Cosmos.

Présentation au sujet: "Cosmos."— Transcription de la présentation:

1 Cosmos

2 Univalence de la géométrie
Défi: établir un isomorphisme entre la géométrie du polyèdre (disque, tore, Peano) et (K3/ )* Idée: jumeler le disque avec une "courbe de Peano" dans (K3/ )* ( graphe d’une colinéation d’ordre maximal )

3 Colinéation d’ordre maximal dans (K3/ )*
Les colinéations de (K3/)* ont la forme: Elles sont par millions! Circonscrire un champ de prospection où dénicher une matrice d'ordre 91 Réduction au cas de la transformation du quadruplet "unitaire" en un quadruplet libre quelconque

4 Polariser la prospection.
On lance le quadruplet [i, j, k, e] sur lui-même et on le fait dévier … pour voir!

5 On en tire une expression matricielle de la forme
Et le champ de prospection passe de 91×90×81×64 = 42,456,960 essais à …  81

6 Compilation des résultats (avec une HP 48G)
Collecte de 24 matrices d’ordre 91!

7 Lancement en orbite de O = [1, 0, 0 ]
Miracle! Les occurrences des points de la droite <O,f(O)> sont les mêmes que sur le disque: { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 } Les géométries de Peano et de Monge sont isomorphes.

8 Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano
Projets d’espionnage Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano L’orthogonalité, «» La métrique Les points cycliques La structure vectorielle «» de (K3/)* etc

9 Le rapt de la structure vectorielle de (K3/)*
Installer une métrique suppose qu'on sache diffuser une longueur dans toutes les directions, ce qui pourrait être possible si on détient un "cercle" ou si on possède une relation ""

10 Cercle de (K3/)* Conique des auto-conjugués

11 Genome

12 Analyse stellaire, Après avoir recherché les actions les plus puissantes cherchons les plus fines, les plus discrètes … les «quanta» afin d’analyser les actions complexes

13 Étincelles- "atomes d'action" par métaphore nous dirons des quanta

14 Étincelles primitives
Étincelles dont l’axe et le centre appartiennent au repère. Quelles sont les actions engendrées par ces 6 étincelles ?

15 Puissance des étincelles …
Comment la mesurer? En examinant la transitivité dans  Action sur les atomes Sur les couples Sur les triplets Sur les n-uplets etc

16 Caractère ludique des études de transitivité!
Il s’agit par exemple de propulser un point du bord en l’un des sommets … La manière: transformer un quadruplet libre en une cible …

17 "Base". Système de générateurs minimal.-

18 Fission nucléaire! D’où l’élimination de l’une d’entre elles.
Un quantum se décompose en d’autres. L'étincelle  , par exemple, peut être reconstituée au moyen de  et . D’où l’élimination de l’une d’entre elles.

19 Cosmos énergétique! La puissance de l'ensemble des étincelles , , ,  et , est totale Chacune des quelque 42 millions de colinéations projectives peut être régénérée à l'aide de cinq étincelles. Un des beaux exemples est certainement celui de la courbe de Peano.

20 Génome de la colinéation, , de Peano
(Nombreux pas)  = 5 o 2 o 4 o 2 o 3 o 7 o 2 o  o  o 2

21 Harmonie cosmique.- Les millions d'actions possibles dans l'univers géométrique se décomposent en étincelles {., , , , ,  } Malgré son extrême sobriété, ce système de générateurs est surabondant et peut se réduire à cinq étincelles seulement. Ainsi nous est accordée la possibilité de représenter toute action géométrique par une mélodie écrite sur les 5 lignes d'une portée musicale: Nous rejoignons ainsi l'harmonie des sphères proposée par Platon dans sa vision du Cosmos.

22 Le rêve de von Staudt

23 Le rêve de von Staudt.- «The question arises as to whether or not a pure geometric approach might be made to these imaginary points … The older geometers, Poncelet and Steiner, were never clear on this point.» Klein

24 Réalisations insuffisantes aux yeux de von Staudt:

25 La matière primitive originale
Les 9 points du tic-tac-to. Les 13 atomes de la géométrie arguésienne donnent lieu à 78 paires, donc avec 13+78=91 éléments.

26  : site de von Staudt [Analogue pour les droites] Nouveau substrat:
Les 91 ensembles {x, y} où x, y viennent de la géométrie arguésienne. Si x=y, ce sont les éléments "réels" Si xy, ce sont les "imaginaires". [Analogue pour les droites]

27 Double défi! 1) Importation par isomorphisme depuis (K3/)* Il existe 13! = bijections possibles avec les 91 éléments de (K3/)* Comment choisir? 2) Création directe d’une structure géométrique intrinsèque sur 

28 Charge d'une droite réelle.
6 points doubles «imaginaires» 4 points

29 Charge d'une droite imaginaire.-
Un point réel 9 imaginaires ou points doubles

30 Charge d'un point imaginaire.
Les 9 droites imaginaires (doubles) par une point double Un point imaginaire (double) et sa droite réelle

31 La droite par 2 points imaginaires (le noir et le rouge)
Un cas plus subtil

32 Conjuguée d’une droite imaginaire