Exercice 2 1) On commence par traduire les relations de l’énoncé

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1 Exercice 2 1) On commence par traduire les relations de l’énoncé
Un nombre A s’écrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 1) On commence par traduire les relations de l’énoncé Soit cdu l’écriture décimale du nombre A A = 100c+ 10d + u On alors B= cud = 100 c + 10 u + d C= dcu = 100 d + 10 c + u D= udc = 100 u + 10 d + c A – B = 27 (100c+ 10d + u) – (100 c + 10 u + d) = 27 9d – 9u =27 d – u = 3 d = u +3 C – A = 540 (100d + 10c + u) – (100c + 10d + u) = 540 90 d – 90 c = 540 d – c = 6 d = c + 6 Ces deux relations permettent de représenter les positions relatives de d, c et u c u d 3 6

2 Exercice 2 d = u +3 d = c + 6 Par suite
Un nombre A s’écrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. d = u +3 d = c + 6 Par suite D – A = (100 u + 10 d + c) – (100c+ 10d + u) = 99 u – 99 c = 99 ( u – c ) = 99 * 3 (voir schéma page précédente pour comprendre pourquoi u – c = 3) = 297

3 Exercice 2 Un nombre A s’écrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 2) Montrer que A est un multiple de 3. 2) A = 100c+ 10d + u ( on choisit de tout exprimer par rapport à c par exemple) A = 100c + 10 (c+6) + (c+3) = 100c + 10c c + 3 = 111c + 63 = 3* 37c + 3*21 = 3*(37c+21) (37c+21 est un entier naturel) Donc A est un multiple de 3.

4 Exercice 2 Un nombre A s’écrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 2) Montrer que A est un multiple de 3. 3) Trouver A (donner toutes les solutions). 3) Les relations u = c+3, et d=c+6 qui traduisent l’énoncé (+ schéma précédent) imposent : c peut être égal à 1, 2 ou 3 (car d=c+6, et d doit rester inférieur ou égal à 9) Solution 1 : c=1 et donc u = 4 , d = 7 d’où A = 174 Solution 2 : c=2 et donc u = 5 , d = 8 d’où A = 285 Solution 2 : c=3 et donc u = 6 , d = 9 d’où A = 396