Méthodes standards de reconstruction tomographique

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1 Méthodes standards de reconstruction tomographique
en SPECT/PET Philippe Ciuciu (CEA/SHFJ) CEA/SHFJ

2 d‘Irène Buvat (CNRS, INSERM U678) Et de Claude Comtat (CEA/SHFJ)
Cours préparé à partir des cours de Master de physique médicale, Univ. Paris Sud (Orsay) d‘Irène Buvat (CNRS, INSERM U678) Et de Claude Comtat (CEA/SHFJ) CEA/SHFJ

3 Plan Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées CEA/SHFJ

4 Problématique : images détectées par la
gamma caméra Je vous rappelle qu’en SPECT, on a des détecteurs seulement d’un côté alors qu’en PET on a une ou plusr couronnes qui entourent le sujet/patient ; dans les deux cas, on acquiert un jeu de projections Intégrale du rayonnement g émis dans différentes directions CEA/SHFJ

5 Problématique : signaux détectés par le
tomographe à EP plans droits plans droits plans croisés Lignes de réponse dans toutes les directions CEA/SHFJ

6 Problématique : estimer la distribution 3D
du radiotraceur coupe transaxiale (ou transverse) coupe sagittale coupe coronale … à partir de mesures intégrales de cette distribution dans différentes directions CEA/SHFJ

7 Reconstruction tomographique : factorisation du problème
Ensemble de projections 2D Ensemble de projections 1D détecteur en position q 1 projection 2D détecteur en position q 1 projection 1D coupe axiale volume 3D étudié reconstruction d’un volume 3D reconstruction d’une coupe 2D y z x juxtaposition des coupes volume 3D CEA/SHFJ

8 Principe de la reconstruction tomographique
  r projection 1 3 4 16 32 64 rétroprojection Pour comprendre le principe de la reconstruction tomographique, nous allons nous placer dans un cas très simple, ou l’on cherche a estimer une image 2D à partir de mesures 1D. Supposons que l’on ait uniquement une coupe, dans laquelle se trouve une source ponctuelle radioactive. Lorsqu’on acquiert les projections de cette coupe, on va obtenir un point, dont la position va varier pour les différentes projections. Une opération très simple permettant d’estimer grossièrement l’objet consiste à rétroprojeter le signal détecté sur les projections. On voit que cette opération permet grossièrement de reconstituer l’objet, mais qu’il apparaît aussi des artefacts, notamment des artefacts en étoile. Pour faire disparaître ces artefacts, il faut faire ce qu’on appelle une rétroprojection filtrée. Les projections détectées sont filtrées, avant d’être rétroprojetées, ce qui permet d’enlever une grande partie des artefacts. CEA/SHFJ

9 Principe de la reconstruction tomographique
projection filtrée  r rétroprojection filtrée  CEA/SHFJ

10 Opérateurs impliqués en reconstruction
tomographique  x y v u = x cos  + y sin  projection rétroprojection Les 2 opérations clefs de la reconstruction tomographique sont donc les opérations de projection et de rétroprojection. Pour formuler mathématiquement ces opérations, on considère 2 repères : un repère fixe (x,y) et un repère tournant (u,v). La projection correspondant à un angle théta n’est autre que l’intégrale du signal dans une direction parallèle à l’axe des v. La rétroprojection elle s’écrit comme cela. En effet, si on considère un seul angle theta, on estime f’(x,y) par p(u,theta) pour u correspondant au couple (x,y) qui nous intéresse. La rétroprojection consiste à effectuer cette opération pour tous les angles theta et à sommer tous les résultats.     p(u,) = f(x,y) dv f *(x,y) = p(u,) d - CEA/SHFJ

11 Théorème de la tranche centrale
transformée de Fourier 1D p(u,) = f(x,y) dv - + P(,) = p(u,) e-i2u du  y v u = x cos  + y sin  x =  cos  y =  sin  du.dv = dx.dy p(u,)  x Pour comprendre d’où provient la rétroprojection filtrée, nous devons considérer quelques équations très simples. Considérons la transformée de Fourier des projections, par rapport à la variable u. Elle s’écrit : Si on remplace p(u,q) par sa valeur, on obtient : Cette expression montre que la transformée de Fourier d’une projection par rapport à la variable u est reliée à la transformée de Fourier bidimensionnelle de l’objet. Ce théorème est appelé théorème de la tranche centrale et est à la base de nombreuses méthodes de reconstruction tomographique. En particulier, c’est sur ce théorème que repose la méthode de rétroprojection filtrée, qui est actuellement la méthode la plus utilisée en reconstruction tomographique et que je vais maintenant vous décrire. qui n’est autre qu’une ligne de la transformée de Fourier de l’objet f(x,y), à savoir la ligne qui passe par l’origine et qui fait un angle theta avec l’axe des absisses. + + + +     P(,) = f(x,y) e-i2u du.dv = f(x,y) e-i2(xx+yy) dx.dy - - - - CEA/SHFJ

