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Publié parMohamed Redouane Kafi Modifié depuis plus de 5 années
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CalculmatricielCalculmatriciel
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I. Matrices
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Définitions & notations :
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Exemples de matrices :
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Notations :
6
ligne i colonne j
7
Terminologie :
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Addition et multiplication par un réel :
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Propriétés de l’addition :
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Produit matriciel :
15
p p ligne i colonne j
16
Produit matriciel :
21
Produit matriciel - Exemple:
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Produit matriciel :
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Produit matriciel – Exemple :
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Produit matriciel - Propriétés
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Puissance d’une matrice :
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Transposition : Définition: On appelle transposée de A=(a ij ) M np ( ) la matrice A t = (a ij ) M pn ( ) obtenu en permutant les lignes en colonnes.
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Transposition :
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Inverse d’une Matrice
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Inverse d’une Matrice:
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inverse d'une matrice : calcul
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Méthode pour inverser A (Méthode de Gauss)
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Exemple détaillé
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la représentation d'état
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3 Introduction à la notion d'état Exemple 1 : circuit RC Modélisation du circuit RC Le modèle est de la forme R i(t) C Vc(t)Vc(t) u(t)u(t) Ri(t) x(t) u(t) x(t) 1 id Entrée : u(t) Sortie : y(t) = i(t) Posons x(t)=V c (t) RC x (t) x(t) u(t) i(t) 1 x(t) 1 u(t)R y(t) 1 x(t) 1 u(t)R x (t) ax(t) bu(t)(I) y(t) cx(t) du(t)(II) (I) : équation dynamique du 1 er ordre fonction de x(t) (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t) Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur) C
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Introduction à la notion d'état : exemple 1 Remarques La connaissance de x(t) (et donc de y(t) ) sur l'intervalle de temps [t 0, t] ne dépend que de la condition initiale x(t 0 ) et des équations (I) et (II) Laconnaissancede x surl'intervalledetemps - ,t 0 ] n'estpas nécessaire pour déterminer x sur [t 0, t] Si à l’instant t 1, on applique un nouveau signal d’entrée u 1 (t), l’evolutions de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de x(t1) et de u1(t) Définitions x(t) est appelé l'état du circuit électrique Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement dynamique du circuit électrique
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Représentation d'état d'un système Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie Variables X(t) : vecteur d'état ( n : nombre d'états) (I): équation d'état ou équation de commande (II): équation de sortie ou équation d'observation X (t) RnX (t) Rn U(t) : vecteur des entrées ( m : nombre d'entrées) U (t) RmU (t) Rm Y(t) : vecteur des sorties ( p : nombre de sorties) Y (t) R pY (t) R p
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Représentation d'état d'un système Remarques Matrices de la représentation d'état A : matrice d'état A RnnA Rnn (matrice carrée) B : matrice d'entrée B RnmB Rnm C : matrice de sortie C R pnC R pn D : matrice de couplage D R pmD R pm (I): l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1 (II): l'équation de sortie est une équation statique linéaire reliant les sorties aux entrées et aux états Souvent D 0 Toute la dynamique interne du système est résumée dans l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si U=0, on a le système libre caractérisé par X AX. Les valeurs propres de A sont les pôles du système
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Représentation schématique du modèle d'état Interprétation du schéma Equation d'état = vue interne du système A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties B U D A C Y X Equation d'état (partie dynamique) Equation de sortie (partie statique)
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Représentations d'état équivalentes Unicité de la représentation d'état ? La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !! Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations d'états équivalentes
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Différence entre SISO et MIMO Une seul entrée – Une seul sortie/ Multi entrées – Multi sorties Exemples ( 3DOF robot manipulateur )
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Différence entre SISO et MIMO Exemples (Twin rotor mimo systems)
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