ACT2025 - Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours.

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1 ACT2025 - Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours

2 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Solde restant dun prêt: rétrospectivement et prospectivement

3 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Solde restant dun prêt: rétrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement

4 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Solde restant dun prêt: rétrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du k e paiement

5 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Solde restant dun prêt: rétrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du k e paiement Amortissement dans le cas dun prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux

6 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Solde restant dun prêt: rétrospectivement et prospectivement Portion de principal remboursé du k e paiement Portion dintérêt du k e paiement Amortissement dans le cas dun prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux Amortissement négatif

7 ACT2025 - Cours 20 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Rappel: Solde restant dun prêt

8 ACT2025 - Cours 20 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Rappel: Solde restant dun prêt Prospectivement B k est la somme des valeurs actuelles au temps t k des (n - k) derniers paiements: P k+1, P k+2,..., P n

9 ACT2025 - Cours 20 La portion de principal remboursé dans le k e paiement P k est B k-1 - B k. ou encore Rappel: Portion de principal remboursé

10 ACT2025 - Cours 20 La portion dintérêt du k e paiement P k est P k - (B k-1 - B k ). ou encore Rappel: Portion dintérêt

11 ACT2025 - Cours 20 Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors La table damortissement est alors Rappel:

12 ACT2025 - Cours 20 Rappel:

13 ACT2025 - Cours 20 Dans ce dernier cas, la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal dun paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas. Rappel:

14 ACT2025 - Cours 20 Il est possible quil y ait de lamortissement négatif, cest-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avec un paiement, il augmente. Rappel:

15 ACT2025 - Cours 20 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation de lintérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options soffrent à nous, soit de convertir le taux dintérêt à un dont la période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie.

16 ACT2025 - Cours 20 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons quil y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est alors La table damortissement est alors

17 ACT2025 - Cours 20

18 Un prêt de 25 000$ est remboursé par 5 versements égaux à la fin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Déterminer la table damortissement, le solde restant immédiatement après le 2 e paiement, les portions dintérêt et de principal remboursé du 3 e paiement. Exemple 1:

19 ACT2025 - Cours 20 Première approche. Déterminons le taux nominal dintérêt i (4) équivalent au taux i (12) = 3%. Ce taux est i (4) = 3.00750625% par année capitalisé à tous les trimestres, cest-à-dire 0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc léquation de valeur suivante au moment du prêt. Exemple 1: (suite)

20 ACT2025 - Cours 20 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant 025 000 15 113.34187.974 925.3720 074.63 25 113.34150.944 962.4015 112.23 35 113.34113.634 999.7110 112.52 45 113.3476.035 037.3150 75.21 55 113.3438.165 075.180 Exemple 1: Table damortissement

21 ACT2025 - Cours 20 Le solde restant immédiatement après le 2 e paiement est La portion dintérêt du 3 e paiement est 15112.20 (0.00751876563) = 113.63$ et celle de principal remboursé du 3 e paiement est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$ Exemple 1: (suite)

22 ACT2025 - Cours 20 Deuxième approche: Le taux dintérêt est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt Exemple 1: (suite)

23 ACT2025 - Cours 20 Nous obtenons la même table damortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2 e paiement, les portions dintérêt et de principal du 3 e paiement. Le solde restant après le 2 e paiement est Exemple 1: (suite)

24 ACT2025 - Cours 20 La portion dintérêt du 3 e paiement est B 2 [(1.0025) 3 - 1] =113.63$ et celle de principal remboursé du 3 e paiement est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$. Exemple 1: (suite)

25 ACT2025 - Cours 20 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons quil y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors La table damortissement est alors

26 ACT2025 - Cours 20

27 Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table damortissement, le solde restant immédiatement après le 3 e paiement, les portions dintérêt et de principal remboursé du 4 e paiement. Exemple 2:

28 ACT2025 - Cours 20 Première approche. Déterminons le taux nominal dintérêt i (12) équivalent au taux i (4) = 4%. Ce taux est i (12) = 3.986740251% par année capitalisé à tous les mois, cest-à- dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc léquation de valeur suivante au moment du prêt. Exemple 2: (suite) La table damortissement est alors

29 ACT2025 - Cours 20 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant 05000 1843.0516.61826.444173.56 2843.0513.87829.183344.38 3843.0511.11831.942512.44 4843.058.35834.701677.70 5843.055.57837.48840.22 6843.052.79840.260

30 ACT2025 - Cours 20 Le solde restant immédiatement après le 3 e paiement est La portion dintérêt du 4 e paiement est 2512.44 (0.00332228354) = 8.35$ et la portion de principal remboursé est 843.05 - 8.35 = 834.70$. Exemple 2: (suite)

31 ACT2025 - Cours 20 Deuxième approche. Le taux dintérêt est 1% par trimestre et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt Exemple 2: (suite)