12 Plan Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées CEA/SHFJ

13 Rétroprojection filtrée
P(,) = F(x, y) + +   f(x,y) = F(x, y) ei2(xx+yy) d x. d y x =  cos  y =  sin   = x2 + y2 d x.d y = d.d u = x cos + y sin - - + +   = P(, ) ei2(xx+yy) d x. d y - -  +   = P(, ) |  |ei2u d . d  L’objet à reconstruire peut s’écrire comme étant la TF inverse de sa transformée de Fourier. Sa TF peut se remplacer par P(r,theta), d’après le théorème de la tranche centrale. Si on effectue esuite un changement de variable, on aboutit à cette expression là. En appelant p’ cette expression ci, on voit que l’objet n’est autre que la rétroprojection de p’, où p’ est la TF inverse de sa TF multipliée par valeur absolue de r. -  +   = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) |  |ei2u d  - CEA/SHFJ

14 Algorithme de rétroprojection filtrée
 + f(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d  -  projections images reconstruites p(u,) f(x,y) TF rétroprojection L’algorithme de rétroprojection filtrée, qui est à la base des méthodes de reconstruction tomographique, peut donc se résumer ainsi : Pour estimer l’objet, on considère les projections acquises. On calcule la transformée de Fourier de ces projections. On filtre, en multipliant cette transformée de Fourier par ce qu’on appelle un filtre rampe. On prend la transformée de Fourier inverse des projections filtrées. Et on rétroprojette le résultat pour obtenir une estimée de la distribution d’activité. filtrage TF-1 P(,) || P(,) p’(u,) CEA/SHFJ

15 Algorithme de rétroprojection filtrée
Filtered Back-Projection FBP : 1) calculer la transformée de Fourier 1D d’une projection pour un angle  fixé 2) multiplier par le filtre rampe || 3) calculer la transformée de Fourier inverse 1D de la projection filtrée 4) rétroprojeter la projection filtrée 5) répéter les étapes 1 à 4 pour chaque angle  CEA/SHFJ

16 Algorithme de rétroprojection filtrée
p(xr,f) Convolution par le filtre rampe h(xr) = F-1{|vxr|} p(xr,f)*h(xr) xr xr Opération de projection effectuée par le scanner Rétroprojection CEA/SHFJ

17 Insuffisance du filtre rampe
 + ||w f(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d -  || w ||w 1 1 1    Dans cet algorithme, on voit que l’on multiplie la TF des projections par un filtre rampe dans l’espace de Fourier. Ce filtre rampe amplifie cependant énormément les hautes fréquences, et les hautes fréquences correspondant au bruit de mesure, il est nécessaire de réduire le bruit. Pour cela, on associe généralement au filtre rampe un filtre passe bas qui va supprimer les basses fréquences. Par exemple, on peut remplacer le filtre rampe par un filtre de Hann, représenté ici, et dont la formule est celle-ci. Le produit des 2 filtres a cette allure. Si on prend nc = nn, le filtrage dans l’espace des fréquences est equivalent à un filtrage spatial très simple, avec le noyau de convolution suivant, qui correspond donc à moyenner localement le signal, pour réduire le bruit. De nombreux autres filtres existent, et l’opérateur peut généralement choisir le filtre avec lequel il souhaite reconstruire ces images. ,8 ,8 ,8 filtre rampe x filtre de Hann filtre résultant CEA/SHFJ

18 Rétroprojection Filtrée en Pratique
Les données mesurées sont discrètes et bruitées : échantillonnage discret de pas Dxr  fréquence maximum nN = 1/2Dxr ; bruit statistique  apodisation du filtre rampe par un filtre passe-bas W(nxr) avec fréquence de coupure nc  nN. CEA/SHFJ

19 Effet du Filtrage 16 36 72 144 1 2 4 8 Sans filtrage, # = 144
Avec filtrage, #  = 144 1 2 4 8 16 36 72 144 CEA/SHFJ

20 SPECT cérébral HMPAO Tc-99m
Syndrome de fatigue chronique Voici un exemple d’images tomographiques, c’est-à-dire de coupes reconstruites obtenues en SPECT cérébral en utilisant un radiotraceur marqué au Tc-99m. Il s’agit d’images axiales de perfusion, c’est à dire que les images montrent l’irrigation cérébrale. Pour un patient atteint d’un syndrome de fatigue chronique, on note un défaut de perfusion dans l’hémisphère gauche, incluant le cortex pariétal et temporal, et affectant également les structures profondes. Après traitement, on peut voir un retour à une perfusion beaucoup plus normale. HMPAO SPECT perfusion images CFS 2 : a large perfusion defect involving the left hemisphere including the temporal and parietal cortex and involving the deep structures. Improved after treatment. : brain Avant traitement Après traitement IRM anatomique CEA/SHFJ

