ANOVA à critères multiples

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1 ANOVA à critères multiples
Définition et utilisation Types d’ANOVA Plan factoriel et hiérarchique Modèle général d'une ANOVA à critères multiples Test d’hypothèses et comparaisons multiples: Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

2 Questions Quel est le principe fondamental de l’ANOVA?
Quand utilise-t-on les comparaisons multiples? Est-il possible de trouver des différences significatives entre deux groupes mais que l'ANOVA ne détecte aucune différence? Pourquoi? Est-il possible que l’ANOVA détecte des différences entre les groupes mais que ces différences ne soit pas détectées par comparaisons multiples? Pourquoi? Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

3 Qu’est-ce qu'une ANOVA à critères multiples?
C'est l'extension d'une ANOVA à un critère de classification. On regarde l'effet de plusieurs facteurs (au lieu de un) indépendants. Ex: une ANOVA à deux critères de classification permet de déterminer l'effet de l'addition d'azote (facteur 1) et de phosphore (facteur 2) sur la récolte de maïs. Contrairement à l'ANOVA à un critère de classification, on doit tester plusieurs H0 Les valeurs représentent des moyennes N = 5 champs, en tonnes/hectare. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

4 Les avantages de l'ANOVA à plusieurs critères de classification I: l'ajustement de ae
Une seule expérience est nécessaire afin de déterminer l'effet de plusieurs facteurs et ce, sans augmenter ae Ex: avec un désign à un seul critère, on aurait besoin de trois expériences pour déterminer l'effet de l'azote; une pour chaque concentration de phosphore. La probabilité d'accepter H0 pour toutes les expériences est (.95)3 = .86, alors la probabilité de rejeter au moins une H0 qui est vraie est ae = .14. Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

5 Les avantages de l'ANOVA à plusieurs critères de classification II: test des interactions
Une seule expérience est nécessaire afin de déterminer si l'effet d'un facteur dépend d'un autre facteur Ex: l'ANOVA à un seul critère permet de déterminer l'effet de l'azote pour une certaine concentration de phosphore mais on ne peut déterminer si cet effet varie selon les différentes concentrations de phosphore Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

6 ANOVA à critères multiples de type I : effet de la température et du pH sur la croissance des truites Le pH et la température sont réglés par l'expérimentateur. La variable dépendante est le taux de croissance (l), les facteurs sont la température et le pH. Comme les facteurs sont contrôlés, on peut estimer l'effet de l'accroissement d'une unité de température ou de pH sur l . et prédire l pour d'autres truites 0.20 0.16 0.12 Taux de croissance l (cm/jour) 0.08 0.04 0.00 16 20 24 28 Température (ºC) pH = 6.5 pH = 4.5 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

7 Distance entre les narines (mm)
ANOVA à critères multiples type II: variation de la taille des Norops townsendi de l'archipel de Cocos La variable dépendante est la distance entre les narines, les facteurs sont l'île (aléatoire) et l'altitude (aléatoire). Même si la taille est différente entre les îles ou l'altitude, on ne peut déterminer quel facteur est responsable de cette variabilité... … alors il est impossible de prédire la taille pour une autre île ou une autre altitude. 60 55 50 Distance entre les narines (mm) 45 40 35 Cocos Isla Manuelita Mer Mi-altitude Pic le plus élevé Ile Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

8 ANOVA à critères multiples Type III: Variation géographique et des sexes chez l'ours noir
La variable dépendante est la taille, les facteurs sont le sexe (fixe) et la localité (aléatoire). Même si la masse varie entre les sites, on ne peut dire quel facteur est responsable de cette variabilité. Alors, on ne peut prédire la taille des ours de chaque sexe pour d'autres localités... …mais on peut prédire (peut-être) la différence entre les sexes. 120 160 200 240 280 Masse (kg) Riding Kluane Algonquin Mountain mâles femelles Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

9 Les facteurs fixes versus les facteurs aléatoires pour l'ANOVA
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10 Types d'ANOVA à plusieurs critères de classification I: plan factoriel
Les niveaux de chacun des facteurs sont communs à tous les niveaux de tous les autres facteurs. Ex: effet de l'âge (facteur 1) et du sexe (facteur 2) sur la taille des lézards. Observation Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

