Structures de données IFT-2000

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1 Structures de données IFT-2000
Abder Alikacem Semaine 12 Les arbres rouges et noir 6 v 3 8 z 4 Édition septembre 2009 Département d’informatique et de génie logiciel

2 Plan Arbre rouge noir Arbre 2-3

3 Arbre rouge et noir Un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche comprenant une donnée supplémentaire par nœud définissant sa couleur : rouge ou noir. En contrôlant les manières dont sont colorés les nœuds on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n ’est pas plus de deux fois plus long qu’un autre. Ainsi, un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche approximativement équilibré.

4 Arbre rouge et noir : Propriétés
Dans un arbre rouge et noir : Chaque nœud est soit rouge, soit noir (condition #1). La racine est noire (condition #2). Si un nœud est rouge alors ses deux nœuds fils sont noirs (condition #3). Chaque chemin reliant un nœud à une feuille descendante a le même nombre de nœuds noirs (condition #4). 26 17 41 30 38 19 14 21 28 47 11 16 On utilise également la convention qui dit qu’un noeud NULL est noir.

5 Arbre rouge et noir : Propriétés
La troisième condition stipule que les nœuds rouges ne sont pas trop nombreux. La quatrième condition est une condition d'équilibre. Elle signifie que s'il on oublie les nœuds rouges d'un arbre on obtient un arbre binaire parfaitement équilibré. Dans un arbre rouge et noir, on peut toujours supposer que la racine est noire. Si elle est rouge, on change sa couleur en noire et toutes les propriétés restent vérifiées. 26 17 41 30 38 19 14 21 28 47 11 16 Comme la racine est noire et il ne peut y avoir plus de deux noeuds rouges consécutifs, la longueur de tout chemin de la racine à une feuille ne peut être supérieure à 2 fois le nombre de noeuds noirs dans ce chemin.

6 Arbre rouge et noir : La hauteur
Un arbre binaire complet de hauteur h possède au plus … + 2h = 2h+1-1 nœuds internes. Autrement dit, un arbre ayant n nœuds internes est de hauteur au moins égale à ln(n+1)-1. La hauteur minimale d'un arbre à n nœuds internes est atteinte lorsque l'arbre est parfaitement équilibré et que feuilles sont toutes sur un ou deux niveaux. log(n+1)-1 ≤ h. Les arbres rouges et noirs sont relativement bien équilibrés. La hauteur d'un arbre rouge et noir est de l'ordre de grandeur de log(n) où n est le nombre d'éléments dans l'arbre. En effet, la hauteur h un arbre rouge et noir ayant n éléments vérifie l'inégalité h ≤ 2log(n+1).

7 Arbre rouge et noir : La hauteur
Pour un arbre rouge et noir, on appelle hauteur noire le nombre k de nœuds internes noirs le long d'une branche de la racine à une feuille. On montre par récurrence sur cette hauteur noire, qu'un arbre de hauteur noire égale à k possède au moins 2k-1 nœuds internes. Si cette hauteur noire vaut 0, l'arbre est réduit à une seule feuille et il ne possède aucun nœud interne. Si un arbre est de hauteur noire égale à k > 0, alors ses sous-arbres gauche et droit sont au moins de hauteur noire k-1. Par hypothèse de récurrence, ils ont chacun au moins 2k-1-1 nœuds internes et l'arbre a au moins (2k-1-1)+(2k-1-1)+1 = 2k-1 nœuds internes au total. Ceci montre que la hauteur noire k d'un arbre vérifie k ≤ ln(n+1). Puisque la racine peut être supposée noire et qu'une branche ne contient pas deux nœuds rouges consécutifs, la hauteur h de l'arbre vérifie h ≤ 2k. Elle vérifie donc finalement h ≤ 2log(n+1).

8 Arbre rouge et noir : Complexité
En contrôlant ainsi les manières dont les nœuds sont colorés on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n’est pas plus de deux fois plus long qu’un autre. De plus, et on vient de le voir, un arbre rouge et noir comportant n nœuds a donc une hauteur au plus égale à : 2 log2(n+1). h <= 2 log2(n+1). On montre ainsi que dans un arbre rouge et noir comportant n nœuds, les opérations rechercher, minimum, maximum ont une complexité de l’ordre de log2(n).