21 Plan Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées CEA/SHFJ

22 Reconstruction analytique vs algébrique
Voici maintenant des coupes PET reconstruites. Le marqueur était du FDG et ces images montrent la présence d’une hyperfixation au niveau du sein. Voici ici une image reconstruite au moyen de l’algorithme de rétroprojection filtrée que je vous ai présenté. A droite, vous pouvez voir l’image reconstruite par une autre technique de reconstruction tomographique, à savoir une reconstruction tomographique algébrique. On peut voir que l’image de droite semble être de meilleure qualité que l’image de gauche, avec notamment moins d’artefacts de raies. C’est la raison pour laquelle en SPECT comme en PET, la tendance actuelle est de remplacer la rétroprojection filtrée par un algorithme de reconstruction itératif. Je vais donc maintenant vous expliquer le principe de ces algorithmes. FBP vs OSEM mais en PET. Primary (upper) tumor sites for a right breast adenocarcinoma in a 71 y woman. Images are displayed in dual orthogonal viewers linked through the cursor. Data were acquired in 2D-mode (septa extended) on an ECAT Exact HR PET scanner after injection of 11 mCi of 18F-FDG. Filtered backprojection images were reconstructed with a Hanning filter and an isotropic spatial resolution of 8 mm. Sinograms corrected for attenuation and scatter, were first smoothed with an isotropic gaussian filter with 8 mm (FWHM) prior to reconstruction with OSEM and 4 iterations. (by courtesy of Max Lonneux and C. Michel, Positron Tomography Laboratory, UCL Belgium) rétroprojection filtrée reconstruction algébrique CEA/SHFJ

23 Améliorer le Compromis Résolution  Bruit
reconstructions itératives reconstructions analytiques Modèle : Intégrale ligne Modèles plus complexes : bruit statistique dispositif d’acquisition itérative analytique CEA/SHFJ

24 Reconstructions Itératives en TEP
Modèle « réaliste » Trop complexe pour une inversion analytique directe Approcher la solution pas à pas, en partant d’une image initiale CEA/SHFJ

25 Reconstructions Itératives
Plutôt que d’estimer la distribution 3D par une implémentation discrète d’une solution analytique telle que FBP (opération directe), on l’estime par une succession d’affinages : meilleure modélisation du dispositif discret d’acquisition des données que le modèle de l’intégrale ligne incorporation d’un modèle statistique de bruit dans les données Intégration durant le processus de reconstruction d’informations a priori connues sur l’image. CEA/SHFJ

26 Reconstructions Algébriques et Statistiques
On distingue deux classes d’approches itératives: 1) algébriques [1] incluent un modèle discret du dispositif d’acquisition 2) statistiques incluent un modèle statistique du bruit peuvent inclure un a priori (bayésiennes) [1] RG.T. Herman and L.B. Meyer, “Algebraic reconstruction techniques can be made computationally efficient,” IEEE Trans. Med. imag., 12, , 1993. CEA/SHFJ

27 Reconstructions Itératives : Caractéristiques
Une reconstruction itérative est caractérisée par [Fessler98]: Un modèle paramétrique de l’image, l = {lj | j = 1,...,n} ; un modèle des mesures, reliant les données discrètes mesurées y = {yi | i = 1,...,m} à l’image l : un modèle du bruit, c’est-à-dire une distribution de probabilité pour y ; Un critère à minimiser et un algorithme itératif de minimisation [1] J.A. Fessler, “Statistical Methods for Image Reconstruction and Medical Imaging System Design,” Course of the IEEE Nuclear Science Symposium and Nuclear Imaging, Toronto, November 10, 1998 CEA/SHFJ

28 Plan Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées CEA/SHFJ

29 Paramétrisation de l’Image
Paramétrisation non unique de l’image Voxel [1] R.M. Lewitt, “Multidimensional digital image representation using generalized Kaiser-Bessel window functions,” J. Opt. Soc. Amer. A, 7 (10), , 1990. [2] R.M. Lewitt, “Alternatives to voxels for image representation in iterative reconstruction algorithms,” Phys. Med. Biol., 37 (3), , 1992. Blobs :fonctions à symétrie sphérique (fonctions généralisées de Kaiser-Bessel) qui se chevauchent [Lewitt90,Lewitt92] CEA/SHFJ

30 Modèle d’acquisition : Matrice système
 approche matricielle si(x)  probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant en x. Aij  probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant dans le voxel j A peut être complexe à souhait… CEA/SHFJ