11 Type II: plan hiérarchique
Un des facteurs est aléatoire, les autres peuvent être de type I ou II. Ex: effet de l'île (A, B) sur la taille des lézards. On a deux sites (aléatoire) pour chaque île. Observation Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

12 Types d'ANOVA III: plan équilibré versus plan non-équilibré
Observation Équilibré Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

13 Types d'ANOVA IV: plan avec réplication versus sans réplication
Saison Season Prof. Print. Été Automne Prof. Print. Été Automne (m) (m) 1 1 2 2 5 5 10 10 Avec réplication Sans réplication Mesures de température Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

14 Le choix d'un design/type
Type I, II ou III Plan factoriel vs hiérarchique Plan équilibré vs non-équilibré Plan avec réplication vs sans réplication Note: les calculs sont différents selon le plan choisi, assurez vous de choisir le bon! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

15 Modèle général d’une ANOVA à critères multiples
H01: tous les ai = 0 H02: tous les bj = 0 H03: (ab)ij = 0 pour les effets aléatoires, remplacer ai, bj par Ai, Bj Pour une ANOVA à trois facteurs, le modèle est: Le modèle général d'une ANOVA à deux critères de classification: L ’ANOVA ajuste le modèle ci-dessus (par les moindres carrés) afin d'estimer ai, bj et (ab)ij Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

16 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

17 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

18 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
mA aA Taille m Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

19 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
mA mM aA Taille m bM Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

20 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
mAM (ab)AM mM aA aA+ bM Taille m bM Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

21 Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézards
eAM4 mAM (ab)AM mM aA aA+ bM Taille m bM Femelles, adultes Femelles, jeunes Mâles, jeunes Mâles, adultes Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

22 Épreuves d'hypothèses en ANOVA à critères multiples
On procède de la même façon qu’avec l'ANOVA à un critère de classification: on répartit la somme des carrés totale en somme des carrés partielles associées à chacun des facteurs et aux interactions. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

23 Tableau d'ANOVA à un critère de classification
Source de variabilité Somme des carrés Degrés de liberté CarréMoyen F k n i å å ( - Totale Y Y ) 2 n - 1 SC/dl ij i = 1 j = 1 CMgroupes CMerreur k Groupes å n ( - Y ) Y 2 k - 1 SC/dl i i i = 1 k n i ( Erreur å å Y - Y i) 2 n - k SC/dl i j i = 1 j = 1 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

24 CMA /CME SCA /dl SCT /dl SCB /dl SCI /dl CMB /CME CMI /CME Source de
variabilité Somme des carrés Carré moyen Degrés de liberté F Totale Erreur abn- 1 ab(n-1) A a - 1 b - 1 B (a-1)(b-1) Interaction CMA /CME SCA /dl SCT /dl SCB /dl SCI /dl CMB /CME CMI  /CME Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

25 Épreuves d'hypothèses en ANOVA factorielle à deux critères de classification
H01: l'âge n'a aucun effet sur la taille: tous les ai = 0 H02: le sexe n'a aucun effet sur la taille: tous les bj = 0 H03: Les effet de l'âge et du sexe sont indépendants (pas d'interaction) : (ab)ij = 0 Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

26 Résultats possibles d'une ANOVA à deux critères de classification
Décision: accepter toutes les H0. Inférence: la taille n’est pas influencée par l'âge ou le sexe. Taille Mâle Femelle Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

27 Résultats possibles d'une ANOVA à deux critères de classification
Décision: rejeter H01, accepter les autres H0. Inférence: la taille des lézards dépend de l’âge mais n’est pas influencée par le sexe. Taille Mâle Femelle Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

28 Résultats possibles d'une ANOVA à deux critères de classification
Décision: rejeter H02, accepter les autres H0. Inférence: la taille des lézards dépend du sexe mais pas de l'âge. Taille Mâle Femelle Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

29 Résultats possibles d’une ANOVA à deux critères de classification
Décision: rejeter toutes les H0. Inférence: taille des lézards est influencée par l’âge et le sexe, mais l’effet de l’âge varie d’un sexe à l’autre (ou l’effet du sexe varie selon l’âge). Taille Mâle Femelle Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