32 ACT2025 - Cours 20 Nous obtenons la même table damortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3 e paiement, les portions dintérêt et de principal du 4 e paiement. Le solde restant après le 3 e paiement est Exemple 2: (suite)

33 ACT2025 - Cours 20 La portion dintérêt du 4 e paiement est B 3 [(1.01) (1/3) - 1] =8.35$ et celle de principal remboursé du 4 e paiement est 843.05 - 8.35 = 834.70$. Exemple 2: (suite)

34 ACT2025 - Cours 20 Considérons un dernier exemple damortissement dans une situation générale

35 ACT2025 - Cours 20 Exemple 3: Albert emprunte 90 000$ au atux effectif dintérêt de 8% par année. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements trimestriels pendant 12 ans, le premier paiement est fait 3 mois après le prêt. Pour les deux premières années, le paiement trimestriel est de R dollars. Ce montant est indexé de 3% à tous les 2 ans. Déterminons les portions dintérêt et de principal remboursé du 17 e paiement.

36 ACT2025 - Cours 20 Exemple 3: (suite) Il nous faut calculer plusieurs taux dintérêt équivalent au taux effectif dintérêt i = 8%. Par exemple le taux nominal dintérêt i (4) par année capitalisé trimestriellement équivalent à i est i (4) = 7.770618763%. Donc le taux dintérêt par trimestre équivalent à i est i = 1.942654691%. Il nous faudra aussi le taux dintérêt j capitalisé à tous les 2 ans équivalent au taux effectif dintérêt i. Ce taux est j = 16.64%.

37 ACT2025 - Cours 20 Exemple 3: (suite) Il nous faut regrouper les 8 paiements dune période en un seul paiement à la fin de cette période pour déterminer R. Léquation de valeur à t = 0 est et nous obtenons que R = 2 725.57$

38 ACT2025 - Cours 20 Exemple 3: (suite) Le solde restant immédiatement après le 16 e paiement est cest-à-dire B 16 = 71166.47$

39 ACT2025 - Cours 20 Exemple 3: (suite) La portion dintérêt du 17 e paiement est alors B 16 (0.01942654691) = 71166.47 (0.01942654691) = 1382.52. Le 17 e paiement est de 2725.57 (1.03) 2 = 2891.56 $ et conséquemment la portion de principal remboursé du 17 e paiement est alors 2891.56 - 1382.52 = 1509.04$

40 ACT2025 - Cours 20 Nous allons maintenant étudier une autre situation, celle des fonds damortissement.

41 ACT2025 - Cours 20 Dans certains prêts, lemprunteur verse à intervalles réguliers lintérêt dû et remboursera complètement le principal L à léchéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à léchéance, lemprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle quil accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds daccumulation (« sinking fund » en anglais)

42 ACT2025 - Cours 20 Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

43 ACT2025 - Cours 20 Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux dintérêt est le taux i par période de capitalisation. Lintérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux dintérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de lintérêt du fonds est la même que celle du prêt.

44 ACT2025 - Cours 20 Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période de capitalisation, alors nous avons léquation Nous obtenons le tableau suivant.

45 ACT2025 - Cours 20

46 Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 5% par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds damortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3 e dépôt. Exemple 4:

47 ACT2025 - Cours 20 Pour déterminer R, il faut noter que nous avons léquation de valeur suivante à la fin de la cinquième année: Le montant dintérêt payé à chaque année est 5000 (0.05) = 250$. Exemple 4: (suite)

48 ACT2025 - Cours 20 Période Intérêt payé Versement dans le fonds Intérêt gagné par le fonds Valeur accumulée dans le fonds Montant net du prêt 05000 1250923.140 4076.86 2250923.1436.931883.213116.79 3250923.1475.332881.672118.33 4250923.14115.273920.081079.92 5250923.14156.805000.020

49 ACT2025 - Cours 20 Le montant net du prêt immédiatement après le 3 e dépôt est alors Exemple 4: (suite)

50 ACT2025 - Cours 20 Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels dintérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 5% par année. Ainsi lemprunteur paiera 3750$ dintérêt par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5 e dépôt. Exemple 5:

51 ACT2025 - Cours 20 Nous avons léquation de valeur suivante: Conséquemment lemprunteur versera 3 750 + 8 434.23 = 12 184.23$ à chaque année. Exemple 5: (suite)

52 ACT2025 - Cours 20 Le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année est le montant dintérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant dintérêt gagné par le fonds damortissement pendant la 5 e année. Au début de la 5 e année (cest-à-dire après le 4 e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est Le montant dintérêt gagné par le fonds pendant le 5 e année est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant net dintérêt payé à la fin de la 5 e année est 3750 - 1058.57 = 2691.43$. Exemple 5: (suite)

53 ACT2025 - Cours 20 Le montant net du prêt à la fin de la 5 e année est le montant emprunté 75 000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds damortissement après le 5 e dépôt, à savoir Exemple 5: (suite)