31 Matrice Système géométrique
i) projection géométrique Aij  volume d’intersection entre le voxel j et la LOR i Pixel j paire de détecteurs i CEA/SHFJ

32 Matrice Système géométrique (suite)
ii) angle solide Aij  angle solide sous lequel la paire de détecteurs i est vue depuis le voxel j paire de détecteurs i aij’ Pixel j’ Pixel j aij paire de détecteurs i aij’ > aij CEA/SHFJ

33 Modéliser dans la matrice système
Pixel j profondeur de pénétration dans le cristal Pixel j diffusions dans les cristaux non-colinéarité de la paire de photons LOR non mesurées (gaps) … CEA/SHFJ

34 Factorisation de la matrice système
Matrice système peut être gigantesque (tera-octet) 1) calculer les éléments de la matrice en ligne (routine clinique, généralement uniquement géométrique) 2) techniques de factorisation [Qi98] : A = Asens. dét.  Arép. dét.  Aattn  Agéom. Asens. dét. : sensibilité des détecteurs (diagonale) Arép. dét. : fonction de réponse des détecteurs Aattn : atténuation (diagonale) Agéom. : projection géométrique [1] J, . Qi R.M. Leahy, S.R. Cherry, A. Chatziioannou,and T.H. Farquhar, “High-resolution 3D Bayesian image reconstruction using the microPET small-animal scanner,” Phzs. Med. Bio., 43 (4), , 1998. Exemple de décomposition : on pourrait ajouter le parcours du position avant la gémétrie de l’image (3D isotrope) Matrice A géométrique fait passer de l’espace de l’image aux sinogrammes CEA/SHFJ

35 Modèle du Bruit (TEP) Hypothèse de Poisson pour l’acquisition si :
le nombre d’atomes du traceur injecté suit une distribution de Poisson les localisations spatiales des atomes du traceur, en tout instant, sont des variables aléatoires indépendantes les instants auxquels surviennent la désintégration des atomes du traceur sont des variables aléatoires indépendantes, qui suivent une loi exponentielle de moyenne  = t1/2/ln2 les processus de détection de chaque désintégration sont des processus aléatoires indépendants (pas de temps mort) CEA/SHFJ

36 Plan Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées CEA/SHFJ

37 Modèle du Bruit (suite)
Données pré-traitées : ré-échantillonage, correction de l’efficacité de détection, de l’atténuation, des coïncidences fortuites et diffusées, du temps mort,…  Données pas Poisson Données Poisson : corrections dans la matrice système Pour satisfaire un modèle de Poisson, il faut inclure TOUTES les corrections dans la matrice système et ne reconstruire que des données brutes. Souvent, non réalisable. CEA/SHFJ

38 Choix d’un modèle statistique de bruit
Aucun : y = A·l Bruit blanc gaussien : Avec bruit : y = A·l + b Bruit gaussien corrélé/coloré Données brutes : Poisson Données corrigées : Gauss. Mais alors, il faut avoir une estimation de la variance. Dans la pratique, on préfère souvent utiliser le modèle de Poisson, même si les données ont déjà été corrigées. Bruit poissonnien CEA/SHFJ

39 Distributions de Poisson et de Gauss
Distribution de Poisson : variable entière positive un seul paramètre (moyenne = variance) Distribution de Gauss : variable réelle deux paramètres (moyenne et variance) Choix du modèle de bruit ; poisson semble a priori plus simple car moins de paramètre (en fait la vraisemblance qu’on dérive à partir d’un tel modèle est quand même plus compliquée que pour un modèle BBG car cette dernière nous ramène souvent, pour peu qu’on choisisse un estimateur max de distribution de proba, au critère des moindres carrés) CEA/SHFJ

40 Fonction de Coût/Critère
(y,Al) terme d’attache de l’image l aux données de projection mesurées y, ie vraisemblance des observations U(l) terme d’attache de l à un modèle a priori de l’image ie terme de régularisation Contrainte (non négativité, …) CEA/SHFJ

41 Attache aux données :vraisemblance
Mesure la distance entre les mesures et le modèle Bruit blanc gaussien : terme de moindres-carrés Bruit gaussien corrélé : moindres-carrés pondérés (WLS) [Fessler94] D.M. Titterington a montré que maximiser la vraisemblance pour un modèle de Poisson est équivalent à mininiser la distance de Kullback-Leibler [1] J.A. Fessler, “Penlized weighted least-scquares image reconstruction for positron emission tomography,” IEEE Trans. Med. Imag., 13(2), , 1994. [2] D.M. Titterington, “On the Iterative Image Space Reconstruction Algorithm for ECT,” IEEE Trans. Med. Imag., 6(1), 52-56, 1987. Bruit poissonnien : distance de Kullback-Leibler [Titterington87] CEA/SHFJ

