Cinématique et dynamique newtonienne

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1 Cinématique et dynamique newtonienne
Chapitre B1 Cinématique et dynamique newtonienne

2 I. Référentiel 1- Définitions 2- Référentiels d’étude
On définit d’abord un référentiel de date : l’instant t = 0 Le référentiel d’espace est un solide de référence par rapport auquel on repère les positions du système. Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie(1ère loi de Newton) y est vérifié en toute rigueur. 2- Référentiels d’étude a. Les référentiels terrestres Ils sont construits à partir de n’importe quel solide de référence lié à la Terre (donc fixe par rapport à elle). Ils sont adaptés aux expériences effectuées dans une salle de TP. Il y a une infinité de référentiels terrestres (autant que de solides fixes par rapport à la Terre). b. Le référentiel géocentrique Pour décrire de façon simple le mouvement des satellites on utilise le référentiel géocentrique. C’est un solide constitué par le centre de la Terre et 3 étoiles lointaines dont les positions n’ont pas changé depuis des siècles sur la voûte céleste. La Terre n’est pas immobile dans le référentiel géocentrique. c. Le référentiel héliocentrique ou de Copernic Pour étudier le mouvement des planètes les astronomes utilisent le référentiel héliocentrique. C’est un solide constitué par le centre du soleil, une des arêtes est perpendiculaire au plan de l’écliptique, les deux autres arêtes sont dirigées vers des étoiles fixes. Il est considéré comme Galiléen Tout référentiel en translation rectiligne par rapport au référentiel de Copernic est galiléen

3 II. Cinématique du point
1- Le vecteur position vecteur position à la date t La relation liant x, y, z indépendante de t est l'équation cartésienne de la trajectoire. Exemple :

4 2- Le vecteur vitesse a. définition
Variation du vecteur position pendant t = t'' - t' b. représentation origine : M - direction : tang en M à la trajectoire, parallèle à M'M‘’ - sens : celui du mouvement - valeur Vm(t)  VM(t' , t'' )    c. expression  Ex:  La valeur de VM :

5 3- Le vecteur accélération
Il caractérise les variations du vecteur vitesse a) définition La variation du vecteur vitesse pendant t = t'' - t' est vecteur accélération moyenne entre t' et t'' (en m.s-2 ). Le vecteur accélération d'un point mobile est à chaque instant égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse de ce point b) Expressions   Ex:   aM = 4 ms-2 c'est un vecteur constant

6 c) Base de Frenet La base de Frenet : M, Dans la base de Frenet, l’accélération s’exprime par aT : coordonnées tangentielles du vecteur  R + = + aN : coordonnées normales du vecteur  R+ (caractérise les variations de la valeur de la vitesse)  : rayon de courbure de la trajectoire au point M Si le mouvement est circulaire,  est le rayon du cercle noté R = +

7 4 - Le vecteur quantité de mouvement
La quantité de mouvement d’un objet de masse m et dont le centre d’inertie se déplace à la vitesse est définie par : m en kg v(t) en m.s-1  p(t) en kg.m.s-1  et ont même direction car la masse est positive.

8 5 – Différents mouvements
a. mouvement rectiligne et uniforme La trajectoire est une droite (), le vecteur vitesse est constant au cours du temps Sur un axe Ox de()orienté suivant le mouvement  = v0x  t + x0 b. Mouvement rectiligne uniformément varié : vecteur constant au cours du temps.   = a0x  t + v0  le mouvement est accéléré si le mouvement est ralenti si: c. Le mouvement circulaire uniforme La trajectoire est le cercle de centre O et de rayon R dans le plan P. La valeur de la vitesse reste la même au cours du temps

