Mathématiques SN Les VECTEURS Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN Les VECTEURS Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Vecteur AB Notions de vecteur Notions de vecteur Mathématiques SN - Les VECTEURS - A) Définitions Cest une quantité (ou scalaire) ayant : une grandeur (ex.: 4 cm) une grandeur (ex.: 4 cm) une direction (ex.: 32 o ) une direction (ex.: 32 o ) un sens (flèche A vers B) un sens (flèche A vers B) A B 4 cm 32 o

3 Scalaire = nombre Scalaire = nombre Orientation = Direction + Sens Orientation = Direction + Sens A B 330 o Vecteurs… Vecteurs… Égaux (ou équipollents) : Égaux (ou équipollents) : Même grandeur, direction et sens. Nul : Nul : Grandeur 0. Noté O. Opposés à AB est BA (ou – AB ) Opposés à AB est BA (ou – AB )

4 B) Dans le plan cartésien (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) v Composante horizontale Composanteverticale x 2 – x 1 = x y 2 – y 1 = y v = ( x, y )

5 (2, 1) (8, 6) v + 6 + 5 v = ( 6, 5 ) Exemple #1 : (2, 8) (6, 3) w + 4 - 5 w = ( 4, - 5 ) Exemple #2 :

6 Norme = Grandeur du vecteur (toujours positif) Norme = Grandeur du vecteur (toujours positif) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) v x y || v || 2 = ( x) 2 + ( y) 2 Par Pythagore : || v || = ( x) 2 + ( y) 2

7 Vecteur unitaire : Vecteur unitaire : || v || = 1 Vecteur nul : Vecteur nul : || v || = 0 ( O ) (1, 3) (11, 6) v + 10 + 3 v = ( 10, 3 ) Exemple #3 : || v || = ( x) 2 + ( y) 2 || v || = (10) 2 + (3) 2 || v || 10,44 10,44

8 Relations entre 2 vecteurs Relations entre 2 vecteurs Mathématiques SN - Les VECTEURS - A) Vecteurs orthogonaux Orthogonaux = perpendiculaires Ex. : v u

9 B) Vecteurs colinéaires (ou linéairement indépendant) Colinéaires = parallèles Ex. : u (peu importe le sens et la grandeur) v C) Vecteurs opposés Même grandeur et direction Même grandeur et direction Sens contraire Sens contraire Ex. : u AB v DC AB est opposé à CD On note - v opposé à v - AB ou BA est opposé à AB Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)

10 Projection dun vecteur Projection dun vecteur Mathématiques SN - Les VECTEURS - La projection orthogonale du vecteur La projection orthogonale du vecteur AB sur la droite d est le vecteur AB A B d B est le projeté orthogonal de B sur la droite d B est le projeté orthogonal de B sur la droite d B

11 Ex. : A B 110 o d B Calculer la norme du vecteur obtenu par la projection du vecteur v sur la droite d. ||v|| = 50 Mesure de BAB ( ) Mesure de BAB ( ) 180 o – 110 o = 70 o Mesure de la projection Mesure de la projection orthogonale de v sur d orthogonale de v sur d (vecteur AB) (vecteur AB) cos = mesure du côté adjacent mesure de lhypothénuse = 50 || AB || cos 70 o || AB || 17,1 Réponse : Environ 17,1

12 Opérations sur les vecteurs Opérations sur les vecteurs Mathématiques SN - Les VECTEURS - A) Somme Méthode du triangle Ex. : v u v u v v u +

13 Méthode du parallélogramme Ex. : v u v u v v u +

14 + 3 Dans un plan cartésien Ex. : A (-3, 1) B (1, 3) + 4 + 2 C (4, -4) - 7 + 7 - 5 AB = (4, 2) BC = (3, -7) AB + BC = (4, 2) (3, -7) + = (4 + 3, 2 + -7) = (7, -5) AB + BC = AC Relation de CHASLES

15 B) Différence Méthode du triangle Ex. : v u v u v v u – Transformer en SOMME -v v u – = -v u + Dans un plan cartésien Ex. : Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7). AB –BC =+ AB (- BC) =+ (4, 2) (-3, 7) = (1, 9) Si BC = (3, -7) - BC = (-3, 7)

16 C) Calcul de la norme de la résultante (vecteur somme) Ex. : u v v u + Si : ||u|| = 5 cm ||v|| = 6 cm = 140 o = 140 o Calculer || u + v ||. * Rappel : Loi des COSINUS a b c c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos Donc : || u + v || 2 = ||u|| 2 + ||v|| 2 – 2 ||u|| ||v|| cos || u + v || 2 = ||u|| 2 + ||v|| 2 – 2 ||u|| ||v|| cos = 5 2 + 6 2 – 2 (5) (6) cos 140 o 106,96 106,96 || u + v || 10,34 cm

17 +1 D) Produit : Scalaire X Vecteur Soit v = (a, b) et k un scalaire, Alors kv = k(a, b) = (ka, kb). Ex. #1 : Si v = (3, 7) et k = 4, calculer kv. 4v = 4(3, 7) = (12, 28) = (4 x 3, 4 x 7) Ex. #2 : Si u = (1, 2) et k = 3, calculer ||ku||. u +2 3u = 3(1, 2) = (3, 6) u +1 +2 u +1 +6 +3 +2 Donc k ||u|| = ||ku|| Calculons ||u|| : ||u|| = (1) 2 + (2) 2 = 5 Calculons ||3u|| : ||3u|| = 3 5