42 Maximum de vraisemblance
Approche statistique : terme d’attache aux données  maximum de vraisemblance Modèle de bruit poissonnien : Maximum de vraisemblance (ML), sans a priori CEA/SHFJ

43 Maximum a Posteriori Approche statistique : modèle a priori  règle de Bayes Maximum a posteriori (MAP) [Hebert89] [1] T. Hebert and R. Leahy, “A Generalize EM Algorithm for 3-D Bayesian Reconstruction from Poisson Data Using Gibbs Priors,” IEEE trans. Med. Imag., 8(2), , 1989. Pour dériver la loi a posteriori on utilise la règle de Bayes (conséquence de la règle du produit en probabilités) ; de cette distribution on tire un estimateur ponctuel pour notre image (densité du radiotraceur), par exemple l’estimateur du MAP qui consiste à maximiser cette loi a posteriori ; on va donc avoir besoin ensuite d’un algorithme d’optimisation pour cet estimateur ; on aurait pu choisir autre chose (par exemple la moyenne a posteriori, facilement calculable à partir de techniques de simulation stochastiques types MCMC, ie échantillonneur de Gibbs décrit dans [Geman84] ou algorithme de Métropolis Hastings ([Hastings53, Metropolis70]) ; mais intéressons nous maintenant au choix du modèle a priori Typiquement : CEA/SHFJ

44 Exemple d’A Priori : Champ de Markov
Champ de Markov : modèle de corrélations spatiales locales [Geman84] N3D Huber :préserver les transitions abruptes ie les discontinuités entre zones homogènes dans l’image alors qu’une fonction potentielle quadratique [1] S. Geman and D. Geman, “Stochastic Relaxation, Gibbs Distribution, and The Bayesian Restoration of Images,” IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., 6(6), , 1984. CEA/SHFJ

45 Incorporation Information Anatomique
Modèle simple : désactiver (wjk = 0) les corrélations locales si deux voxels j et k appartiennent à deux structures anatomiques différentes Image anatomique obtenue par : IRM ou Rayons X (CT) CEA/SHFJ

46 Maximisation itérative du critère
Une fois définis : un modèle de l’image (voxels, blobs) un modèle de l’acquisition (matrice A) un modèle statistique du bruit (Poisson, Gauss) un critère (Moindres-Carrés, ML, MAP) Il nous reste à choisir un algorithme permettant de le maximiser Algorithme le plus classique : EM-ML et variations (OSEM, RAMLA, …) CEA/SHFJ

47 Algorithme Expectation Maximization (EM) [Dempster77]
Critère : fonction de vraisemblance (ML) Algorithme EM : recherche du maximum de vraisemblance A) Absence de maxima locaux Expliquer ici qu’on part d’un bruit poissonnien et que les termes constants en y_i log(y_i) dégagent ce qui revient à maximiser la première équation pour trouver la solution du max De vraisemblance Le caractère semi-définie négatif de la matrice Hessienne garantit la concavité du problème de maximisation cad l’absence de minima locaux et la possibilité de calculer relativement Simplement un maximum global (tout maximum local est global) 2L : semi-définie négative car  n, nT · 2L·n  0 L(l) est concave : maximisation locale converge vers un maximum global CEA/SHFJ

48 EM-ML (2) Espace incomplet y :
pas de maximisation analytique car p(yi|l) dépend de {lj | j = 1,...,n} Espace complet x (y+données manquantes) : contribution du voxel j à la mesure i {xij | j = 1,...,n; i = 1,...,m; yi = jxj} p(xij|lj) ne dépend que de lj [1] Y. Vardi, L.A. Shepp, and L. Kafman, “A Statistical Model for Positron Emission Tomography,” J. Amer. Stat. Ass., 80(389), 8-37, 1985. Les x_ij sont des VA indépendantes de Poisson don’t la moyenne vaut a_ij \lambda_j impliquant E[ x_ij | \sum_j=1^J x_ij = y_i,\lambda ] = y_i \frac{a_ij \lambda_j}{\sum_{k=1}^J a_ik \lambda_k } CEA/SHFJ

49 EM-ML (3) Maximisation analytique désormais possible
Mais x inconnu !!! Principe de l’algorithme EM [Dempster77] Plutôt que de maximiser log p(x | l), on maximise l’espérance sur x de log p(x | l), en utilisant une estimation l(p) de l pour estimer x [1] A.P. Dempster, N.M. Laird, and D.B. Rubin, “Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm,” J. Royal Stat. Soc., 39, 1-38, 1977. Intégration de x hors du problème ; attention à ne pas oublier de réintroduire le terme y_i! qui donne maintenant ?? Bizarre cette expression car le factoriel de la somme n’est Pas égal à la somme des factoriels ; il faut peut être raisonner directement sur x CEA/SHFJ

