R. Chambon2, R. Fernandes1,2, C. Chavant1

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1 R. Chambon2, R. Fernandes1,2, C. Chavant1
Méthode de régularisation par second gradient. Aspects numériques et bifurcations R. Chambon2, R. Fernandes1,2, C. Chavant1 1: Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables (EDF/R&D) UMR CNRS-EDF 2832, 1 avenue du Général de Gaulle Clamart, France web page: 2: Laboratoire Sols Solides Structures (L3S) UMR CNRS 5521, Domaine Universitaire BP53, Grenoble, France web page: This work was partially supported by GdR MoMas (PACEN) Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

2 Méthode de régularisation par second gradient
Problèmes liés aux comportements adoucissants : besoin de robustesse Extension des modèles locaux aux formulations régularisées Choix de la discrétisation numérique Algorithme de recherche de solutions multiples Applications numériques Conclusions et Perspectives Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

3 Problématique de la localisation du point de vue éléments finis
Dépendance des simulations à la discrétisation spatiale Dissipation d’énergie qui tend vers zéro avec le raffinement du maillage 2 maillages Illustration numérique Variable d’endommagement Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

4 Principe des modèles à gradients
Le phénomène de localisation entraîne la production de forts gradients de variables internes (endommagement) et de déformations Une solution consiste à régulariser ces variables internes ou le champ de déformation Principe des modèles à gradients : Introduction de variables cinématiques supplémentaires pour décrire un point matériel en tenant compte de son voisinage. Les variables cinématiques supplémentaires doivent dépendre du gradient d’une variable qui localise. Le problème de minimisation d’énergie de la structure va ensuite assurer que ces nouveaux termes n’augmentent pas trop fortement, et va donc permettre de régulariser le champ considéré. Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

5 Modèle second gradient (I) (Chambon et al, 2001)
Théorie des milieux à microstructure (dits micromorphic models) Modèle du second gradient : un modèle issu des milieux à micro-structure contraint Avec une modification de l’expression des conditions limites Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

6 Modèle second gradient (II) (Chambon et al, 2001)
La discrétisation élément fini implique de prendre en compte : soit des éléments C1-continu, soit une formulation mixte + Modèle bien adapté aux géomatériaux + Nécessite peu de données supplémentaires - Ajout significatif de degrés de liberté supplémentaire Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

7 Modèle second gradient de dilatation (I) (Fernandes et al, 2008)
Théorie des milieux avec micro-dilatation (micromorphic dilation model) Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint Avec une modification de l’expression des conditions limites Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

8 Modèle second gradient de dilatation (II) (Fernandes et al, 2008)
La discrétisation élément fini implique de prendre en compte : soit des éléments C1-continu, soit une formulation mixte soit une formulation pénalisée soit une formulation mixte pénalisée Discrétisations élément fini (3D) testées : Lagrange P0 Lagrange P1 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

9 Modèle second gradient de dilatation
Choix de la discrétisation EF (sur élément 3D): Comparaison d’essais numériques par rapport à une solution analytique Etude d’une sphère de rayon unitaire soumise à un déplacement radial imposé et à une force interne Le comportement est supposé élastique Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

10 Etude de la convergence en fonction du type d’interpolation
On discrétise la sphère avec des mailles de plus en plus fines et on observe le taux de convergence d’une norme du tenseur de déformations macroscopiques et du gradient de déformation volumique microscopique 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 taille de maille (h) en déformations macros d’ordre 2 pour l’élément sans pénalisation mais d’ordre 1 pour l’élément en gradient de déformations micros toujours d’ordre 1 => Choix de l’élément (P2,P1,P1) Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

11 Modèle second gradient de dilatation
Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint Intégration par Lagrangien augmenté Intégration par pénalisation (seule) + meilleure convergence numérique opérateur tangent non-symétrique + peu coûteuse + opérateur tangent avec symétrie identique à celle du modèle local + Modélisation bien adaptée aux géomatériaux + Nécessite peu d’informations complémentaire + Régularisation nécessitant peu de degrés de liberté supplémentaire Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

12 Distinction entre solutions multiple et bifurquée
Un point de bifurcation est défini par un paramètre de chargement à partir duquel au moins 2 solutions continues existent Un point de bifurcation est un point singulier particulier Un point singulier (ou critique) est défini par un paramètre de chargement pour lequel la matrice jacobienne des équations d’équilibre est singulière Point de bifurcation Branche bifurquée Branche fondamentale Forces globales La non-unicité de la solution est possible pour des chargements plus petits que celui du point de bifurcation Solutions Multiple Branche bifurquée Paramètre de chargement Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

