Examen partiel #3 Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20

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1 Examen partiel #3 Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20
Salle 1112 du pavillon Pouliot. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4. - Notes de cours (guide d'études): sections 11 à 14. - Devoirs: 9 à 12.

2 Rappel... Orthogonalité. Produit scalaire, module;
Ensembles orthogonaux.

3 Aujourd’hui Projections orthogonales. Procédure de Gram-Schmidt

4 14. Projections orthogonales
Dans la section précédente, nous avons étudié la projection d’un vecteur y sur un espace à une dimension. Nous allons maintenant étendre ce concept à des sous-espaces de Rn.

5 Décomposition d’un vecteur
On peut toujours décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs en utilisant les bases de l’espace vectoriel. y = z1 + z2 z1  Span{u1,…, ul} z2  Span{ul+1,…, un}

6 Décomposition d’un vecteur (suite)
En particulier, si {u1,…, un} est une base orthogonale, on aura z1  z2. W = Span{u1,…, ul} W = Span{ul+1,…, un}

7 Théorème de la décomposition orthogonale
Soit W un sous-espace de Rn ayant une base orthogonale. Alors chaque vecteur y dans Rn peut être écrit de façon unique selon

8 Théorème de la décomposition orthogonale (suite)
En fait, si {u1, u2,..., up} est une base orthogonale quelconque de W, alors Le vecteur est appelé projection orthogonale de y sur W et est dénoté par projWy.

9 Décomposition orthogonale
y W

10 Interprétation géométrique
y u2 u1

11 Propriétés des projections orthogonales
Si y  W = Span{u1,,..., up}, alors projWy = y, où {u1,..., up} est une base orthogonale de W.

12 Théorème de la meilleure approximation
Soit W un sous-espace de Rn, y un vecteur quelconque dans Rn, et la projection orthogonale de y sur W déterminée par une base orthogonale de W. Alors est le point le plus proche de y dans W, au sens où pour tout vecteur v dans W distinct de .

13 Projection orthogonale de y sur W
v W

14 Théorème de la projection orthogonale
Si {u1, u2,..., up} est une base orthonormale d’un sous-espace W de Rn, alors Si U = [u1 u up], alors

15 Procédure de Gram-Schmidt
La procédure de Gram-Schmidt est un algorithme simple pour produire une base orthogonale ou orthonormale pout tout sous-espace de Rn.

16 La méthode de Gram-Schmidt
Soit une base {x1,..., xp} pour un sous- espace W de Rn. On définit

17 La méthode de Gram-Schmidt (suite)
Soit une base {x1,..., xp} pour un sous- espace W de Rn. On définit

18 La méthode de Gram-Schmidt (suite et fin)
{v1,..., vp} est alors une base orthogonale pour W. De plus Span{v1,..., vk} = Span {x1,..., xk} pour 1  k  p

19 La décomposition QR Utilisé dans plusieurs algorithmes numériques:
calcul des valeurs propres; solutions d’équations matricielles.

20 Théorème: décomposition QR
Si une matrice A m  n possède des colonnes linéairement indépendantes, alors A peut être décomposée selon A = QR, où Q est une matrice m  n dont les colonnes forment une base orthonormale de Col A et R est une matrice n  n, triangulaire supérieure et réversible, avec tous les éléments de sa diagonale > 0.

21 Méthode pour la décomposition QR
Q: on utilise Gram-Schmidt. R: on utilise le fait que Q est une matrice orthogonale. QTA = QT (QR) = IR = R

22 Devoir 12 (Ne pas remettre)
1) 2) 3) 4) [M] 5) 6) Calculer la décomposition QR pour la matrice de 7) [M] Calculer la décomposition QR pour la matrice de

23 Bonne chance à l’examen!