50 EM-ML (4) Deux étapes dans EM : 1) calcul de l’espérance (E-step)
2) maximisation de l’espérance (M-step) On montre que L(l(p+1))  L(l(p)) CEA/SHFJ

51 EM-ML (5) E-step : M-step : CEA/SHFJ
On utilise la propriété que si xi sont des variables de Poisson indépendantes de moyenne ai alors Détails de ces expressions ; pour l’étape CEA/SHFJ

52 Exemple d’application de EM-ML
itérations : itérations : Sans bruit CEA/SHFJ

53 EM-ML : inconvénients convergence trop lente pour cette application
EM version accélérée : OSEM autre algorithme de maximisation : RAMLA amplification du bruit avec les itérations régularisation de MV : MAP (=MVP) arrêter avant convergence lisser l’image reconstruite D’un point de vue algo OSEM : plus de preuve de convergence car on ne reconstruit qu’une partie des données à la fois ; SAGE pour la version gaussienne uniquement ; 2 ème point : amplif du bruit donc la fonction de coût minimisée ici cad la vraisemblance n’est peut etre pas la plus pertinente CEA/SHFJ

54 EM-ML : Convergence Lente
L(l) Q(l l(p)), approximation de L(l) L(l), Q(l l(p)) Surrogate :séquence de fonctions S(l,l(p)) qui approximent localement S(l) autour de l = l(p) : 1) S(l,l(p))  S(l)  l  0 2) S(l(p),l(p)) = S(l(p)) 3) l S(l,l(p))|l=l(p) = l S(l)|l=l(p) et qui sont facilement maximisables. [1] J.A. Fessler, N.H. Clinthorne, and W.L. Rogers, “On complete data spaces for PET reconstruction algorithms,” IEEE Trans. Nuc. Sci., 40(4), , 1993. l CEA/SHFJ

55 OSEM : Accélération de EM-ML
Ordered-Subset Expectation Maximization [Hudson94] Sous-itération : utiliser qu’un sous-ensemble de projections (subset) [1] H.M. Hudson and R.S.Larkin, “Accelerated Image reconstruction Using Ordered Subsets of Projection Data,” IEEE Trans. Med. Imag., 13(4), 1994. 1 itération M subsets  M EM iterations CEA/SHFJ

56 RAMLA : Alternative à EM-ML
Row Action Maximum Likelihood Algorithm [Browne96] Row Action : uniquement 1 mesure yi est considérée par sous-itération (1 ligne i de Aij) S. Matej propose de coupler RAMLA avec l’utilisation de blobs [2] ,[3]. [1] J. Browne and A.R. De Pierro, “A Row-Action Alternative to the EM Algortihm for Maximimiying Likelihood in Emission Tomography,” IEEE Trans. Med. Imag., 15(5), , 1996. [2] S. matej and J.A. Browne, “Performane of a fast maximum likelihood algorithm for fully 3D PET reconstruction,” Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiation and Nuclear Medicine, P. Grangeat and J.-L. Amans (eds.), Kluwer Academic Publisher, , 1996. [3] T. Obi, S. Matej, R.M. Lewitt, and G.T. Herman, “2.5-D Simultaneous Mutlislice Reconstruction by Series Expansion Methods from Fourier-Rebinned PET Data,” IEEE Trans. Med. Imag., 19(5), , 2000. es : paramètre de relaxation is : choix de l’ordre des mesures important pour accélérer convergence CEA/SHFJ

57 EM/ML : amplification du bruit
Arrêter après 12 itérations ? D.L. Snyder et al. ont montré [1] que le bruit est une propriété intrinsèque à ML et ne provient pas de l’algorithme de maximisation en lui-même. Critère maximisé ; solution obtenue pas celle de meilleure qualité par rapport à l’image de départ (EQM par rapport à 1 image analytique) [1] D.L. Snyder, M.I. Miller, L.J.Thomas, Jr., and D.G. Politte, “Noise and edge Artifacts in Maximum-Likelihood Reconstructions for Emission Tomography”, IEEE Trans. Med. Imag., (3), , 1987. CEA/SHFJ

58 Régulariser ML Approche de type MAP (aussi appelée PML pour Penalized ML) inclure dans la fonction un a priori de lissage (terme de régularisation) maximisation plus complexe, dépendant du terme de régularisation : De Pierro MAP-EM modifié (valable avec OSMAP) [1], Gradient conjugé pré-conditionné [2], Space-alterning generalized EM (SAGE) [3], … Arrêt avant convergence et/ou post-filtrage Corrélations locales introduites par la paramétrisation de l’image (blobs) [1] A.R. De Pierro, “A Modified ExpectationMaximization Algorithm for Penalized Likelihood Estimation in Emission Tomography,” IEEE Trans. Med. Imag., 14(1), , 1995. [2] E. Mumcuoglu, R. Leahy, and S. Cherry, “Bayesian reconstruction of PET images: methodology and performance analysis,” Phys. Med. Biol., 41, , 1996. [3] J.A. Fessler and A.O. Hero, “Penalized maximum-likelihood image reconstruction using space-alterning generalized EM algorithms,” IEEE Trans. Imag. Proc., 4(10), , 1995. CEA/SHFJ