18 Ex. #3 : Trouver les composantes de 2v + 3w. (-3, 1) (-2, 3) (1, 1) (2, 1) v = (1, 2) w = (1, 0) v w 2v2v2v2v = (2, 4) 3w3w3w3w = (3, 0) + = (2, 4) (3, 0) + = (5, 4) 2v2v2v2v 3w3w3w3w

19 E) Produit : Vecteur X Vecteur (produit scalaire) Avec les COMPOSANTES : Si u = (a, b) et v = (c, d), alors u v = ac + bd Avec les NORMES : u v = ||u|| ||v|| cos u v = ||u|| ||v|| cos v u v

20 45 o 45 o Ex. : Trouver le produit scalaire de u et v si : u v u = (2, 3) v = (5, 1) = 45 o = 45 o v Avec les COMPOSANTES : u v = (2, 3) (5, 1) = (2 x 5) + (3 x 1) = 10 + 3 = 13 Avec les NORMES : u v = ||u|| ||v|| cos u v = ||u|| ||v|| cos ||u|| = (2) 2 + (3) 2 = 13 ||v|| = (5) 2 + (1) 2 = 26 u v = ||u|| ||v|| cos u v = ||u|| ||v|| cos = 13 13 26 cos (45 o ) = 13 Si u v, alors u v = 0 Note importante : (car = 90 o et cos (90 o ) = 0 )

21 F) Propriétés des opérations sur les vecteurs Addition commutative Addition commutative + = u v +v u Addition associative Addition associative + = u v + w +u v + w ( ) Distributivité de Scalaire X Vecteur Distributivité de Scalaire X Vecteur + = u v k ( ) +u k vk vk vk v k Addition de vecteurs opposés Addition de vecteurs opposés + = AB (-AB) O =BA (-AB) et

22 F) Propriétés des opérations sur les vecteurs Relation de Chasles Relation de Chasles Ex. #1 : AB + BC = AD + CD Ex. #2 : AB + EF = – DC – ED – CB AB + EF + CD + DE + BC = AB + BC + CD + DE + EF = AF

23 F) Propriétés des opérations sur les vecteurs Vecteurs colinéaires Vecteurs colinéaires Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier lun deux par un scalaire pour trouver lautre. Soit u et v colinéaires, alors u = kv ou v = ku, où k est un scalaire. Ex. #2 : Est-ce que u et v sont colinéaires si : u v u = (2, 3) v = (5, 1) +2 +3 +5 +1 Ex. #1 : Est-ce que u et v sont colinéaires si : u v u = (2, 3) v = (4, 6) +2 +3 +4 +6 v = kukukuku (4, 6) = k(2, 3) (4, 6) = 2(2, 3) v = 2u2u2u2u u et v sont colinéaires v = kukukuku (5, 1) = k(2, 3) k ne peut pas avoir de valeur u et v ne sont pas colinéaires

24 Combinaisons linéaires Combinaisons linéaires Mathématiques SN - Les VECTEURS - Définition : Définir un vecteur en utilisant dautres vecteurs prédéfinis (comme une somme vectorielle). u v Ex. #1 : Définir le vecteur w comme une combinaison linéaire des vecteurs u et v. v u w v + = 2u2u2u2u 3v3v3v3vw Réponse : Donc, 2u + 3v est une combinaison linéaire de u et v.

25 Ex. #2 : Quelle est la valeur de a dans la combinaison linéaire w = au + 1v si : u = (1, 1) v = (1, 2) w = (3, 4) + = auauauau 1vw = a(1, 1) + 1(1, 2) (3, 4) = (1a, 1a) + (1, 2) (3, 4) Comp. horizontales : 3 = a + 1 2 = a Comp. verticales : 4 = a + 2 2 = a a = 2 Réponse : = (a, a) + (1, 2) (3, 4)

26 Ex. #3 : Exprimer r dans une combinaison linéaire de u et v si : u = (1, 2) v = (-2, 0) r = (5, 2) + = auauauau bvbvbvbvr = a(1, 2) + b(-2, 0) (5, 2) = (1a, 2a) + (-2b, 0b) (5, 2) Comp. horizontales : 5 = a + -2b Comp. verticales : 2 = 2a + 0 1 = a = (a, 2a) + (-2b, 0) (5, 2) (1) (2) (2) dans (1) : 5 = 1 + -2b -2 = b Réponse : – = u 2v2v2v2vr

27 Ex. #4 : Exprimer w dans une combinaison linéaire de u et v si : u = (2, -1) v = (-1, 3) w = (-2, 3) + = auauauau bvbvbvbvw = a(2, -1) + b(-1, 3) (-2, 3) = (2a, -1a) + (-1b, 3b) (-2, 3) Comp. horizontales : -2 = 2a – b Comp. verticales : 3 = -a + 3b (1) (2) (1) + 2x(2) : -2 = 2a – b 6 = -2a + 6b (1) 2x(2) + 4 = 0a + 5b 0,8 = b (3) (3) dans (1) : -2 = 2a – 0,8 -0,6 = a Réponse : + = -0,6u 0,8v w

28 Point de partage Point de partage Mathématiques SN - Les VECTEURS - Ex. : Quelles sont les coordonnées dun point P(x, y) qui partage le segment AB dans un rapport de 3 : 2 à partir de A si : A(-3, 8) B(5, -2)

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