9 Arbre rouge et noir : Exemple
30 70 15 10 20 60 85 5 50 65 80 90 40 55

10 Arbre rouge et noir : Exemple
30 70 15 10 20 60 85 5 50 65 80 90 40 55

11 Arbre rouge et noir : Exemple
30 70 15 10 60 85 2 noeuds noirs 90 5 50 65 80 83 95 40 55 4 noeuds noirs

12 Arbre rouge et noir : Implémentation
template <typename E> class Arbre { public: //.. private: // classe Noeud class Noeud { public: E data; Noeud *gauche; Noeud *droite; Noeud *parent; bool is_red; Noeud( const E&d ) {…} }; // Les membres données Noeud * racine; //racine de l'arbre

13 Arbre rouge et noir : Opérations
Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM, SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont inchangées dans un arbre rouge et noir Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre rouge et noir

14 Arbre rouge et noir : Insérer/Sup
Dans un arbre rouge et noir : Les opérations INSERER et SUPPRIMER modifient l ’arbre. Aussi, pour garantir les propriétés des arbres rouge et noir, il faut changer les couleurs de certains nœuds et changer aussi les chaînages par pointeurs. On modifie ces chaînages par rotations.

15 Arbre rouge et noir : Insertion
Un noeud inséré est toujours une feuille On peut pas le colorier en noir, puisque cela violerait la condition 4 On colore le noeud en rouge Si le père est noir, pas de problème Si le père est rouge, on viole la condition 3. Dans ce cas, on ajuste l’arbre, par le biais de changements de couleurs et de rotations Exemple. Insertion de 4: violation de la condition 3 6 6 3 8 3 8 4

16 Arbre rouge et noir : Top-Down
Pour éviter de devoir propager vers le haut l’algorithme de rotation, on peut utiliser une approche top-down Idée: garantir que, lorsqu’on arrive au point d’insertion, qu’il ne s’agisse pas d’un noeud rouge On pourra donc ajouter tout simplement un noeud rouge, sans risque de violer la propriété 3

17 Arbre rouge et noir : Top-Down
En descendant dans l’arbre, lorsqu’on rencontre un noeud qui a deux fils rouges, on colore ce noeud rouge et noir ses deux fils: Ainsi, le nombre de noeuds noirs dans un chemin demeure inchangé Par contre, on peut se retrouver avec deux noeuds rouges consécutifs, si le parent de X est rouge. Dans ce cas, il faudra appliquer une rotation Ceci fonctionnera parce qu’on est sur que le noeud frère du parent de X ne peut être que noir. Attention: la racine doit toujours demeurer noire 6 6 3 8 3 8

18 Arbre rouge et noir : La condition 3
Soit z le fils de parent v et de frère w Cas 1: w est rouge Recoloriage: situation d’overflow Cas 2: w est noir Restructuration: changer 4 de place w 4 v v 4 w v 2 7 2 7 z z z 6 6

19 Arbre rouge et noir : Restructuration
L’oncle de z, le frère de v, est noir z 4 6 w v v 2 7 4 7 z w 6 2

20 Arbre rouge et noir : Restructuration
Il y a 4 situations de configuration pour une restructuration lorsque la condition 3 est violée 2 6 6 2 6 2 4 4 4 4 2 6 4 2 6

21 Arbre rouge et noir : Recoloriage
L’oncle de z, le frère de v, est rouge La violation de la condition 3 peut être propagée au grand parent u u u 4 4 w v w v 2 7 2 7 z z 6 6

22 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 1 (père de x et oncle de x sont rouges)
4 On insère un nœud 4 que l ’on colore au départ en rouge 11 2 14 5 1 7 8 15 Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] si (couleur (y) = rouge) alors //cas 1 couleur (p[x] )<- noir couleur (y) <- noir couleur (p[p[x]] )<- rouge 5 7 8 4 x 5 8 7 Quand on insère un noeud on le colore tjrs en rouge au départ. HYPOTHESE : racine est noire (maintenue : dernière instrction) Arrêt : ou bien ce noeud est racine ou bien son père est noir Car si son père est rouge alors les ptés des ARN sur les couleurs ne sont plus respectées. Rqe : les autres ptés sont maintenues. tant que non arrêt : on applique le traitement T T : si père de x est à gauche de son g-père alors y = frère droit du père de x si y est rouge alors : père de x et son frère deviennent noir et le g-père rouge. x<- son grand père et on itère x<- p[p[x]] //on itère le traitement 4 … // traitement symétrique à droite Fin tant que couleur (racine) <- noir