59 Régularisation : résolution vs bruit
Poids de la régularisation, paramètre b (PML/PWLS) largeur filtre de lissage (après OSEM) largeur blobs fréquence coupure(FBP), fixe le rapport signal-sur-bruit. Compromis bruit-contraste dépend du critère et du modèle de bruit. Comparaison de 4 méthodes de reconstruction pour des données corps-entier pré-corrigées (plus Poisson) : 1) Rétroprojection filtrée 2) OSEM (matrice système uniquement géométrique) 3) OSEM (matrice sytème inclut effet de la correction de l’atténuation) 4) PWLS (bruit Gauss, avec un variance qui inclut les effets de toutes les corrections) On simule avec un modèle analytique pui ajout de bruit (centaines de realisations) Puis reconstruction de ces 100 réalisations ; on retire le paramètre d’intérêt pour chaque réalisation pour le médecin (par exemple le contraste d’un foyer d’hyperfixation) Et ensuite courbe de la val moyenne du paramètre en focntion de son ecart type Courbes ROC : sensibilité versus spécificité ; résultats présentés ici corrélés empiriquement avec les courbes ROC Le médecin est le dernier décideur !!!!!!!!!!!!!!!! Confortable avec l’image CEA/SHFJ

60 FORE+OSEM : modèle de bruit incorrect
Implémentation classique de EM-ML en milieu clinique : acquisition en mode 3D pour sensibilité OSEM 2D pour rapiditéS pre-correct 3D data Post-filtration Gauss FORE OSEM A = Agéom. FORE exige des projections consistantes, corrigées pour les fortuits, l’attenuation, les diffusés, etc. Données corrigées ne sont plus distribuées selon Poisson. ML (OSEM) s’attend à des données distribuées selon Poisson FORE = Fourier Rebinning Permet de rééchantillonner les données acquises en mode 3D (pour augmenter le Rapport Signal sur Bruit) en un jeu de données (sinogrammes ou projections) consistantes que l’on va reconstuire de façon indépendante ; Fourier REBINING 2D rapide (basée sur le modèle d’intégrale ligne) donc les data doivent être pré-corrigées mais alors ib viole l’hypothèse de bruit de Poisson Pourquoi cette approche a été développée ? Tout simplement à cause du coût de calcul de la reconstrcution tomographique 3D ce qui constitue un frein pour la clinique La déviation à Poisson c’est essentiellement l’atténuation ; multiplication par un facteur de 1 à 10 selon la direction atténuation reintroduite dans la reconstruction ie dans l’opérateur qui modélise le problème direct (voir plus loin) CEA/SHFJ

61 Modèle de bruit incorrect  artéfacts
Images moyennes de 50 simulations, 1 à 10 itérations FORE+AWOSEM FORE+OSEM mean image of 50 simulations with 40M trues + 40M scatters + 40M randoms + attenuation (noise-free TS); reconstructed with FORE(AW)+OSEM, 16 subsets [1]¨ X. Liu, C. Comtat, M. Defrise, C. Michel, P.E. Kinahan, and D.W. Townsend, «  Comparison of 3D-OSEM and FORE+OSEM reconstruction for PET, ». Proceedings of the International Meeting on Fully Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiology and Nuclear Medicine, Egmond-aan-See, The Netherlands, 1999. CEA/SHFJ

62 Attenuation-Weighted OSEM (AWOSEM)
Solution simple à mettre en œuvre Hypothèse Correction de l’atténuation responsable de la plus grande partie de la déviation à une distribution de Poisson en corps-entier  Inclure la correction de l’atténuation dans la matrice système . [1] C. Comtat, P.E. Kinahan, M. Defrise, C. Michel, and D.W. Townsend, “Fast reconstruction of D PET data with accurate statistical modeling,” IEEE Trans. Nuc. Sci., 45(3), , FORE?? pre-correct 3D data Post-filtration Gauss FORE OSEM A = Aattn  Agéom. de-correct 2D attn CEA/SHFJ

