Comportement Mécanique des Matériaux. Chapitre 1 Essais mécaniques – Lois Simples 1.1 Paramètres importants Pour réaliser un essai mécanique, un élément.

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1 Comportement Mécanique des Matériaux

2 Chapitre 1 Essais mécaniques – Lois Simples 1.1 Paramètres importants Pour réaliser un essai mécanique, un élément de volume ”représentatif” du matériau doit être utilisé, afin que les hypothèses des milieux continus soient satisfaites. Le tableau 1.1 donne, en fonction du type de matériau, la taille caractéristique minimale de l’´eprouvette qu’il conviendra d’utiliser.

3 Le dépouillement des essais consiste ensuite souvent `a transformer les courbes ”force-déplacement” obtenues en courbes ”contrainte-déformation”, appelées ”courbes rationnelles”. La figure 1.1 donne une courbe rationnelle typique obtenue pour différents types de matériaux. Il faut noter ici que la courbe rationnelle relie deux scalaires entre eux (une ”contrainte”  et une ”déformation”  ). Le choix de ces scalaires dépend du type d’essai et du type de matériau.

4 Fig. 1.1 – Courbes rationnelles typiques de différents matériaux

5 1.1.2 Direction de sollicitation Lors de la réalisation d’essais mécaniques, le choix de la direction de sollicitation peut s’avérer primordial. En effet, il conditionne souvent le domaine de validité de la loi de comportement obtenue. On peut classer les directions de sollicitation en deux grandes catégories : les sollicitations uniaxiales et les sollicitations multiaxiales. On parle alors d’essai ”uniaxial” ou d’essai ”multiaxial”. Les principaux essais uniaxiaux utilises sont : – la traction-compression – la torsion – la flexion

6 L’´eprouvette est alors sollicitée dans une direction de l’espace des contraintes. La variation d’un paramètre de l’essai ne change pas cette direction. Les essais multiaxiaux sont nombreux et variés. Ils sont plus difficiles `a interpréter. Ils consistent le plus souvent `a combiner plusieurs sollicitations uniaxiales entre elles au cours du temps, de façon `a tester l’influence de la direction de sollicitation sur le comportement du matériau. L’essai multiaxial le plus courant est celui de ”traction-torsion”.

7 Traction-Compression La traction-compression est l’essai le plus couramment utilise sur les métaux (figure 1.2). Toutefois, les déformations atteintes par ce type d’essai sont limitées par la rupture du matériau (en traction), et par le flambage de l’´eprouvette (en compression). Ce type d’essai est donc principalement utilise pour obtenir une loi de comportement simple et rapide en traction, ou pour solliciter cycliquement le matériau en traction-compression, `a faibles déformations, et obtenir une loi de comportement en fatigue.

8 Fig. 1.2– Schématisation de l’essai de traction-compression

9 Pour avoir accès a une loi de comportement valable pour de plus grandes déformations qu’en traction, on réalise donc des essais spécifiques de compression (figure 1.3). Fig. 1.3 – Schématisation de l’essai de compression

10 Torsion L’essai de torsion (figure 1.4) permet d’avoir accès a une loi de comportement pour de grandes déformations, sans problèmes de frottement entre l’´eprouvette et l’outil. Fig. 1.4– Schématisation de l’essai de torsion

11 Flexion La flexion (figure 1.5) est l’essai le plus couramment employé sur les céramiques. La flexion quatre points permet de solliciter le matériau avec un moment constant entre les deux points d’application de la charge. Comme en torsion, la déformation et la contrainte ne sont pas constantes dans l’épaisseur de l’éprouvette. Fig. 1.5 – Schématisation de l’essai de flexion quatre points

12 1.2 Types de sollicitation 1.2.1 Essais monotones Les essais monotones les plus classiques sont ceux de traction, de compression, de torsion et de flexion. La sollicitation est alors appliquée au matériau jusqu’`a sa rupture (traction, torsion, flexion) ou jusqu’`a une déformation suf fisamment grande (compression). En fonction du mode d’application de la sollicitation, on peut réaliser principalement des essais d’´ecrouissage, de fluage, ou de relaxation, et les combiner entre eux (essais d’´ecrouissage-relaxation,... ).