23 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir)
Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (diapo précédente) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors 5 7 8 4 x 2 1 14 x 11 7 14 5 8 15 2 1 4 14 x <- p[x] // x =2 2 x Rotation gauche (x) On fait une rotation pour amener la situation au cas 3

24 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir)
Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (avant dernière diapo) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors 5 7 8 4 x 2 1 11 7 14 5 8 15 2 1 4 7 x Cas 2 : frère du père de x est noir et x est un fils droit On fait une rotation pour amener la situation au cas 3 et nouveau x

25 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 3 (x est un fils gauche et oncle droit noir)
11 7 14 5 8 15 2 1 4 11 Couleur (x) <- rouge Tant que ... faire ... sinon si (x=droit(p[x] )) alors // cas 2 ... Sinon // cas 3 couleur (p[x] ) <- noir couleur (p[p[x]]) <- rouge Rotation droite (p[p[x]])) fsi 7 x 11 7 14 5 8 15 2 1 4 Cas 3 : frère du père de x est noir et x est un fils gauche On a bien un arbre rouge noir

26 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
10

27 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
10 85

28 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
10 85 15

29 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 85 10 Rotation double

30 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
Attention: la racine ne change pas de couleur 15 85 10 Ajustement durant le parcours

31 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 85 10 70

32 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 85 10 70 20

33 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 20 85 Rotation simple

34 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 20 85

35 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 20 85 Ajustement durant le parcours

36 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 20 85 60

37 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 20 85 60 30

38 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 30 85 20 60 Rotation double

39 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 30 85 20 60

40 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 30 85 20 60 Ajustement durant le parcours

41 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
15 70 10 30 85 20 60 50

42 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 Rotation double

43 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50

44 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 Ajustement durant le parcours

45 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65

46 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65 80 Remarque: ces noeuds n’ont pas été modifiés parce qu’il ne sont pas dans le chemin parcouru

47 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65 80 90

48 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65 80 90

49 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65 80 90 Ajustement durant le parcours

50 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 50 65 80 90 40

51 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 5 50 65 80 90 40

52 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé
30 70 15 10 20 60 85 5 50 65 80 90 40 55

53 Arbres Rouge-Noir – Suppression
La suppression commence par une recherche classique du nœud à supprimer, puis enchaîne sur la réalisation de la suppression. La suppression du nœud consiste par remplacer par le plus petit élément de son sous-arbre droit, s’il a deux fils, et en le supprimant effectivement, s’il n’a qu’un seul fils (comme pour les arbres AVL). Par la suite, il faut vérifier/garantir la propriété des arbres rouge et noir.

54 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Si le nœud supprimé est rouge, la propriété (3) reste vérifiée. Si le nœud supprimé est noir, alors sa suppression va diminuer la hauteur noire de certains chemins dans l’arbre. Le nœud qui remplacera le nœud supprimé doit porter une couleur noire en plus. Ceci signifie qu'il devient noir s'il est rouge et qu'il devient doublement noir s'il est déjà noir. La propriété (3) reste ainsi vérifié mais il y a éventuellement un nœud qui est doublement noir. Exemple. Suppression de 8 cause la violation de la règle 3. 6 6 3 8 3 4 4

55 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Afin de supprimer ce nœud doublement noir, l'algorithme effectue des modifications dans l'arbre à l'aide de rotation. Soit x le nœud doublement noir. Cas 0 : le nœud x est la racine de l'arbre Le nœud x devient simplement noir. La propriété (2) est maintenant vérifiée et la propriété (4) le reste. C'est le seul cas où la hauteur noire de l'arbre diminue (l’inverse, lorsqu’on change en noir la couleur de la racine, c’est le seul cas ou la hauteur noire augmente).

56 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Cas 1 : le frère f de x est noir. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Soient g et d les fils gauche et droit de f. L'algorithme distingue à nouveau trois cas suivant les couleurs des nœuds g et d. Cas 1a : les deux fils g et d de f sont noirs. Le nœud x devient noir et le nœud f devient rouge. Le nœud p porte une couleur noire en plus. Il devient noir s'il est rouge et il devient doublement noir s'il est déjà noir. Dans ce dernier cas, il reste encore un nœud doublement noir mais il s'est déplacé vers la racine de l'arbre. C'est ce dernier cas qui représenté à la figure suivante.

57 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Cas 1b : le fils droit d de f est rouge. L'algorithme effectue une rotation droite entre p et f. Le nœud f prend la couleur du nœud p. Les noeuds x, p et d deviennent noirs et l'algorithme se termine.

