1.Un rang de données multicolores 2. Deux permutations des n premiers entiers 3. b permutations des k premiers entiers 4. Choix de n points dans [0,1]

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2 1.Un rang de données multicolores 2. Deux permutations des n premiers entiers 3. b permutations des k premiers entiers 4. Choix de n points dans [0,1] TESTS NON PARAMETRIQUES

3 N positions, s couleurs, Mi points par couleur : = modèle des suites multicolores Ho : distribution aléatoire des s couleurs dans le rang Ha : au moins une couleur a une position différente des autres On compare les rangs moyens: RM( ) = RM( ) = 39/5 RM( ) = 55/5 Test de Kruskal-Wallis Séries multicolores

4 Altitude des plants de 3 genres de plantes alpines: Bleues : 26, 29, 33, 38, 44 Blanches : 30, 35, 37, 41, 51 Mauves : 34, 42, 45, 49, 53 Effet de laltitude sur la composition: comparaison de 3 moyennes En passant aux rangs : Bleues : 1, 2, 4, 8, 11 Blanches : 3, 6, 7, 9, 14 Mauves : 5, 10, 12, 13, 15 Comparaison de 3 rangs moyens Test de Kruskal-Wallis

5 Somme des rangs à s couleurs N valeurs, s classes, M i valeurs dans la classe i somme des rangs de la classe i =SR i = R i Principe : comparer les RM i : R i /M i Test de Kruskal-Wallis Principe

6 Test de Kruskal-Wallis Statistique H

7 Si s = 3 et Mi 5 => table de Kruskal-Wallis Sinon Lorsque Ho est rejetée: au moins une moyenne diffère des autres. Test de Kruskal-Wallis Statistique H

8 M B = 5R B = 26 M V = 5R V = 39 M R = 5R R = 55 Table: pour Mi = 5,5,5: H = 8 => = 0,009 H = 4,5 => = 0,102 H obs = 4,22 => > 0,102 Ho acceptée Test de Kruskal-Wallis Exemple

9 Correction pour ex-aequos e = nombre de groupes dex-aequos u i : nombre dex-aequos dans le ième groupe Rang attribué au groupe: rang moyen Test identique Test de Kruskal-Wallis NN uu H H e i ii corr 3 1 3 )( 1

10 Surfaces foliaires de trois groupes de plantes T, A, B: T: 70, 65, 69, 66, 67, 68, 65, 65, 68, 67N T = 10 A: 65, 67, 66, 67, 69, 65, 64, 64, 68, 65N A = 10 B: 59, 61, 63, 64, 63, 61, 62, 62, 60, 65N B = 10 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 B B B B B B B A A A A T B B B A A T A T T A A T T A T T Test de Kruskal-Wallis Ex-aequos: exemple

11 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Rang 1 2 3,5 5,5 7,5 10 15 19,5 22,5 26 28,5 30 u i 2 2 2 3 7 2 4 3 2 R T = 15*3 + 19,5 + … = 220 R A = 184 R B = 61 H corr = 18,26 H = 17,94 Ho rejetée Test de Kruskal-Wallis Ex-aequos: exemple

12 Autres tests sur un rang multicolore Agrégats de couleurs: nombre de suites multicolores Regroupements aux deux extrémités: variance des rangs 1 couleur dun côté: test de Jonckheere

13 Deux permutations des n premiers entiers Corrélation non paramétrique Exemple: 10 élèves classés selon leurs résultats dans deux disciplines Notes: corrélation r Rangs: corrélation des rangs HistoireFrançais A 810 B 1 5 C 6 6 D 4 8 E 3 1 F 7 9 G 2 4 H 10 7 I 5 2 J 9 3 Relation entre les classements dans les deux disciplines?

14 Corrélation de rang de Spearman Basé sur la distance entre les deux permutations: Histoire Français di 810 -2 1 5 -4 6 6 0 4 8 -4 3 1 2 7 9 -2 2 4 -2 10 7 3 5 2 3 9 3 6 Distance: -1 1 NN d N i i 3 1 2 6 1

15 Test de Ho : = 0 absence de corrélation ou indépendance Ha : 0 corrélation ou dépendance * N 30: sous Ho: Table de Spearman * N > 30: sous Ho: Corrélation de rang de Spearman

16 Exemple = 0,382 seuil (N = 10, = 0,05) = 0,648 Ho acceptée: pas de relation entre les deux classements => pas de classement consensus des élèves Corrélation de rang de Spearman

17 2 permutations = 2 variables: compter les ex-aequos séparément u i = nombre dex-aequos dans le ième groupe Pour la première variablePour la deuxième variable Correction pour ex-aequos Corrélation de rang de Spearman '12)1(' )1( )''(66)1( 22 1 22 vNNuNN vudNN N i i corr

18 b permutations des k premiers entiers Test de Friedman Modèle, plan dexpérience Modèle: b ( 3) permutations (critères de jugement) des k premiers entiers (échantillons) : cohérence entre les critères de jugement (corrélation multiple)? Différence entre les échantillons? Ex: k élèves classés dans b matières k variétés de café testées par b goûteurs k médicaments administrés à b patients => ANOVA 2 SR non paramétrique

19 Présentation des données: b permutations, k échantillons P1 ……… Pb Ech 1 … Ech i … Ech k R 1 R i = SR Ech i (somme des rangs de chaque permutation : k(k+1)/2 Test de Friedman

20 Statistique Sous Ho: Ex-aequos: par critère de jugement (colonne): u i : nombre dex- aequos dans la ième permutation Test de Friedman

21 Exemple 7 arbres mesurés chacun par 4 méthodes M1 M2 M3 M4 A1 30 17 21 25 A2 12 10 18 14 A3 18 13 15 12 A4 10 11 9 8 A5 25 26 23 24 A6 18 16 21 22 A7 14 12 16 18 Test de Friedman

22 - comparer les 4 méthodes par 7 critères de jugement (arbres) k = 4, b = 7 (7 permutations en ligne) Ri = 20, 14, 18, 18 Q = 1,629 < Ho acceptée: pas de biais dans les méthodes - comparer les 7 arbres par 4 critères de jugement (méthodes) k=7, b=4 Exemple Test de Friedman

23 Choix de n points dans [0,1] f obs : distribution observée centrée réduite f théor : distribution théorique T = distance entre f théor et f obs Comparaison de fonctions de répartition

24 T = max(f obs (i-1)-f théor (i), f obs (i)-f théor (i)) T > T seuil : Ho rejetée Test de Kolmogorov f obs (i-1) f obs (i) i Distribution observée x 1, x 2, …, x n. Ho : distribution observée conforme à une distribution donnée