TP8: Equations différentielles II

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1 TP8: Equations différentielles II

2 Rappels Résolution d’équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants Exemple d’enoncé: Ay’’+By’+Cy=0 Remplacer y par Résoudre l’équation Rechercher le delta Si delta=0=> exponentielle multipliée par un polynôme de degré égal au degré de l’équation différentielle moins 1 Si delta>0=> somme des exponentielles des li multipliée par un coefficient constant Si delta<0=> somme des sin et cos des parties imaginaires des racines multipliées par l’exponentielle de la partie réelle des racines et par un coefficient constant

3 Rappels Point d’équilibre
Déplacement vers la droite si est supérieur à 0, vers la gauche sinon. Ce point est stable si lorsqu’on prend la limite de la fonction en l’infini, on converge vers ce point, pour une condition initiale fixée en un point suffisamment proche du point d’équilibre

4 A. Exercices supplémentaires
Analyser les équations suivantes graphiquement. Déterminer tous les points fixes, classifier leur stabilité et esquisser un graphe des fonctions solution sur R+. Ne pas résoudre les équations. tracer le graphique

5 A. Exercices supplémentaires
tracer le graphique

6 A. Exercices du syllabus
173 a) y’’-9y=0 c)y’’+6y’+9y=0 f)

7 B. Exercices du syllabus
176 177 déterminer y tel que y(0)=0 Y’’=-y’  y’’+y’=0 Condition initiale:

8 B. Exercices du syllabus
179 a) b) c) 182 c) condition initiale=

9 B. Exercices du syllabus
184

10 C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +3 𝑦 ′ −4𝑦=0

11 C. Exercice supplémentaire
Solution particulière Solution générale

12 C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +3 𝑦 ′ −4𝑦=0

13 C. Exercice supplémentaire
(b)Solution particulière

14 C. Exercice supplémentaire
(c)Solution particulière (d) solution générale

15 C. Exercice supplémentaire
Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +8 𝑦 ′ +16𝑦=0

16 C. Exercice supplémentaire
Solution particulière Solution générale

17 C. Test 1. B ( )/2+1 2.D minimum de filles si tous garçons droitiers (16) 22-16=6 3.D

18 Test 4. C 5.E Solution: A et C sont d’ordre supérieur à 1
B et D: on ne peut pas isoler x et y E: y’y² = xy³ + 1- sin²(x + y) cos²(x + y) = x y³