Le test t.

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1 Le test t

2 Procédure de l’inférence statistique
Contexte théorique Hypothèses Seuil de signification et puissance Taille de l’effet Collecte de données Test critique Test observée Décision Interprétation

3 Plan Qu’est-ce qu’on fait lorsqu’on compare deux groupes (ou 1 groupe) et que la variance de la population est inconnue ? Comparaisons entre un groupe et une population: page 4 Comparaisons entre deux groupes indépendants: page 11 Comparaisons entre deux groupes dépendants (données pairées): page 23 Relation entre le test t et la corrélation: page 33 La puissance: page 45

4 Comparaisons entre un groupe et une population

5 Idée Puisque l’écart type de la population est inconnue, on ne peut donc pas obtenir l’erreur type de la moyenne. On va donc utiliser un estimé de ce dernier.

6 Distribution des t (Student)

7 Distribution des t (Student)

8 Exemple On veut mesurer l’effet d’une formation pour la réussite du SAT. Neuf participants ont été sélectionnés aléatoirement et ont reçus une formation d’une journée.

9 Exemple On veut mesurer l’effet d’une formation pour la réussite du SAT. Neuf participants ont été sélectionnés aléatoirement et ont reçus une formation d’une journée.

10 Intervalles de confiance

11 Comparaisons entre deux groupes indépendants

12 Idée Puisque les écart types des deux populations sont inconnues, on va utiliser des estimés. Si les n sont égaux (n1=n2)

13 Idée Puisque les écart types des deux populations sont inconnues, on va utiliser des estimés. Si les n sont inégaux (n1n2)

14 Pré requis et Postulats
Il y a une seule variable dépendante. Les participants appartiennent à un et un seul groupe. La variable indépendante peuvent être continue ou nominale. Les données sont indépendantes et échantillonnées aléatoirement. Les données dans chacune des populations sont distribuées normalement Les variances sont homogènes

15 Exemple On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété) Postulats Les participants sont assignés aléatoirement et sont indépendants. Les données dans chacune des populations sont distribuées normalement. Les variances sont homogènes (optionnelle puisque les n sont égaux)

16 Exemple On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

17 Exemple On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

18 Taille d’effet et puissance
Cohen’s D n = Min(n1;n2)

19 Exemple On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

20 Exemple On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

21 Intervalles de confiance

22 Groupes indépendants Variabilité dans l’estimation des paramètres (erreur type) a c b Par Pythagore Si on remplace « a » par sa valeur

23 Comparaisons entre deux groupes dépendants (données pairées)

24 Idée On utilise les mêmes participants qu’on mesure à deux reprises.
L’avantage du schème à mesure répétées est de réduire la variabilité des résultats en éliminant celle due aux différences individuelles. Cependant, les données ne sont plus indépendantes. Toutefois, on se souvient que la différence est distribuée normalement. Nous allons donc recoder l’information de la façon suivante:

25 Structure du test La moyenne et l’écart type sont calculés à partir des différences. Le nombre de dégrées de liberté sera égal au nombre de différence -1.

26 Pré requis et Postulats
Il y a deux variables dépendantes. Tous les participants sont mesurés à deux reprises. Les participants sont sélectionnés aléatoirement. Les données de la population sont distribuées normalement.

27 Exemple On veut mesurer l’efficacité d’une formation sur le développement de l’estime de soi des maringoins d’élevage. Pour ce faire, 5 participants ont été sélectionnés aléatoirement de la population des maringoins de l’Outatouais. Le bonheur de chaque maringoin fut mesuré avant la formation (pré-test). Puis, après 15 séances d’une heure, l’estime de soi des maringoins fut mesuré de nouveau (post-test). Voici les résultats

28 Exemple

29 Exemple Comme le |tobs| >tcrit (3,615>2,776) , on rejette l’hypothèse nulle et on accepte l’hypothèse alternative. Donc, la formation de 15 séances d’une heure à permis d’augmenter significativement (t(4)=3,615; p0.05) l’estime de soi des maringouins.

30 Intervalles de confiance

31 Groupes dépendants Variabilité dans l’estimation des paramètres (erreur type) c a q b Par la loi du Cosinus Si on remplace « a » par sa valeur

32 Groupes dépendants

33 Relation entre le test t et la corrélation

34 Exemple (groupes indépendants)
Test t

35 Exemple (groupes indépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) L’idée est de construire une variable indépendante qui permettra d’identifier à quel groupe appartient la variable dépendante. Ex1: 1 = le premier groupe et 0 le deuxième Ex2: 1 = le premier groupe et -1 le deuxième

36 Exemple (groupes indépendants)
1 = le premier groupe et -1 = le deuxième

37 Exemple (groupes indépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Donc, le test t (indépendant) est un cas particulier de la corrélation/régression

38 Exemple (groupes dépendants)
Test t

39 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) L’idée est de décomposer la variabilité en deux parties. Ainsi, dans le schème à mesures répétées il y a une part de variabilité attribuable aux participants et une autre à la condition (effet possible de traitement).

40 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité des sujets Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet condition:

41 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité des sujets Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet condition:

42 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité de la condition Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet mesure répétée; on procède comme si les groupes étaient indépendants:

43 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Test de signification

44 Exemple (groupes dépendants)
Modèle général linéaire (corrélation) Donc, le test t (dépendant) est aussi un cas particulier de la corrélation/régression

45 La puissance

46 Test t groupes dépendants
Cohen’s d

47 Exemple

48 Test t groupes dépendants
Cohen’s d 1-b > 0.70 1.62

49 Corrélation Cohen’s d

50 Exemple

51 Test t groupes dépendants
Cohen’s d 1-b > 0.70 1.85