13 La figure 1.6 montre une courbe ”force-allongement” (et la courbe contrainte déformations associée) typique obtenue sur un métal lors d’un essai de traction monotone.. On distingue successivement : – un domaine de comportement élastique réversible, ou l’arrêt de la sollicitation permet a l’éprouvette de retourner dans son état initial, et ou les contraintes et les déformations sont reliées linéairement par la loi de Hooke – un domaine de comportement plastique homogène, caractérise par une Déformation irréversible du matériau. – un domaine de comportement plastique hétérogène, initie par l’apparition d’une ”striction”. La déformation se localise dans l’´eprouvette jusqu’`a rupture de celle-ci.

14 Fig. 1.6 – Essai de traction

15 fluage Les essais de fluage sont réalises en appliquant une contrainte constante au matériau, en général en traction. Le type de courbe obtenu est donne sur la figure 1.7. Elle représente la déformation de l’´eprouvette en fonction du temps, pour une contrainte constante donnée. Une première déformation apparaît instantanément a la mise en charge. Ensuite, une déformation lente apparaît au cours du temps. La vitesse de déformation est de l’ordre de 10−6 `a 10−4s−1. Dans un premier temps (domaine de fluage primaire), elle décroît, pour atteindre une valeur constante dans le domaine de fluage secondaire (ou fluage stationnaire). Enfin, cette vitesse de déformation augmente (domaine de fluage tertiaire) jusqu’`a la rupture.

16 Fig. 1.7 – Représentation schématique d’une courbe de fluage

17 relaxation Les essais de relaxation servent a caractériser l’évolution au cours du temps des contraintes internes d’un matériau. Pour cela, On applique une déformation constante a l’´eprouvette, puis on observe l’´evolution de la contrainte (figure 1.11). Ce type d’essai est très utilise pour obtenir les propriétés viscoplastiques du matériau. Fig. 1.8 – Représentation schématique d’un essai de relaxation

18 1.2.2 Essais cycliques Les essais cycliques sont caractérises par une suite de sollicitations alternées. Les plus courants sont ceux de traction-compression, mais on utilise également des essais de flexion ou de torsion alternée. L’objectif de ces essais est d’obtenir la loi de comportement ”cyclique” du matériau, qui caractérise son évolution au fur et `a mesure des cycles de sollicitation. Les essais de traction- compression peuvent être réalisés `a déformation ou `a contrainte imposée.

19 La figure 1.9 montre le type de résultats obtenus en déformation imposée (traction-compression par exemple), dans le cas d’un matériau `a durcissement cyclique. Lorsque l’amplitude de contrainte n’´evolue plus sur plusieurs cycles, on dit que l’on a atteint le ”cycle stabilisé”. Pour obtenir la loi de comportement cyclique du matériau, on effectue plusieurs essais `a déformation imposée plus ou moins grande. Pour chaque essai, on note l’amplitude de contrainte aux cycles stabilisés, que l’on trace en fonction de l’amplitude de déformation. La figure 1.10 montre le type de courbe obtenu, appelé ”courbe de consolidation cyclique”. Cette courbe ressemble `a celle obtenue lors d’un essai d’´ecrouissage, mais ne traduit pas du tout le même type de comportement.

20 Fig. 1.9– Essai cyclique `a déformation imposée

21 Fig. 1.10 – courbe de consolidation cyclique typique

22 Lors d’essais cycliques, le matériau rompt au bout d’un certain nombre de cycles. L’endommagement du matériau au cours de l’essai est appelé ”fatigue”. On parle donc couramment d’essais de fatigue lorsque la sollicitation est cyclique. Le nombre de cycles `a rupture lors d’un essai de fatigue est un renseignement intéressant. La courbe la plus largement utilisée pour représenter la durée de vie des matériaux est la courbe de ”Woehler”. L’amplitude de contrainte est donnée en fonction du nombre de cycle `a rupture (figure 1.10).

23 Fig. 1.10 – courbe de Woehler typique

24 On distingue sur cette courbe un domaine dit ” oligocyclique ”, o`u le nombre de cycles `a rupture est relativement faible. Ce domaine est caractérisé par une plastification globale de l’´eprouvette `a chaque cycle. Dans le domaine dit ”d’endurance limitée”, la consolidation cyclique diminue la plastification de l’´eprouvette au cours des cycles. Le nombre de cycles `a rupture est plus élevé. Enfin, dans le domaine d’endurance, le comportement de l’´eprouvette est purement élastique.

