PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

2 Approximation de fonctions (cas non-linéaire
Approximation linéaire multivariée Méthode du moindre carré Approximation non-linéaire Exemple: Approximation d’indice boursier

3 Approximation linéaire multivariée
Cherchons une droite d’approximation de la forme y = b0 + b1 x1 + b2 x bp xp Posons Yi valeurs expérimentales faisant référence aux valeurs des variables xij, i1,N, j0,p, ou N est le nombre de points et p le nombre de variables Et yi une valeur calculée (approximation) par: où xij représente les valeurs des variables

4 Approximation linéaire multivariée
Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

5 Approximation linéaire multivariée
Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

6 Approximation linéaire multivariée
En divisant par -2 et en distribuant la  nous obtenons

7 Approximation linéaire multivariée

8 Approximation non-linéaire
Nous pouvons effectuer l’approximation de N points de contrôle (mesures) à l’aide de polynômes de de-gré n SI N = n + 1 => polynôme d’interpolation SI N > n + 1 => polynôme d ’approximation Les polynômes d’approximation prennent alors la forme: y = b0 + b1 x + b2 x bn xn

9 Approximation non-linéaire
Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

10 Approximation non-linéaire
Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

11 Approximation non-linéaire
Après simplifications

12 Approximation non-linéaire
Sous forme matricielle nous avons:

13 Approximation non-linéaire
Exemple avec N = 11 et n = 2, nous cherchons le polynôme d’approximation de la fonction bruitée y = 1 - x x2

14 Approximation non-linéaire

15 Approximation non-linéaire
Nous avons sous forme matricielle

16 Approximation non-linéaire
Après avoir résolu ce système d’équations nous obtenons comme solution: b0 = b1 = b2 = 0.225 Ce qui permet de déduire le polynôme d’approxima-tion: y = x X2

17 Approximation non-linéaire
Le degré du meilleur polynôme d’approximation peut être estiminé en évaluant le critère suivant: Nous cherchons alors le polynôme de degré n pour lequel 2 est minimal

18 Approximation non-linéaire
Dans le cas de notre exemple

19 Exemple : Approximation d’indice boursier
Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)

20 Exemple : Approximation d’indice boursier
Résultats attendus (degré 1: cas linéaire)

21 Exemple : Approximation d’indice boursier
Résultats attendus (degrés: 2, 3, 4, 5) 5 2 3 4