CRITÈRE DE CONVERGENCE 2

Présentation au sujet: "CRITÈRE DE CONVERGENCE 2"— Transcription de la présentation:

1 CRITÈRE DE CONVERGENCE 2
cours 27

2 Au dernier cours, nous avons vu
Critère du terme général Critère de l’intégrale Série de Riemann Critère de d’Alembert Critère de comparaison à l’aide d’une limite Critère du polynôme

3 Critère de Cauchy Série alternée Critère de Leibnitz Série de puissance Intervalle de convergence Rayon de convergence

4 Théorème: «Preuve»: (Critère de Cauchy) alors converge Si alors
diverge Si Si ??? «Preuve»: Somme finie Série géométrique

5 Exemple: Donc converge

6 Faites les exercices suivants
p. 353 # 8

7 Une série alternée est une série de la forme
Séries alternées Une série alternée est une série de la forme ou où

8 Théorème: (Critère de Leibniz) ou avec Si et alors et converge

9 Exemple: On a et de plus Donc converge

10 Si une série à terme positif converge
Donc converge

11 On dit que la série est absolument convergente
Définition: Soit une série On dit que la série est absolument convergente si converge Théorème: Si une série est absolument convergente alors elle est convergente converge converge

12 L’implication inverse est fausse
Remarque: L’implication inverse est fausse converge converge On a vu que converge Exemple: mais diverge Définition: On dit qu’une série est conditionnellement convergente si converge mais diverge

13 Faites les exercices suivants
p. 362 # 1

14 De manière générale on pourrait considérer des expressions de la forme
Séries de puissances Maintenant qu’on a plusieurs outils nous permettant de déterminer la convergence d’une série, on peut pousser une peu plus loin l’idée d’une série en y insérant une variable. De manière générale on pourrait considérer des expressions de la forme pour une valeur de disons si on pose est une série

15 À priori on pourrait prendre n’importe quel type de fonction pour les
Par exemple si on prend On obtient qui est une série de Fourier Les séries de Fourier sont utile pour comprendre les fonctions d’onde

16 Remarque: Mais on va se concentrer sur les fonctions
On nomme une série de la forme une série de puissance. Remarque: Dans le cas fini en posant On obtient le polynôme de Taylor de degré n

17 Une série de puissance peut converger ou diverger dépendamment des valeurs de .
Pour trouver les valeurs qui rendent la série convergente, on utilise souvent le critère de d’Alembert généralisé et le critère de Cauchy généralisé. Si ou converge si diverge si si on ne peut rien conclure

18 l’intervalle de convergence
Exemple: Converge si si soit soit div. div. On nomme l’intervalle de convergence et est le rayon de convergence

19 Exemple: Et ce, peut importe la valeur de
Dans ce cas, on dit que l’intervalle de convergence est et que le rayon de convergence est infini.

20 Faites les exercices suivants
p.371 # 1

21 Aujourd’hui, nous avons vu
Critère de Cauchy Série alternée Critère de Leibnitz Série de puissance Intervalle de convergence Rayon de convergence

22 Devoir: p. 353, # 8 et 12 p. 362, # 1 p. 371, # 1 à 4