30 Résultats possibles d’une ANOVA à deux critères de classification
Décision: rejeter H03, accepter les autres H0 . Inférence: il y a un effet du sexe, mais il dépend de l’âge (ou vice versa) Mâle Femelle Taille Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

31 Résultats possibles d’une ANOVA à deux critères de classification
Décision: rejeter H02 et H03, accepter H01 Inférence: il y a un effet du sexe mais ça dépend de l’âge Taille Mâle Female Jeune Adulte Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

32 Résultats possibles d’une ANOVA à deux critères de classification
Aucun effet des facteurs effet du sexe seulement effet de l’âge seulement effet du sexe et de l’âge, sans interaction effet du sexe et de l’interaction, pas d’effet de l’âge effet de l’âge et de l’interaction, pas d’effet du sexe effet du sexe, de l’âge et de l’interaction effet de l’interaction mais pas d’effet du sexe ou de l’âge Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

33 Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan factoriel, modèle I
test CMeffet sur CMerreur Comparer les valeurs de F aux valeurs critiques aux degrés de liberté correspondants Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

34 Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan factoriel, modèle II, III
Tester CMinteraction sur CMerreur Si on rejette H0interaction , tester CMeffet sur CMinteraction Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

35 Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan factoriel, modèle II, III
Tester CMinteraction sur CMerreur Si H0interaction est acceptée, alors tester soit: (1) CMeffet sur CMinteraction ou (2) combiner CMerreur et CMinteraction afin d’obtenir CME combiné, et augmenter le nombre de dl. Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

36 Note importante En présence d’interaction, on peut remettre en question la pertinence de tester l’effet des facteurs principaux Cette décision dépend des hypothèses biologiques testées, PAS des résultats statistiques! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

37 Exemple: effet du sexe et du site sur la taille des esturgeons
Note: Le test de F assume (incorrectement) une ANOVA de type I! Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

38 Comparaisons multiples: plan factoriel
En présence d’interaction, il faut comparer les moyennes entre les niveaux d’un facteur (ex: A) pour chaque niveau de l'autre facteur (ex: B) Ex: pour une ANOVA à 2 critères de classification. Chacun des facteurs a trois niveaux, donc 9 comparaisons possibles Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

39 Comparaisons multiples: plan factoriel
S’il n’y a pas d'interaction significative, on compare les moyennes de chaque niveau d’un facteur (A) en regroupant les données de chaque niveau de l’autre facteur (B) Ex: comparer les moyennes de B regroupées au facteur A (3 comparaisons possibles). Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

40 ANOVA hiérarchique: effets du génotype sur la résistance à la déshydratation chez les mouches à fruits Least Squares Means 3 génotypes (groupes, facteur fixe). 3 chambres par groupe (sous-groupes, facteur aléatoire). 5 larves par chambres, la survie (en heures) est la variable dépendante. 63 55 SURVIVAL 47 39 31 AA Aa aa GENOTYPE$ Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

41 Test de signification de l'ANOVA à deux critères de classification: Modèle II, III, plan hiérarchique Tester CMsous-groupes sur CMerreur tester CMgroupes sur CMsous-groupes Note: Il n’y a que deux hypothèses à tester pour une ANOVA hiérarchique (versus trois pour le plan factoriel) Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

42 Test de signification de l'ANOVA à deux critères de classification: Modèle II, III, plan hiérarchique Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

43 Comparaisons multiples: plan hiérarchique
Si on accepte H0sous-groupes, on compare les groupes en regroupant les sous-groupes Si on rejette H0sous-groupes, attention! Ex: si un facteur A (sous-groupes) n’est pas significatif, on compare les données regroupées (sous-groupes), les moyennes des groupes (3 comparaisons possibles). Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06

44 ANOVA sans réplication
Chaque cellule n'a qu'une observation, il est impossible de calculer la CM ( CMerreur pour l'ANOVA avec réplication) Alors CMinteraction devient CMerreur Alors il n’y a aucune façon de tester la présence d’interaction: les inférences statistiques sont basées sur l’hypothèse qu’il n’y a pas d’interaction (ce qui peut ne pas être valide). Observation Université d’Ottawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :06