/3 2L/3 G 1 p

9 Sens de rotation positif
Elts Réd1 1) Vérification du repère (+) Sens de rotation positif y x Ry0 Ry1 2) Indication du sens de rotation positif 2L/3 p G 1 L/3 3) Ry0 et Ry1 ont été calculé par la résolution du PFS G:0xL/3 G:L/3x  L Ry0=3pL/4 Ry1= pL/4 L'expression des éléments de réduction est la même pour tout point G d'abscisse 0  x  L/3 (elle dépendra de p, et de x) pour tout point G d'abscisse L/3  x  L, il faudra rajouter à P la force Ry0 (action de l'appui en G0) dans l'expression des éléments de réduction Principe de calcul Pour faciliter l'organisation du calcul, on l'organise dans un tableau RDV page suivante

10 px p px p p G x y Ry0 Ry1 L/3 G x y Ry0 L/3 Ry1 G x y Ry0 L/3 Ry1 G x
Elts Réd1 Principe de calcul : « Approche géométrique » 2L/3 px G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 X/2 2L/3 G 1 x y Ry0 L/3 Ry1 p 2L/3 G 1 x y Ry0 L/3 px X/2 Ry1 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px +Ry0 T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 Mz(x)=px *(x/2) Mz(x)= px *(x/2) - Ry0*(x-L/3) Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 RDV page suivante

11 p G x y Ry0 Ry1 L/3 Principe de calcul : « Approche mathématique »
Elts Réd1 Principe de calcul : « Approche mathématique » 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion T(x)=-px G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px+ 3pL/4 +Ry0 Mz(x)=px2/2 +C1 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) +C2 Pour déterminer les constantes C1, on utilise une position où la valeur du moment est connue Par exemple, x=0 : Mz(0)=0  C1=0 x=L : Mz(L)=0  C2= -pL2/2+3pL2/4 , C2= pL2/4 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 RDV page suivante Il reste à tracer les diagrammes

12 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4
G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Elts Réd1 Valeur de x Effort Tranchant G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 x T Diagramme effort tranchant 5pL/12 Ry0 -5pL/12 x=3L/4 T=0 G 1 x=L/3 Ry1 -pL/4 -pL/3 pL/4 pL/3 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 x Mz G 1 x=L/3 x=3L/4 Diagramme moment de flexion pL2/18 -pL2/32

13 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4
Ry1 2L/3 p G 1 x y Ry0 L/3 Elts Réd1 Conclusion: Récapitulatif Ry0=3pL/4 Ry1= pL/4 Valeur de x G:0xL/3 G:L/3x  L Effort Tranchant T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 Diagramme effort tranchant Ry1 -pL/4 Ry0 G 1 x=L/3 x T -pL/3 5pL/12 x=3L/4 T=0 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 Fin x Mz G 1 x=L/3 x=3L/4 pL2/18 Diagramme moment de flexion pL/3 pL/4 -pL2/32 -5pL/12

14 M=pL2/5 F=pL L/3 2L/3 p Exemple
Elts Réd1 Exemple Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p, et une force F=-pL et un couple M=pL2/5. Calculer les éléments de réduction Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5

15 Sens de rotation positif
Elts Réd1 (+) Sens de rotation positif 1) Vérification du repère F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5 x y 2) Indication du sens de rotation positif 3) Ry0 et Ry1 sont calculés par la résolution du PFS Remplacement par un problème équivalent F=pL L/3 2L/3 G0 G1 M=pL2/5 (+) x y Ry0 Ry1 pL L/2 Projection Axe Y : Solution : Ry0= 31pL/20 Ry1= 9pL/20 Ry0+Ry1-2pL=0 Moment /G0 : -pL*(L/6) -pL*(L/3) +pL2/5 + Ry1*(2L/3) =0

16 Sens de rotation positif
Elts Réd1 1) Calcul des Eléments de Réduction (+) Sens de rotation positif F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5 x y 31PL/20 9PL/20 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion G:0xL/3 G:L/3x2L/3 G:2L/3x  L T(x)=-px +Ry0 T(x)=-px+ 31pL/20-pL/20 T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20 T(x)=-px+ 11pL/20 Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 +C1 Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) - 11pL/20*(x) +C2 +C3 x=0 : Mz(0)=0  C1=0 Détermination des constantes x=L/3 : Mz(L/3)<=Mz(L/3)>  C2 - 31pL/20*L/3 =0 , C2= 31pL2/60 x=L : Mz(L)=0  pL2/2 - 11pL/20*L+ C3 =0 , C3= pL2/20 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) - 11pL/20*(x) + 31pL2/60 + pL2/20

17 Fin T Ry0 F=pL G x Ry1 Mz G x M T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20
Elts Réd1 1) Tracé des diagrammes des Eléments de Réduction Valeur de x G:0xL/3 G:L/3x2L/3 G:2L/3x < L Effort Tranchant T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20 T(x)=-px+ 11pL/20 x T 73pL/60 Diagramme effort tranchant Ry0 53pL/60 F=pL -7pL/60 G x=L/3 x=2L/3 1 Ry1 -pL/3 -9pL/20 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) + 31pL2/60 - 11pL/20*(x) + pL2/20 pL/3 x Mz Diagramme des moments pL2/18 -73pL/60 9pL/20 G x=L/3 x=2L/3 1 -17pL2/180 M 7pL/60 Fin -53pL2/180 -53pL/60

18 Elts Réd1 Fin Elts de Réduction 1 Cela termine Le premier exemple