Règle de L’Hospital Comment régler presque tous les cas d’indétermination dans le calcul des limites ?

Présentation au sujet: "Règle de L’Hospital Comment régler presque tous les cas d’indétermination dans le calcul des limites ?"— Transcription de la présentation:

1 Règle de L’Hospital Comment régler presque tous les cas d’indétermination dans le calcul des limites ?

2 Un peu d’histoire … Guillaume de L'Hospital, marquis de Saint Mesme, est un élève de Jean Bernoulli qui lui apprend le calcul différentiel. C'est ainsi que L'Hospital est le premier à écrire un traité sur ce nouvel outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696). C'est dans ce livre qu'apparait la célèbre règle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes indéterminées du type 0/0. En 1707, L'Hospital publie également un traité sur les coniques (Traité analytique des sections coniques), qui sera pendant un siècle un classique du genre.  La connaissance du calcul différentiel fait que L'Hospital est un de ceux qui a résolu le problème de la brachistochrone, indépendamment de mathématiciens prestigieux comme Newton ou Leibniz. Toutefois, ce mérite est entaché par les déclarations, après la mort de son élève, de Jean Bernoulli : à la suite d'un arrangement financier, L'Hospital aurait publié sous son propre nom des résultats dus à Bernoulli. Notez que l’Hospital est de la même époque que Newton et Leibniz.

3 Règle de l’Hospital Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [c,d] telles que: Alors

4 Preuve Puisque f et g sont continues, on a par l’hypothèse 1 que f(a) = g(a) = 0. Donc car f et g sont dérivables en x = a car f ’et g’ sont continues en x = a C.Q.F.D.

5 Autres indéterminations
Forme indéterminée Étapes à suivre Utiliser directement la règle de l’Hospital 1. Transformer le produit f(x) g(x) sous la forme pour se ramener au cas précédent 2. Utiliser la règle de l’Hospital 1. Utiliser des manipulations algébriques (identités trigonométriques, dénominateur commun, conjugué…) pour se ramener à la forme de base (0/0 ou /) 1. Poser y égal à la fonction dans la limite 2. Prendre le log naturel de chaque membre de l’égalité 3. Utiliser la propriété ln(Ak) = k ln(A), puis prendre la limite 4. Évaluer la limite de forme 0() obtenue 5. Revenir à la limite initiale en prenant l’exponentielle