25 Dureté et résilience D’autres essais mécaniques peuvent être utilisés pour caractériser le comportement d’un matériau. Les plus fréquents sont l’essai de dureté, destiné le plus souvent `a estimer rapidement et simplement la limite d’élasticité du matériau, et l’essai de résilience visant `a caractériser le risque de rupture fragile du matériau.

26 Essai de dureté L’essai de dureté est largement utilisé sur les métaux. Il caractérise la résistance qu’oppose le matériau `a la pénétration d’un autre corps plus dur que lui. Ainsi, pour des conditions expérimentales données, la dureté du métal sera d’autant pus grande que la pénétration du corps sera faible. Il existe trois principaux type d’essais de dureté, qui différent essentiellement par la forme du pénétrateur : l’essai Brinell, l’essai Vickers et l’essai Rockwell :

27 l’essai Brinell L'essai Brinell utilise comme poinçon une bille en acier trempé ou en carbure de tungstène de 10 mm de diamètre (D). La pression est maintenue pendant 15 à 30 s selon le métal. On applique une charge (F) de 500 ou 3000 kgf. On mesure le diamètre (d) de l'empreinte en millimètres. On doit l'essai Brinell à l'ingénieur métallurgiste suédois Johan Brinell (1849 - 1925). Il s'applique aux métaux "peu durs".

28 dureté Vickers La dureté Vickers a été conçue dans les années 1920 par les ingénieurs de la société Vickers en Angleterre. Elle est caractérisée par l'empreinte faite par un indenteur sous une charge donnée durant 15 secondes. L'indenteur est formé d'une pyramide en diamant à base carrée dont les faces opposées font un angle de 136°. La charge appliquée est comprise entre 1 et 120 kgf. la mesure s'effectuant à l'aide d'un microscope. La dureté Vickers (HV) est calculée e à l'aide de la formule suivante :

29 où F est la charge appliquée en kgf et D, la diagonale de l'empreinte en millimètres. La profondeur de pénétration H est H = D / 7. Cet essai est appliqué principalement aux métaux, mais peut l'être également appliqué aux céramiques avec de très faibles charges.

30 Dureté Rockwell Essai Rockwell : mesure de la dureté d'un métal selon l'enfoncement d'une bille d'acier, appelé dureté Rockwell B (HRB) ou d'un cône de diamant de 120°, dureté Rockwell C (HRC). L'essai consiste à appliquer une précharge de 100 N sur le pénétrateur qui s'enfonce d'une profondeur e0. On applique une force supplémentaire F, pendant 3 à 8 s, le cône s'enfonce d'une profondeur e1. On supprime la force F, le cône reste enfoncé d'une profondeur e2. La profondeur (e2 - e0) permet le calcul de la dureté selon la formule :

31 ROCKWELL C Le pénétrateur est un cône de diamant de 120° et d'extrémité sphérique (Ø 0,2 mm). La charge F est de 1400 N (150 kgf). ROCKWELL B Le pénétrateur est une bille d'acier de 1,59 mm de diamètre. La charge F est de 900 N (100 kgf).

32 Le moyen le plus classique pour caractériser la fragilisation du matériau sous l'action d'un choc est cet essai de résilience qui est un essai de flexion par choc sur une éprouvette entaillée qui mesure la résistance d’un matériau à la rupture brutale. Il est fréquemment dénommé essai de Résilience CHARPY C'est un essai de résistance au choc, qui constitue à mesurer l'énergie nécessaire pour casser une éprouvette préalablement entaillée. On utilise en général un échantillon en forme de barreau L'entaille peut être soit en V, soit en U. On distingue les matériaux fragiles (céramiques, certains aciers et plastiques), des matériaux ductiles (beaucoup de métaux et de plastiques). L’essai de résilience

33  Dans le cas des matériaux fragiles, la résilience est caractérisée par l'énergie nécessaire pour déformer et rompre le matériau lors d'un choc par un objet percuteur  Dans le cas des matériaux élastomères, l'éprouvette n'est pas rompue, la résilience est caractérisée par la proportion d'énergie restituée à l'objet percuteur qui rebondit à la suite du choc.

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35 Les éprouvett es Eprouvettes CHARPY U Une éprouvette est un barreau usiné de section carrée de 10 mm de coté et dont la longueur est 55 mm. L’entaille de 2 mm de largeur et de 5 mm de profondeur se termine par un fond cylindrique de 1 mm de rayon.

