Ensembles de nombres R Q’ Q Z N et langage x N x < 5.

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1 Ensembles de nombres R Q’ Q Z N et langage x N x < 5

2 L’être humain crée les outils dont il a besoin.
Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent l’utilisation de différentes sortes de nombres. Les nombres ont donc évolué; au début, ils étaient assez simples mais avec les besoins de plus en plus complexes de l’homme, ils se sont développés et spécialisés. L’homme a donc créé différents ensembles ( différentes familles ) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes. N : les nombres entiers naturels Z : les nombres entiers relatifs Q : les nombres rationnels Q’ : les nombres irrationnels R : les nombres réels

3 Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il existe 10 chiffres : Ces chiffres représentent l’alphabet des nombres. Avec eux, on peut écrire les nombres. Ainsi 145 est un nombre, composé de 3 chiffres soit le 1, le 4 et le 5. 6 est aussi un nombre, composé d’un seul chiffre soit le 6.

4 ∞ N : N les nombres entiers naturels.
Ce sont, dans l’histoire, les premiers nombres à être utilisés. Les hommes de l’époque comptaient ce qu’ils possédaient. 3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc. Ces nombres servent à compter des objets entiers. 2 pommes 5 chaises 9 planètes 500 personnes étoiles Ils sont tous des nombres entiers et positifs. Il débute à 0 et ne se termine jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus. N : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Ils s’étendent jusqu’à l’infini sans jamais l’atteindre. Remarque: Les hommes ont inventé un symbole pour décrire l’infini; ce symbole est le suivant : ∞

5 Sur une droite numérique, on ne peut représenter cet ensemble qu’avec des points.
1 2 3 4 5 6 … ∞ + N Ce dessin symbolise l’ensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à l’intérieur de ce cercle. Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas parti de cette famille.

6 Z : Z les nombres entiers relatifs.
Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations: Exemples: la température: +20 0C et C ne représentent pas le même degré de chaleur. les dettes: quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes $ mais si tu t’achètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à - 50$. L’ensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers ( pas de fractions ni de décimaux); il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs. La famille s’agrandit ! Z N Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Remarque: On note Z l’ensemble des entiers relatifs car c’est un allemand appelé Zahl qui en a parlé le premier.

7 ∞ ∞ Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du 0. 1
1 2 3 4 5 6 … ∞ + ∞ - - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 … Ils ne se terminent jamais s’en allant comme pour les nombres naturels vers l’infini mais l’infini négatif. Comme pour l’ensemble des nombres naturels, on ne peut représenter l’ensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points.

8 Q : Q les nombres rationnels. Comment faire pour représenter :
la moitié d’une pomme, 3 centièmes de seconde, le quart d’une tarte, 5,75 $ Pour ce faire, nous avons besoin d’un nouvel ensemble; cet ensemble regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques. Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … On utilise la lettre Q pour signifier un quotient. Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble: Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0. a b Voyons ce que cela veut dire.

9 Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0.
2 5 2 est un nombre entier a et b sont des nombres entiers: 5 est un nombre entier donc est une fraction donc un nombre rationnel. 2 5 3 4,5 3 est un nombre entier 4,5 n’est pas un nombre entier mais un nombre rationnel donc n’est pas une fraction, c’est un rapport. 3 4,5 b ≠ 0 : en mathématique, la division par 0 n’est pas définie. Exemple: Posons x = 5 et effectuons le produit croisé : 0 x = 5 Cette expression signifie quelle valeur doit-on donner à x, pour que multipliée par 0, l’expression soit égale à 5 ???????????? Un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

10 Voyons maintenant les implications de cette définition.
Les nombres décimaux périodiques étant une autre forme d’écriture des fractions, ils font donc aussi parti de l’ensemble des rationnels. 1 2 = 0,5 7 4 = 1,75 -8 5 = - 1,6 1 3 = 0, Les nombres périodiques sont ceux que l'on peut indéfiniment diviser et dont les décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres. Ainsi, si on effectue la division de , on obtient ceci: 1 3 1 3 Si on continuait la division, elle ne s’arrêterait jamais - 1 , 3 3 3 et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment. - 9 3 est donc la période. 1 - 9 1 - 9 1

11 Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue.
2 7 Exemples: = 0, … 1 17 = 0, … Pour indiquer cette période, on place au-dessus de la période un trait. Ce trait indique que la période se répète indéfiniment. 2 7 = 0, … = 0, 1 17 = 0, … = 0, 1 3 = 0, … = 0, 3 1 3 Attention: = 0, 3 et non = 0, 33 La période est 3 et non 33.