58 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Cas 1c : le fils droit d est noir et le fils gauche g est rouge. L'algorithme effectue une rotation gauche entre f et g. Le nœud g devient noir et le nœud f devient rouge. Il n'y a pas deux nœuds rouges consécutifs puisque la racine du sous-arbre D est noire. On est ramené au cas précédent puisque maintenant, le frère de x est g qui est noir et les deux fils de g sont noir et rouge. L'algorithme effectue alors une rotation entre p et g. Le nœud f redevient noir et l'algorithme se termine.

59 Arbres Rouge-Noir – Suppression
Cas 2 : le frère f de x est rouge. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Puisque f est rouge, le père p de f ainsi que ses deux fils g et d sont noirs. L'algorithme effectue alors une rotation gauche entre p et f. Ensuite p devient rouge et f devient noir. Le nœud x reste doublement noir mais son frère est maintenant le nœud g qui est noir. On est donc ramené au cas 1.

60 Arbres AA Implémentation plus simple que les autres
Une condition supplémentaire: le fils de gauche ne peut pas être rouge Soit le niveau d’un noeud défini ainsi: - 1 si c’est une feuille - niveau du parent si le noeud est rouge - (1 – niveau du parent) si le noeud est noir On construit un arbre équivalent avec cette définition de niveau et on obtient un algorithme plus simple à implémenter.

61 ARBRE 2-3 Quand un ABR est déséquilibré : s’il se réduit par exemple à une liste linéaire chaînée alors les opérations ont une complexité de l ’ordre de (N). Pour garantir de bonnes performances une deuxième variante des ABR est les arbres 2-3

62 ARBRE 2-3 : propriétés Dans un arbre 2-3 :
Chaque nœud interne a exactement 2 ou 3 fils Tout chemin de la racine à une feuille a une longueur fixe

63 ARBRE 2-3 : propriétés Un arbre binaire de recherche ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) : A gauche d ’un nœud : valeurs de clés inférieures ou égales à la clé du nœud. A droite : valeurs de clés supérieures strictement. Représentation d ’une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Les nœuds internes ont pour valeur les clés Les feuilles ont pour valeur les éléments de la suite ordonnée

64 ARBRE 2-3 : exemple 5 2 7 7 16 5 - 8 12 12 8 19 - 19 16 Relation d ’ordre R : a R b <=> clé(a) R clé(b) Représentation d ’une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Un nœud interne a pour valeur la clé de l ’élément minimal du deuxième fils la clé de l ’élément minimal du troisième fils Feuille ont pour valeur les éléments de la suite

65 ARBRE 2-3 : insertion - cas 1
5 2 7 7 16 5 - 8 12 12 8 19 - 19 16 Cas 1 : insérer x=18 Cas où le nœud père de x n ’a que deux feuilles. 5 2 7 7 16 5 - 8 12 12 8 18 19 18 16 19

66 ARBRE 2-3 : insertion - cas 2
5 2 7 7 16 5 - 8 12 12 8 18 19 16 18 19 Cas 2 : insérer x=10 La feuille x est un 4ème fils x=10 Lorsqu’on insère un 4ème fils dans un nœud N , alors on scinde N en deux. 5 2 7 16 5 - 18 19 16 18 19 8 - 12 - 7 8 10 12

67 ARBRE 2-3 : insertion - cas 2
5 2 7 7 16 5 - 8 - 8 18 19 16 18 19 10 12 - 12 N N1 Lorsqu’on insère un 4ème fils dans un nœud N alors On scinde N en deux, Les deux éléments les plus petits restent avec N Les deux plus grands ont pour père un nouveau nœud N1 N1 est inséré parmi les pères de N (on itère l ’insertion)

68 ARBRE 2-3 : insertion - cas 2
5 2 7 7 16 5 - 8 - 8 18 19 16 18 19 10 12 - 12 5 2 7 10 - 5 - 8 - 8 18 19 16 18 19 10 12 - 12 7 - 16 - (12 -) est un 4ème fils de (7 16). On scinde(7 16) en deux nœuds Nouvelle racine 10

69 ARBRE 2-3 : complexité Un arbre 2-3 de profondeur k a un nombre de feuilles compris entre 2 k-1 et 3 k-1 La profondeur d ’un arbre 2-3 comprenant N éléments est comprise entre 1+Log 3 (N) et 1+Log 2 (N) Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM,SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont triviales dans un arbre 2-3 Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre 2-3