36 Chapitre 2 élasticité - Viscoélasticité 2.1 Élasticité linéaire 2.1.1 Loi de Hooke généralisée La loi de Hooke a été généralisée par Cauchy (1789-1857), qui a propos´e d’exprimer chaque composante du tenseur des contraintes comme une fonction linéaire des composantes du tenseur des déformations. La loi de Hooke est donc aujourd’hui souvent écrite sous la forme :

37 où C est un tenseur du quatrième ordre appelé tenseur des rigidités ou tenseur d’élasticité. Le tenseur des rigidités fait intervenir l’ensemble des caractéristiques élastiques du matériau. De même, les déformations sont reliées linéairement aux contraintes par la relation inverse :

38 où S est les tenseur des complaisances élastiques du matériaux. Les tenseurs C et S ont a priori 81 composantes (chaque indice varie de 1 `a 3). Toutefois, nous avons vu que les tenseurs des contraintes de Cauchy et des déformations sont symétriques. Ils n’ont donc chacun que 6 composantes indépendantes, et leur liaison linéaire peut alors être réalisée a l’aide de 36 termes seulement. La forme suivante est souvent utilisée pour relier les composantes des contraintes et des déformations :

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40 2.1.2 Relations de symétrie En pratique, les matériaux possèdent des symétries supplémentaires qui permettent de restreindre encore le nombre de composantes indépendantes du tenseur des rigidités. Les principaux cas rencontres sont l’orthotropie (symétrie par rapport `a trois plans orthogonaux), qui réduit le nombre de composantes `a 9, la symétrie cubique (orthotropies avec des propriétés identiques dans les trois directions orthogonales aux plans de symétrie), qui réduit le nombre de composantes `a 3, et l’isotropie (mêmes propriétés dans toutes les directions), qui réduit le nombre de composantes `a 2

41 Symétrie cubique Dans le cas de la symétrie cubique, les trois composantes indépendantes de C sont souvent notées C11(= C1111), C12(= C1122) et C44(= C2323). Des notations identiques pour S conduisent aux relations suivantes :

42 Isotropie Dans le cas isotrope, le nombre de coefficients est réduit `a deux par la relation C44 = 1/2 (C11 − C12). Il existe plusieurs façon d’exprimer ces coefficients. On peut par exemple choisir ceux de Lamé = 1/2 (C11+C12) et μ = 1/2 (C11−C12), ou le module d’Young E = μ ( 3+2μ)/( +μ) et le coefficient de Poisson  = / 2( +μ) vus dans le cas de l’essai de traction. La loi de comportement élastique linéaire s’écrit dans le cas isotrope de la façon suivante :

43 Le tableau 1 donne le module d’Young (en GPa) et le coefficient de Poisson (sans unite) de différents matériaux `a différentes températures. On constate que le coefficient de Poisson est souvent voisin de 0,3. Dans un essai de traction, le matériau s’allonge et augmente généralement son volume dans le domaine d’élasticité.

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45 Différents comportements élastiques Le domaine d’´elasticité est donc souvent représente par une relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation (loi de Hooke). Il est cependant important de savoir que ceci n’est qu’une schématisation plus ou moins réaliste du comportement réel du matériau. En effet, le comportement élastique d’un matériau n’est jamais strictement linéaire.

46 Tous les solides sont plus ou moins ”anélastiques”, c’est-`a-dire que leur courbe de traction ne suit pas exactement une droite dans le domaine d’´elasticité, et de l’énergie est ”dissipée” au cours d’un essai de traction. La figure 1 donne la courbe obtenue lors d’un cycle de traction-compression effectué sur de la fibre de verre. De l’´energie est dissipée au cours d’un cycle (surface hachuré sur la figure 3.3), ce qui confère au matériau un pouvoir amortissant, permettant de réduire les vibrations ou le bruit. Les polymères et les métaux mous ont un fort pouvoir amortissant. Les métaux plus durs et le verre ont une très faible anélasticité. Ils servent `a fabriquer les ressorts (aciers), les cloches (bronzes), anélasticité

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48 Elasticité non- linéaire Le cas particulier du caoutchouc est donné sur la figure 3.4 (courbe de traction). Son comportement est quasi-élastique, mais fortement non- linéaire. On parle alors d’´elasticité non-linéaire. Le solide emmagasine de l’énergie au cours de la traction, puis la restitue totalement lorsque l’on arrête la contrainte. Pour représenter ce comportement, on utilise une ”loi de Hooke” ou les coefficients du tenseur de rigidité varient en fonction de la déformation.