63 Application à données corps-entier FDG
3DRP FORE+OSEM FORE+AWOSEM shfj Données corps entier À gauche Après FBP : bruit relativement plat en intensité qq soit le niveau de signal du coup on a même du mal à séparer le corps des bras Au milieu : FORE+OSEM : il a été montré qu’une reconstruction itérative type EM-ML produisait une variance estimée du bruit est proportionnelle au niveau du signal . Par conséquent le niveau de bruit est faible à l’extérieur des organes, ie là on l’on a injecté le traceur Aw : version Attenuation weighted : image de droite produite au SHFJ ; réhaussement du contraste dans les images dû à la correction d’atténuation, qui est la principale source expliquant la déviation au modèle de bruit poissonien. Utilsié maintenant en clinique pour le métabolisme du glucose (FDG) CEA/SHFJ

64 Conclusion Reconstructions itératives : grandes potentialités, MAIS
attention à la manière dont elles sont mises en œuvres : une mauvaise modélisation (acquisition, bruit, a priori) peut induire des erreurs de quantification importantes (biais) ; prendre garde à la vitesse non-uniforme de convergence (AWOSEM plus lent que OSEM) bien valider leur emploi par rapport à leurs conditions d’utilisation CEA/SHFJ

65 Etude de la perfusion myocardique en TEMP
Tl201 (T1/2=72,5 h, E=69-83 keV, 135 keV et 167 keV) analogue du potassium fixation régionale proportionnelle au flux sanguin 100 MBq Tc99m sestamibi ou Tc99m tetrofosmine (T1/2=6 h, E=140 keV) fixation régionale proportionnelle au flux sanguin MBq normal ischémie infarctus repos effort CEA/SHFJ

66 Principe des méthodes de reconstruction
algébrique p1 p2 pi projection fk f1 f2 f3 f4 p3 p4 p1 = r11 f1 + r12f2 + r13f3 + r14 f4 p2 = r21 f1 + r22f2 + r23f3 + r24 f4 p3 = r31 f1 + r32f2 + r33f3 + r34 f4 p4 = r41 f1 + r42f2 + r43f3 + r44 f 4 Contrairement à la méthode de rétroprojection filtrée, les méthodes de reconstruction itératives posent le problème de reconstruction directement en termes discrets. L’hypothèse sous-jacente est simplement que la valeur détectée dans chaque pixel est une combinaison linéaire pondérée des valeurs des pixels de l’image à reconstruire. L’ensemble des pixels de projection est arrangé en vecteurs, de même que l’ensemble des pixels de l’image à reconstruire. Les coefficients qui décrivent la contribution du pixel i à la raie de projection j sont stockés dans une matrice R. Le système à résoudre s’écrit alors simplement p=Rf. La résolution de ce système consiste donc à inverser ce système, c’est à dire à estimer f à partir de R et p. p1 p2 p3 p4 r r14 r r44 f1 f2 f3 f4 p = R f = CEA/SHFJ

67 Résolution du problème inverse
p = R f f0 p p vs p f1 p = R f correction comparaison Du fait de la taille du système à résoudre, la résolution se fait de manière itérative, d’où le nom d’algorithmes de reconstruction itérative. Le principe est le suivant. On part d’une estimation initiale de l’objet à reconstruire, par exemple une distribution d’activité constante. Pour cette distribution d’activité, on calcule les projections correspondantes. Ces projections sont ensuite comparées aux projections effectivement acquises, et à partir de cette comparaison, on déduit un terme de correctif qui permet d’estimer une nouvelle distribution d’activité, si possible plus compatible avec les projections observées. On réitère ce processus jusqu’à ce que les projections obtenues à partir de la distribution d’activité estimée soient suffisamment proches des projections acquises. EM Gradient Conjugué CEA/SHFJ

68 Algorithmes de reconstruction itérative
EM (Expectation Maximization) Gradient Conjugué fn+1 = fn Rt R fn p fn+1 = fn + n dn Il existe schématiquement deux grandes classes d’algorithmes de reconstruction itérative. Les algorithmes reposant sur une maximisation de la vraisemblance et ceux reposant sur des approches de gradient conjugué. Ces deux types d’algorithmes se distinguent par la façon dont on corrige la distribution d’activité en fonction des écarts observés entre la distribution d’activité estimée à partir du modèle et les données acquises. Les algorithmes qui reposent sur une maximisation de la vraisemblance effectuent une correction multiplicative : à chaque itération, l’estimation d’activité est multipliée par un facteur correctif pour obtenir une nouvelle estimation. Ces algorithmes ont l’avantage de fournir une solution toujours positive, ce qui est conforme à la physique puisque ce sont des nombres de photons que l’on cherche à reconstruire. Ils ont l’inconvénient d’être relativement longs à exécuter. Cependant, des techniques d’accélération existent et permettent leur utilisation en routine clinique. Les algorithmes de gradient conjugué effectuent une correction additive. A chaque itération, on ajoute un terme à l’estimée précédente, terme choisi de sorte qu’il minimise cette quantité quadratique. solution positive convergence lente || p - R f ||2 CEA/SHFJ