Diagnostic Pépite et Conceptions. Plan Profils cognitifs en algèbre Relecture possible en terme de conception – Objets de lalgèbre Étude de cas – Analyse.

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1 Diagnostic Pépite et Conceptions

2 Plan Profils cognitifs en algèbre Relecture possible en terme de conception – Objets de lalgèbre Étude de cas – Analyse a priori dune tâche Tentative dinterprétation des procédures en terme de conception – Profil délève en terme de conception Vers une esquisse de conceptions en algèbre

3 Relecture possible Réinterpréter les règles daction – Théorèmes en actes, propriétés en actes – Relativement à des concepts en jeu dans la résolution Difficulté – Analyse multidimensionnelle : articuler plusieurs concepts Un vs plusieurs concepts – Cohabitation de plusieurs conceptions

4 Preuve et programme de calcul (1) SolutionsCodesConceptions 3 + 8 = 11 11 × 3 = 33 33 - 4 = 29 29 + 3 = 32 32/4 = 8 8 + 2 = 10 10 - 3 = 7 V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 justification : par lexemple T2 traduction pas-à-pas séparée CN1 calcul correct Preuve : par lexemple Égalité : annonce de résultat Expression : procédure x + 8 = 8x 8x 3 × 8x = 24+3x= 27x 27x-4 = 23x 23x+x=24x 24x/4=6x 6x+2=8x 8x-x=7 V3 incorrecte L3 lettres et règles fausses J31 pseudo-formelle T2 traduction pas-à-pas enchainée EA42 assemblage Preuve : formelle Égalité : abréviation Expression : procédure

5 Preuve et programme de calcul (2) SolutionsCodesConceptions 5+8 =13 × 3=39-4 =35+5=40 40/4=10 10+2=12 12-5= 7 V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 justification par lexemple T2 traduction pas-à-pas enchainée CN1 : calcul correct Preuve : par lexemple Égalité : annonce de résultat Expression : procédure [ x+8] × 3 = 3x+24-4 = 3x+20 = 4x+20 = [4x+20]/4 = x+5 = x+5+2 = x+7 = x+7-x = 7 V3 incorrecte L3 lettres et règles fausses J31 pseudo-formelle T2 traduction pas-à-pas enchainée EA ? Preuve : formelle Égalité : abréviation Expression : procédure

6 Preuve et programme de calcul (3) ProcédureCodeConceptions (3+8 × 3-4+3)/4+2-3 32/4+2-3 8+2-3 10-3 V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 par lexemple T2 pas-à-pas enchainée CN1 : calcul correct ((5+8)×3-4+5)/4+2-5=7 ? ((13)×3-4+5)/4+2-5=7 ? (39-4+5)/4+2-5=7 ? 10+2-5=7 ? 10-3=7 ? 7=7 ? V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 par lexemple T2 équation, globale parenthèsée EA1 : écriture alg. correcte ((x + 8) × 3 - 4 + x) / 4 + 2 - x =( 3x + 24 - 4 + x)/4 + 2 - x =(4x +20) / 4 + 2 - x =x + 5 + 2 - x =7 V1 correcte L1 nb généralisé J2 preuve par lexemple T1 globale, parenthésée EA1 : écriture alg. correcte Preuve algébrique Égalité : équivalence et identité Expression : résultat respectant la structure

7 Tentative n°1: Conception des lettres ConceptionProblèmesOpérateursReprésentationContrôle Nombre généralisé Généralisatio n et preuve Règles de formation et de conversion SymboliqueDémarche de généralisation et de preuve InconnueMise en équation SymboliqueNombre solution dune équation ÉtiquetteRègles erronées de formation et conversion (concaténation) Pseudo symbolique Écriture comme abréviation Variable Indéterminée

8 Tentative n°2 Conception de légalité – Caractéristiques : réflexivité, symétrie, transitivité, conservation par les opérations Abréviation – Problèmes : production dexpressions

9 Tentative n°3 : équivalence des Expressions Quelles conceptions sous-jacentes aux règles daction pour transformer une expression ? Caractéristiques – Conservation de la dénotation – Transformation par application didentités en reconnaissant la structure de lexpression – Distinction processus/résultat dun calcul Type de problèmes – Développement, factorisation

10 3 conceptions principales Conception : assemblage – Contrôle : Obtenir un résultat sans signe opératoire ex : a n + b n = ab n Conception : syntaxique – Contrôle : Application dune règle (souvent fausse) sans contrôle de la dénotation ex : a 2 + b 2 = (a + b) 2, a 2 = 2a Conception : identité

11 3 conceptions principales ConceptionAssemblageLinéarisationSyntaxiqueIdentité Exemples dopérateurs a n + b n = ab n a 2 = 2aa 2 + b 2 = (a+b) 2 Dénotation conservée Non Oui Reconnaissance de la structure Non Oui Distinction résultat/processus NonOui Niveau Calcul algébrique CA3 CA2CA1 ContrôleRésultat sans signe opératoire Application de règle sans contrôle de dénotation