12 Les nombres entiers et les nombres décimaux sont considérés comme des nombres rationnels car, on pourrait dire qu’ils ont une période de 0. Exemples: 7 = 7, 0 = , 0 34,8 = 34,8 0 Bien entendu, on ne l’écrit pas mais il faut s’en souvenir. Les entiers font parti de l’ensemble des rationnels parce qu’ils sont des fractions entières. 8 4 = 2 - 9 3 = - 3 Exemples: Q La famille s’agrandit encore ! Z N Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres.

13 ∞ Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres. 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 1 2 La figure, ci-dessus, veut montrer qu’il y a beaucoup de nombres mais il y en a beaucoup plus que cela. Prenons comme exemple, les nombres que l’on pourrait placer entre 1 et 2. Agrandissons cette distance: 1,0 2,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Plaçons les dixièmes:

14 1,1 1,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et plaçons les centièmes: 1,0 1,1 1,09 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 On pourrait faire la même démarche pour placer les millièmes, puis les dix-millièmes, etc. On pourrait répéter la même démarche jusqu’à l’infini; il y aurait toujours de la place pour des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite. Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres.

15 Q’ : Q’ ~ ℮ les nombres irrationnels
De nouvelles réalités ont forcé l’homme à créer un nouvel ensemble de nombres. Lorsqu’on étudie les côtés d’un triangle, la circonférence d’un cercle ou encore en calculant des intérêts bancaires, nous devons travaillé avec des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels. Q’ : 2 3 5 ~ ℮ 1 + , … Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier. 1 Exemple: Voici un triangle rectangle de 1 unité de côté. L’hypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit: a2 + b2 c = donc c = c = 2

16 ~ ~ Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant:
≈ 1, … Ce nombre est un nombre décimal non-périodique; la partie décimale est infinie et on ne retrouve aucune période. Le même problème se pose avec : ~ ~ ≈ 3, … Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations. Les nombres irrationnels sont donc des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique. Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

17 ∞ Prenons l’exemple de la racine carrée de 2: 2
1, … ≈ Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42 2,1 ≈ et 1, … Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45 Ainsi, en calculant les racines des différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique. 1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - Attention: Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels. 4 = ± 2 donc des nombres entiers.

18 R Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels: R Q’ Q Z N est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs L’ensemble des nombres entiers naturels qui lui est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui, à son tour est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On pourrait aussi écrire ce même paragraphe à l’aide du langage mathématique. en mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ». donc N Z Q R L’ensemble des nombres irrationnels est à part mais il est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

19 R Q’ Q Z N Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire. Ce symbole est celui qui sert à décrire l’union entre 2 ou plusieurs ensembles: donc R = Q Q’ Les mathématiciens ont inventé des codes mathématiques pour pouvoir décrire des phénomènes qui, en français, seraient trop longs à écrire. Apprendre ce langage est, au début, difficile mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique.

20 Il existe un dernier ensemble de nombre qui n’est pas étudié au secondaire.
Il s’appelle l’ensemble des nombres complexes : Ces nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie, et qui sont très utiles en Sciences Physiques pour l’étude des réseaux électriques, ainsi que pour les travaux concernant les courants alternatifs. Exemple: - 4 Dans l’ensemble des nombres réels, n’existe pas. - 4 En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux. = - 4 - 1 X 4 = -1 4 X Ils ont symbolisé par i. - 1 Ainsi = 2 i - 4 Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

21 Nombres et langage < > ≤ ≥
Voyons, maintenant, comment on peut décrire tous ces différents nombres. Il faut apprendre quelques symboles; ceux-ci nous permettent de décrire de très grandes quantités de nombres. Lorsqu’on parle des ensembles de nombres, x représente : « tous les nombres qui nous intéressent » signifie : appartenir à … signifie : tel que ( de telle manière que) < signifie : plus petit que … > signifie : plus grand que … ≤ signifie : plus petit ou égal à … ≥ signifie : plus grand ou égal à … signifie : union ( quand on veut réunir des ensembles )

22 Prenons un exemple: Voici un ensemble ( une liste ) de nombres entiers naturels: 0, 1, 2, 3, 4, 5 Cette écriture est appelée « en extension » car elle énumère plusieurs nombres. On pourrait aussi écrire la même liste comme ceci: x N x ≤ l’ensemble des nombres entiers naturels appartiennent à tous les nombres qui nous intéressent sont plus petits ou égaux à tous les nombres qui nous intéressent de telle manière que 5

23 x N x ≤ 5 Cette forme d’écriture s’appelle « en compréhension ». Probablement parce qu’il faut comprendre ce que cela veut dire. 0, 1, 2, 3, 4, 5 Pour une courte liste de nombres comme C’est un peu long mais si on avait à écrire cette phrase: « Tous les entiers naturels plus petits ou égaux à » L’énumération serait très longue tandis qu’en compréhension: x N x ≤ beaucoup plus rapide !

24 ∞ x N x ≤ 5 La première partie de la phrase
indique avec quel ensemble de nombres, on travaille. Il est important de le mentionner car chaque ensemble possède ses propres caractéristiques. x N x ≤ 2 0, 1, 2 Exemple: = x Z x ≤ 2 … -5, , -2, -1, 0, 1, 2, ∞ - = donc beaucoup plus de nombres !

25 x N x ≤ 5 La deuxième partie de la phrase donne les conditions particulières de la situation. Ainsi, cette situation ne comporte pas tous les nombres entiers naturels mais seulement ceux qui sont plus petits ou égaux à x. 0, 1, 2, 3, 4, 5 soit

26 < > ≤ ≥ < Remarques importantes sur les 4 symboles:
En utilisant l’ensemble des entiers naturels, regardons des détails importants sur ces symboles. < la pointe signifie plus petit que l’ouverture signifie plus grand que ainsi x < 5 se lit x est plus petit que 5; et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

27 < ≤ > ≥ signifie : plus petit que …
ce qui exclut le nombre de référence. 0, 1, 2, 3, Exemple: x < 4 signifie ≤ signifie : plus petit ou égal à … ce qui inclut le nombre de référence. 0, 1, 2, 3, 4 Exemple: x ≤ 4 signifie > signifie : plus grand que … ce qui exclut le nombre de référence. 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple: x > 6 signifie ≥ signifie : plus grand ou égal à … ce qui inclut le nombre de référence. 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple: x ≥ 6 signifie

28 Comment écrit-on en compréhension ?
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 x N ≤ x ≤ 9 Comme ceci: x est plus grand ou égal à 3 x est plus petit ou égal à 9 et autrement dit x est compris entre les deux. x N < x < 10 On aurait pu aussi écrire:

29 Quelques situations Écris en compréhension, les phrases suivantes: Les entiers naturels plus grands que 27: x N x > 27 Les entiers naturels plus petits ou égaux à 81: x N x ≤ 81 Les entiers relatifs plus petits ou égaux à 81: x Z x ≤ 81 Les entiers relatifs plus grands ou égaux à -20 et plus petits ou égaux à 6: x Z ≤ x ≤ 6

30 Écris en compréhension, les phrases suivantes:
Les entiers naturels plus grands ou égaux à 13 et plus petits que 19: x N ≤ x < 19 Attention 13, 14, 15, 16, 17, 18 c’est-à-dire : Toutes les fractions plus grandes que - 1 et plus petites ou égales à 2: x Q < x ≤ 2

31 Écris en extension, les ensembles de nombres suivants.
x N x < 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 On place quelques nombres et on met des … pour indiquer que la suite se poursuit. x N x ≥ 23 : 23, 24, 25, 26, … x Z < x ≤ 2 : -2, -1, 0, 1, 2 x Q ≤ x ≤ 6 : impossible d’en faire une énumération , il y en a une infinité. Remarque: On ne peut pas décrire en extension les ensembles Q, Q’ et R car il y a une infinité de nombres qui les composent. Cependant l’écriture en compréhension permet de les écrire.

32 R : les nombres réels L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’ . Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. Les mathématiciens ont donc trouvé de nouvelles façons pour décrire les nombres réels: la droite numérique: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 les intervalles: , , , ,

33 ∞ ∞ La droite numérique:
On sait que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci. x N ≤ x ≤ 6 pour Exemple: on aura ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 x R ≤ x ≤ 6 pour on aura ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Ce trait plein symbolise tous les nombres entre 1 et 6.

34 ∞ ∞ Voici quelques exemples: x R -2 ≤ x ≤ 5 - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5
1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5. Remarque: est équivalent à ≤ ou ≥ est équivalent à < ou > x R < x ≤ 5 2 exclu 5 inclus ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusqu’à 5.

35 ∞ ∞ x R -2 < x < 5 - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de 5. x R ≤ x < 5 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5.

36 ∞ ∞ ∞ Sur la droite numérique, représente: x R x ≥ 1 - 1 2 3 4 5 6 … +
1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 On prolonge le trait au-delà de la droite numérique pour indiquer que l’ensemble se dirige vers ∞ x R x < -2 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Remarque: Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite.

37 ∞ Les intervalles , Les intervalles sont représentés par des crochets:
Ces symboles ne sont utilisés qu’avec les nombres réels. Ils représentent, comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres en question. Exemple: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles, on écrit: 1 , 6 Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6.

38 ∞ ∞ Les crochets peuvent être ouverts ou fermés ,
selon la situation à représenter. Exemples: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 . L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 2 exclu 5 inclus L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusqu’à 5.

39 ∞ ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles
1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de 5. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5.

40 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles 1 , + ∞ Remarque: Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec l’infini, d’autres n’en mettent pas. 1 , + ∞ 1 , + ∞ les deux manières sont bonnes mais il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur l’infini. 1 , + ∞ Cela voudrait dire que l’on a atteint l’infini ce qui est impossible.

41 Remarque: Comme sur la droite numérique, les nombres se suivent du plus petits vers le plus grand (de la gauche vers la droite), on doit respecter le même ordre avec les intervalles. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 , -1 ∞ - -1 , ∞ - s’écrit en intervalles et non Attention: les symboles suivants ne signifient pas la même chose: , sont des crochets pour parler d’intervalles; sont des accolades pour énumérer une ou des réponses; ( , ) sont des parenthèses pour représenter un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

42 On peut donc représenter un ensemble de nombres dans l’ensemble des nombres réels de trois manières différentes. Exemple: x R ≤ x < 3 En compréhension : Sur la droite numérique: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles: -3 , 3

43 ∞ ∞ ∞ ∞ R * - * Particularités
On peut voir les symboles suivants * et - avec les ensembles N, Z, Q, Q’ et R. * signifie qu’on exclut le zéro 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N* : Exemple: + signifie qu’on ne travaille qu’avec la partie positive de l’ensemble ∞ - R : + , 0 , ∞ + Exemple: R+ : - signifie qu’on ne travaille qu’avec la partie négative de l’ensemble R- : ∞ - , Exemple: On peut même avoir R * + : 0 , ∞ + tous les réels positifs sauf 0 Tous ces codages sont utiles à connaître en particulier pour faire l’analyse des fonctions.

44 Exercice 1 En utilisant la droite numérique, l’écriture en intervalles et l’écriture en compréhension, décris les phrases suivantes. Droite numérique En intervalles En compréhension Tous les réels plus petits que 3: 1 2 3 4 - 1 , 3 ∞ - x R x < 3 Tous les réels supérieurs à 100 inclus: 100 100 , ∞ + x R x ≥ 100 Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclus: 5 30 x R 5 ≤ x < 30 5 , 30

45 ∞ ∞ ∞ * * Droite numérique En intervalles En compréhension - + ,
Tous les nombres réels: x R ou R 0 , ∞ + x R x ≥ 0 Tous les nombres réels positifs: ou R+ ou x R+ x R x < 0 ∞ - , 0 Tous les nombres négatifs sauf 0: R- * ou ou x R- *

46 Droite numérique En intervalles En compréhension Tous les nombres entiers compris entre -2 exclu et 3 inclus: 1 2 3 -2 -1 x Z < x ≤ 3 Ne s’applique pas Tous les nombres rationnels compris entre 0 exclu et 2 exclu: Ne s’applique pas x Q 0 < x < 2 Ne s’applique pas Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu : 5 x R 5 < x < 15 5 , 15 ou x R < x < 15 +

47 Exercice 2 Écris en intervalles et en compréhension les représentations numériques suivantes: Droite numérique En intervalles En compréhension -4 -3 -2 -1 , -1 ∞ - x R x ≤ -1 -4 -3 -2 -1 1 2 x R < x ≤ 2 -4 , 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 , , -2 ∞ - + x R x ≤ -2 ou x ≥ 1 ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres. en compréhension « ou » est l’équivalent de pour les intervalles.

48 ∞ ∞ ∞ * * Droite numérique En intervalles En compréhension 0 , + - , 0
0 , ∞ + - , 0 x R x < 0 ou x > 0 R * x ou ou R * -10 -10 , ∞ + x R x ≥ -10 1 2 3 4 4 , , 1 ∞ - + x R x ≤ 1 ou x ≥ 4

49 Droite numérique En intervalles En compréhension y 1 6 5 4 3 2 -1 -2 -3 -4 -5 R -4 < ≤ 5 -4 , 5 y y x Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x et la droite numérique verticale aux valeurs de y ; donc tout ce que nous venons de voir concernant les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles est vrai aussi pour y.

50 Cette présentation a illustré les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire.
Tous les symboles et les phrases énumérés(es) sont les premiers codages du langage mathématique. Bien entendu, ce langage est beaucoup plus vaste. Le langage mathématique est une langue de communication comme la langue française. Un nouveau langage est, au début, un peu difficile à apprendre mais il devient avec le temps comme un réflexe, si on fournit l’effort nécessaire. Tu devrais visionner, de temps en temps, cette présentation afin de développer tranquillement ce réflexe.