9 III. Les lois de Newton 1- Première loi : principe d’inertie
a. Système matériel « pseudo isolé » La somme des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle b. Enoncé Dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d’un système isolé ou pseudo isolé est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme  ou 2- Deuxième loi : principe fondamental de la dynamique a. Enoncé Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées au système est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d’inertie de ce système Si le système est fermé, sa masse est constante, on a alors b. Limite de validité Si V  (c / 10) = km.s-1 , il faut appliquer les lois de la mécanique relativiste d'Einstein. 3- Troisième loi : principe des actions réciproques Si un objet A exerce sur un objet B une force alors un objet B exerce sur un objet A une force Ces forces ont la même droite d'action et leur somme vectorielle est nulle, donc

10 IV. Mouvements dans un champ de pesanteur uniforme
1- Position du problème Hypothèse: champ de pesanteur uniforme le solide (S) de masse m est lancé à la date t = 0s avec la vitesse faisant un angle  avec l’horizontale. On néglige l’action de l’air Si le solide n’est pas ponctuel on étudie le mouvement de son centre d’inertie G. 2- Etude dynamique * Ref terrestre supposé galiléen * Système {S} * Inventaire des forces : le poids * Théorème du centre d’inertie(2e loi de Newton) soit  m et  V0 L’accélération ne dépend ni de la masse de l’objet, ni de la façon dont il est lancé.

11 3- Chute libre avec vitesse initiale quelconque
a. Equation horaire en primitivant en primitivant x = 0 : le mouvement est dans le plan vertical contenant

12 b. Equation de la trajectoire
x = 0 y = (V0.cos).t  Dans z(t) b. Portée horizontale OC = d    b. Flèche ou altitude maximale en M, est horizontale donc VGz = -g t + V0 sin  = 0 zM est maximum pour sin²  = 1 soit  = /2

13 4- Mouvement sans frottement sur un plan incliné
a. Etude dynamique * Ref terrestre supposé galiléen * Système {le solide} * Inventaire des forces le poids La réaction du support (air pulsé) * Théorème du centre d’inertie projection dans un repère orthonormé  aGy = 0 car pas de mouvement suivant y (le solide ne décolle pas) - m g sin  = m aGx - m g cos  + RN = 0 = m aGz aG est un vecteur constant : direction, ligne de plus grande pente, sens celui de Remarques: si V0 = 0 le mouvement de G est rectiligne uniformément accéléré vers le bas si  = 0 (plan horizontal) aG = 0 et si V0 = 0 le solide est immobile si  = 90° (plan vertical) aG = g c'est la chute libre

14 b. Equations horaires ou étude cinématique La vitesse initiale est quelconque // au plan D’après l’étude dynamique intégrons intégrons On prend comme origine le point O départ du mouvement. c. Equation de la trajectoire

15 V. Mouvements dans un champ électrostatique uniforme
Une particule de masse m et de charge q (valeur algébrique) pénètre en O avec le vecteur vitesse dans un champ électrique uniforme indépendant du temps La particule se déplace dans le vide. 1- Bilan des forces * Réf. du laboratoire supposé galiléen * Système : particule de masse m de charge q * Inventaire des forces extérieures Force électrique Poids 2- Approximations 1 électron : me = kg et q = -e = -1, C Etudions son déplacement entre deux plaques distantes de 5 cm soumises à une tension UPN = 1000 V. E = = = V.m-1 F = e  E = 1,  = 3, N P = m g =  10 = N F >>>P on néglige le poids devant la force électrique.

16 3- Relation fondamentale de la dynamique
car la masse est constante on néglige le poids Vitesse :    Vecteur position :   

17 4- Canon à électrons C’est un dispositif qui permet d'émettre et d'accélérer les e- dans un tube cathodique. Le champ est uniforme entre les plaques   Mouvement rectiligne uniformément accéléré ax . vx > 0 en A :

18 5- Déviation des électrons
a. équation de la trajectoire q = -e x = v0× t z = 0 on pose (arc de parabole de sommet O) Les électrons sont émis par un canon à électron v0² = vA² = b. Conditions de sortie soit c. Déflexion électrique A la sortie des plaques donc Le mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse vS. La trajectoire est la tangente en S à la parabole La tangente en S coupe Ox en I tel que OI = l /2 et