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Traitement des fréquences irrégulières
dans la méthode des éléments de frontière : étude numérique d’un processus de moyennage Antoine Lavie Alexandre Leblanc
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Sommaire 1. Problématique 2. Considérations théoriques
3. Test de la source ponctuelle 4. Application à « l’œil de chat » 5. Conclusion
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Problématique Problème à résoudre Problème de Neumann :
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Problématique Solutions Représentation de Helmholtz extérieure (RHE) : Méthode de superposition des ondes (MSO) :
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Considérations théoriques
Fréquences irrégulières - RHE : valeurs propres du problème de Dirichlet intérieur associé MSO : valeurs propres de la géométrie générée par les sources de superposition
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Considérations théoriques
Méthodes classiques - CHIEF (méthode de Schenck) et dérivées - Méthode de Burton et Miller Méthode proposée Méthode de moyennage :
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Test de la source ponctuelle
Principe Calcul analytique du rayonnement d’un monopole :
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini (MSO) 2e fréquence irrégulière kb≈3,8 1 monopole : x=0,05a ; y=0,1a a b=a/10 eau 100 sources de superposition
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : cylindre axisymétrique (RHE) 100e fréquence irrégulière ka≈11,3 z 2 monopoles identiques : z=b/3 et z=-b/3 b RHE : EQM=592% Moyennage (e=k/200) : EQM=0,7% b=1,5a a eau k/10 k/20 k/50 k/100 k/200 k/500 k/1000 EQM 164% 32% 5% 1,4% 0,7%
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : cylindre axisymétrique
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : sphère axisymétrique (RHE) 72e fréquence irrégulière ka≈25,0 z 2 monopoles identiques : z=a/4 et z=-a/4 a RHE : EQM=774% Moyennage (e=k/200) : EQM=0,8% eau
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : sphère axisymétrique
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Application à « l’œil de chat »
Cas 3D : œil de chat Chargement : - déplacement normal unitaire sur la partie sphérique ; - déplacement nul sur les 3 faces planes. Au point arrière :
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Application à « l’œil de chat »
Cas 3D : œil de chat ε=k/200
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Conclusion Méthode de moyennage entre k+iε et k-iε Bilan : - facile à mettre en oeuvre - efficace : pour la RHE et pour la MSO ; sur une large gamme de fréquences ; pour des géométries complexes et variées. - pas de justification théorique : nécessite une pré-étude pour paramétrer ε.
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