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50 2. 5 Thermoélasticité linéaire Les matériaux sont souvent soumis `a des chargements thermiques qui ont pour effet de dilater les structures. Les déformations thermiques sont directement proportionnelles `a la variation de température  T, par le coefficient de dilatation thermique : D’une façon plus générale, lors d’une sollicitation dite thermomécanique”, les déformations thermiques s’ajoutent aux déformations mécaniques, elles même reliées aux contraintes par la loi de comportement du matériau. Dans le cas élastique linéaire isotrope, on obtient une relation entre les déformations et les contraintes sous la forme :

51 L’inversion de cette relation nous fournit la loi de comportement dite ”thermoélastique” du matériau :

52 Modèle viscoélastique La théorie de la viscoélasticité permet de rendre compte de l'évolution réversible des contraintes en fonction du temps pour des solides. Les modèles de Kelvin–Voigt et de Maxwell sont décrits ici car, dans le cas particulier de la viscoélasticité linéaire, ces approches fonctionnelles sont plus simples à formuler et plus simples d'emploi.

53 1 Modèle de Maxwell Le modèle de Maxwell se compose d'un ressort de Hooke et d'un amortisseur linéaire de Newton en série (Fig. 1) et implique le comportement élastique et la viscosité linéaire du bois. La relation constitutive correspondante s'écrit comme suit: (1) (2)

54 Figure 1 Viscoélasticité décrite par le modèle de Maxwell

55 En donnant les conditions initiales comme dans le cas du fluage, on obtient la solution de l’Éq. (1); où la déformation totale est une fonction linéaire de la contrainte appliquée et du temps.

56 2 Modèle de Kelvin–Voigt Le modèle de Kelvin–Voigt correspond à une combinaison du ressort linéaire de Hooke et de l’amortisseur linéaire de Newton représentant une résistance interne à la déformation en parallèle (Fig. 1). la relation de comportement constitutif pour ce modèle s'écrit: Dans le cas du fluage où au temps, la solution de l’Éq. (A) peut être donnée comme suit: (A.)

57 Figure 1 Viscoélasticité décrite par le modèle de Kelvin-voigt.

58 En présumant que au temps (décharge), l’Éq. (A) devient la suivante: et la solution de cette équation est la suivante: où K est une constante déterminée par la condition de décharge au temps initial.

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63 Chapitre 3 Plasticité - Viscoplasticité Tous les matériaux possèdent une limite d’élasticité, qui correspond à un chargement critique à partir duquel le comportement du matériau n’est plus réversible. Il peut y avoir rupture brutale (cas du verre), rupture progressive (cas du béton), mais dans la plupart des cas il y a plastification du matériau. Ceci signifie que sa forme est changée de façon irréversible, contrairement au domaine d’élasticité où le solide reprend sa forme initiale lorsque l’on relâche les efforts. La limite d’élasticité

64 La figure 1 représente une courbe de traction nominale obtenue sur un matériau solide. Cette courbe relie la contrainte nominale Où F est la force mesurée et S 0 la section initiale de l’éprouvette à la déformation nominale où  l est l’allongement de l’éprouvette et l 0 sa longueur initiale.

65 Fig. 1 – courbe de traction nominale

66 Les points caractéristiques de cette courbe sont : – la limite d’élasticité Re, marquant le début de la déformation plastique (irréversible) du matériau – la limite d’élasticité conventionnelle R 0,2, donnant la contrainte nominale nécessaire pour une déformation plastique de 0,2% (on utilise également avec la même convention la quantité R 0,1 pour des matériaux peu ductiles, c’est-à-dire dont la déformation plastique est faible avant la rupture) – la résistance à la traction R m, contrainte nominale maximale observée (avant la striction) – l’allongement à la rupture A R, déformation nominale maximale admissible par le matériau avant rupture

67 Le tableau 4.1 donne quelques valeurs numériques de R e, R m et A R pour différents matériaux.

68 D’une facon generale, la limite d’ elasticite d’un materiau est un scalaire, souvent noté  0. Il s’agit de la contrainte ”vraie” (F/S) appliquée au matériau lorsqu’apparaît la plastification

69 Exercice 5 pour un essai de traction calculer Re, Rm et A %. Données : Fe = 16.500 N Fm = 29.000 N So = 78,5 MM2 Lu = 65 mm Lo = 50