Présenté par: Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza

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1 Présenté par: Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza
Algèbre de Boole Présenté par: Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza

2 plan Introduction Les opérateurs logiques et Tables de vérité
Les règles de simplification Tableau de karnaugh Conclusion

3 Introduction L algèbre de Boole développée au 19ème siècle par George Boole concerne la logique des systèmes binaires. C'est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l'on appelle t variables booléennes. Une variable Booléenne variable logique ou fonction logique ne peut prendre que deux valeurs possibles 0 et 1 (appartenant à l ensemble E = {0,1}).

4 Introduction Une variable logique : sert à représenter le niveau d une grandeur électrique; Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (ture ou false), et respectent quelques règles de calcul que nous détaillerons plus loin. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles

5 Les opérateurs logique et Table de vérité
L'algèbre de Boole : utilise plusieurs opérateurs que l'on nomme opérateurs booléens, opérateurs logiques, ou encore fonctions logiques ou portes logiques (terme plus propre à l'électronique). Une table de vérité : permet de connaitre l'état logique S de l'équation, en fonction des états des variables. La table de vérité la plus simple est la suivante :

6 Les opérateurs logique et Table de vérité
L addition logique : la porte logique OU (OR) Les interrupteurs A et B sont en parallèles. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles

7 Les opérateurs logique et Table de vérité
Table de vérité OU (OR):

8 Les opérateurs logique et Table de vérité
La multiplication logique : la porte logique ET (AND) Dans ce cas les interrupteurs sont en série. La lampe s allume si les deux interrupteurs sont fermés. On écrit alors A+B = F Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles

9 Les opérateurs logique et Table de vérité
Table de vérité Et(AND):

10 Les opérateurs logique et Table de vérité
L inversion logique : la porte logique NON (NOT) En raisonnant sur les interrupteurs comme variables logiques il n y avait que deux opérations logiques fondamentales (+ et. Toutefois le transistor en commutation utilisé comme variable logique a introduit une 3ème opération logique Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles

11 Les opérateurs logique et Table de vérité
Table de vérité NON(NOT):

12 Les opérateurs logique et Table de vérité
Table de vérité NON-OU(NOR):

13 Les opérateurs logique et Table de vérité
La multiplication logique avec inversion : porte logique NON-ET (NAND)

14 Les opérateurs logique et Table de vérité
la porte logique OU exclusif ( ) ou XOR

15 Les règles de simplification
Axiomes

16 Les règles de simplification
Théorèmes Fonctions à une variable

17 Les règles de simplification
Théorèmes Fonctions à deux variables

18 Les règles de simplification
Théorèmes Fonctions 3 variables

19 Les règles de simplification
Théorème de Morgan

20 Les règles de simplification
AUTRES OPERATEURS LOGIQUES

21 Les règles de simplification
AUTRES OPERATEURS LOGIQUES

22 Tableau de karnaugh La réduction, pour une même expression, du nombre
 d'opérateurs et/ou du nombre de variables exprimées, conduit à  une écriture simplifiée de cette expression.  Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles on  peut distinguer :

23 Tableau de karnaugh la simplification par le tableau de Karnaugh se fait par: Regrouper les valeurs de S égales à 1 dans des rectangles ayant comme nombre de cases une puissance de 2 (16, 8, 4, 2 ou 1 cases); Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1 a intérêt à dessiner des rectangles les plus grands possibles. Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles on  peut distinguer :

24 Tableau de karnaugh CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
Tableau à 3 variables

25 Tableau de karnaugh CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
Tableau à 4 variables

26 Tableau de karnaugh Exemples

27 Tableau de karnaugh Exemples