13 Algorithme de changement de branches
Etape 1 : Identification d’un point singulier par un critère global basé sur l’analyse des valeurs propres de la matrice tangent consistante de rigidité calculée en fin de pas de temps par un critère local basé sur l’analyse du tenseur acoustique de Rice Etape 2 : Détection des solutions bifurquées suivant la direction du vecteur propre de la branche fondamentale Etape 1 Pas de temps Identification d’un point singulier Etape 3 : Distinction des solutions bifurquées par analyse des valeurs propre 1ère solution bifurquée On considère que 2 solutions sont identiques si leur plus petite valeur propre respective sont les mêmes Etapes 2 et 3 2nde solution bifurquée Etape 4 : Poursuite de la simulation numérique Etape 4 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

14 Applications numérique de l’algorithme de changement de branches
Théorie de bifurcation classiquement appliqué en ingénierie pour traiter les non-linéarités géométriques (comme le flambement) mais est souvent occulté quand les non-linéarités sont dues aux propriétés matériaux. Pourtant, il est bien connu que de tels problèmes non-linéaires peuvent donner de multiples solutions (Chambon et al, 1998). Observation : Pour les géomatériaux, et plus généralement pour les matériaux adoucissant, les équations représentatives des lois de comportements ne sont pas continûment differentiable. Difficulté : Utilisation de l’algorithme de changement de branche comme outil de traitement numérique pour détecter les solutions multiples Objectif : Applications numérique : 1- Biaxial homogène en compression (20.000/ ddls) 2- Simulation d’une excavation souterraine en conditions drainées (85.000/ ddls) Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

15 Points commun des applications numériques
Modélisation second gradient de dilatation par une approche pénalisée (uniquement) Relation de comportement avec un critère de type Drucker-Prager dans une approche associée Représentation classique de la réponse mécanique d’un test biaxial homogène en compression Déplacement (mm) Contrainte déviatorique équivalente Déformations volumiques Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

16 Simulation du test biaxial homogène en compression
Homogénéité sur la géométrie, le chargement et les paramètres matériaux. 2 maillages : et éléments triangle Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

17 Etape 1 : Identification de points singuliers
-> Avec le critère global basé sur l’analyse aux valeurs propres : 2 points singuliers sont détectés -> Le critère local basé sur l’analyse du tenseur acoustique de Rice est vérifié pour tous les points de Gauss avant l’identification d’un point singulier par le critère global On peut noter que : Détection par analyse du critère de Rice le vecteur propre issu du critère global est associé à une valeur propre légèrement négative. le vecteur propre issu du critère local est associé à une valeur propre positive éventuellement élevée. 0,280 0,286 Paramètre de chargement 3 plus petite valeurs propres 107 -105 Premier point singulier Second Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

18 Solutions multiples obtenues pour le test biaxial homogène
Détection des mêmes solutions avec les critères globaux (valeurs propres) / et locaux (Rice) => Solutions multiples avant l’identification d’un point de bifurcation Suivant le premier vecteur propre singulier Suivant le second vecteur propre singulier Maillage raffiné Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

19 Algorithme de changement de branches : Un outil numérique pour passer les points singuliers
2 méthodes pour détecter les bandes de cisaillement et passer les points singuliers: introduction d’une imperfection numérique (sur les paramètres matériaux par exemple) mais nécessité d’utiliser une méthode de pilotage pour passer le snap-back utilisation de l’algorithme de changement de branches sur le test homogène Forces globales / paramètres de chargement en fonction des méthodes utilisées Solution homogène Algorithme de changement de branches Forces globales (MN) Imperfection + pilotage Forces globales (MN) 0,12 0,24 0,3 Paramètre de chargement Paramètre de chargement Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

20 Comparaison des bandes de cisaillement obtenues par les deux méthodes
Epaisseur de bandes quasi-identique pour les deux méthodes Simulation avec une imperfection matériau en bas à gauche de la structure + méthode de pilotage Simulation du test homogène avec méthode de changement de branche 0,00252 0,02827 0,00215 0,02970 Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

21 Simulation numérique d’une excavation souterraine en conditions drainées
Y X Cavité cylindrique (rayon 3m) Etat de contraintes initial anisotrope Dimensions verticales et horizontales du domaine d’étude : 60 mètres 2 solutions distinctes pour chacun des 2 maillages Solution 1 Solution 2 ddls ddls ddls ddls 0,02537 0,02480 Maillage fin Maillage fin 0,02487 0,02471 Déformations plastiques cumulées aux points de Gauss après 70% de creusement Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.

22 Conclusions et Perspectives
Il est nécessaire de détecter (toutes?) les solutions d’un problème non-linéaire L’algorithme de changement de branches basé sur l’analyse aux valeurs propres de la matrice tangente consistante semble être une méthode robuste Les solutions multiple sont possible avant même l’identification de points singuliers Conclusions Est-il nécessaire de détecter toutes les solutions? Une sélection peut être envisager à partir d’un critère de « stabilité » à définir. Extension de l’algorithme de changement de branches aux matrices tangentes de rigidité non-symétrique (pour traiter les problèmes couplés ou non-associés par exemple) Perspectives Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient.