K K2 K3.

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1 K K2 K3

2 Ks : le rapport de similitude Ks : le rapport des périmètres (Rp) Ks2 : le rapport des aires (Ra) Ks3 : le rapport des volumes (Rv)

3 noté Ks. Le rapport de similitude est le rapport des segments homologues, Il s’établit comme suit: mesure d’un segment de la figure image mesure du segment homologue de la figure initiale 4 6 A B C 12 8 A’ B’ C’ Exemple : m A’C’ Ks : m A C = = m hauteur  A’B’C’ m hauteur  ABC 12 6 = 8 4 = 2 ou 2 Si 0 < Ks < 1, il s’agit d’une réduction; si Ks > 1, il s’agit d’un agrandissement.

4 Rapport des périmètres
Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Rp = Ks A B C D 6 cm 10 cm A’ B’ C’ D’ 3 cm 5 cm Exemple: m A’B’ m AB = 3 6 = 1 2 Périmètre A’B’C’D’ Périmètre ABCD = 16 32 = 1 2 Ks = Rp =

5 Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré Ra = Ks 2 A B C D 6 cm 10 cm A’ B’ C’ D’ 3 cm 5 cm Exemple: 1 2 1 2 Aire A’B’C’D’ Aire ABCD = 15 60 = 1 4 Ks = Ra = soit

6 Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube Rv = Ks3 10 cm 6 cm 4 cm Prisme 1 3 cm 5 cm 2 cm Prisme 2 Exemple: 1 2 3 1 2 Volume du prisme 2 Volume du prisme 1 = 240 30 = 1 8 Ks = Rv = soit

7 a b c d = Ces 4 rapports Ks : le rapport de similitude Ks :
le rapport des périmètres (Rp) Ks2 : le rapport des aires (Ra) Ks3 : le rapport des volumes (Rv) permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions. a b c d =

8 Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.
34 A B C D E 20 40 30 14 m GI m AC = 20 34 = 10 17 Ks = = 30 x 10 17 x = 30 X 17 10 m GH : x = 51 = 40 x 10 17 x = 40 X 17 10 m IH : x = 68 = 14 x 10 17 x = 14 X 17 10 m LH : x = 23,8

9 Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.
34 A B C D E 20 40 30 14 m AC m GI = 20 34 = 10 17 Ks = Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( ) = 100 Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Périmètre ABCD Périmètre GHIK : = 100 x 10 17 x = 100 X 17 10 x = 170

10 Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.
34 A B C D E 20 40 30 14 Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 10 17 Ks = Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires 10 17 2 = 100 289 Aire GHIK Aire ABCD : = 420 x 100 289 x = 420 X 289 100 x ≈ 1213,8

11 Problème 4 : Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm2, détermine le volume du gros cylindre. 9 Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur X = 200 cm3 4 Ks = 4 9 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes 4 9 3 = 64 729 Volume du grand Volume du petit : = 200 x 64 729 x = 200 X 729 64 x ≈ 2278,1 cm3

12 Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Rapport des périmètres : 2 3 Périmètre du petit Périmètre du grand : = x 54 2 3 x = 54 X 2 3 x = 36 cm

13 Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm2 et de 45 cm2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? L’information fournie est le rapport des aires et on demande la mesure d’un segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ). 20 45 20 ÷ 5 45 ÷ 5 = 9 4 Ra : donc K : 9 4 = 3 2 Petite hauteur Grande hauteur : = 16 x 2 3 x = 3 X 16 2 x = 24 cm

14 Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? 1600 3125 1600 ÷ 25 3125 ÷ 25 = 64 125 Rv : 125 64 3 = 5 4 K = 5 4 2 = 16 25 Ra : K2 =

15 Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. Aire totale : 126,72 cm2 6 2 4 Aire totale : 88 cm2 Volume du petit prisme : L X l X H = 6 X 2 X 4 = 48 cm3 88 126,72 Ra : Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. Il faudrait donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

16 Ra : 88 126,72 Ce rapport peut-être utilisé de plusieurs façons: 88 126,72 X 100 = 8800 12672 Démarche 1: Décomposition en facteurs: X 100 8800 12672 100 88 792 16 4 22 10 99 4 8 2 11 5 2 3 33 4 11 3 2 8800 12672 = 27 X 32 X 11 25 X 52 X 11 = 52 22 X 32 = 25 36

17 25 36 = et K3 : 5 6 3 = Ra : 25 36 5 6 125 216 donc K : 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Volume : 48 cm3 Aire totale : 126,72 cm2 Volume du petit prisme Volume du grand prisme : = 48 x 125 216 x = 125 48 X 216 x ≈ 82,94 cm3

18 ≈ 0.8333 Ra : 88 126,72 si 88 126,72 Démarche 2 : alors K :
Avec la calculatrice : 2nd ( 88 ÷ 126,72 ) ≈ 4 chiffres après la virgule pour de la précision. mesure d’un segment du petit prisme mesure du segment homologue du gros prisme K : ≈ 0.8333 1 Ce rapport signifie que les mesures des segments du petit prisme valent 0,8333 par rapport aux mesures des segments du gros prisme qui, eux, valent 1.

19 0.8333 1 K = donc Kv = 3 ≈ 0,5786 ou 0,5786 1 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Volume : 48 cm3 Aire totale : 126,72 cm2 Volume du petit prisme Volume du grand prisme : = 48 x 0,5786 1 x = 0,5786 48 X 1 x ≈ 82,96 cm3

20 Ra : 88 126,72 si Démarche 3 : alors K : 88 126,72 ou 126,72 88 et K3 : 126,72 88 3 = 88 1 2 126,72 3 = 88 3 2 126,72 88 3 2 126,72 48 X 126,72 3 2 88 x = Volume du petit prisme Volume du grand prisme : = 48 x Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) ≈ 82,94 cm3

21 Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables
Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables. Détermine les mesures ( cm ) des segments BC et CD. 3 5 A B C D E 18 K : m AB m ED = 3 5 Posons x pour représenter la mesure du segment BC. Le segment CD peut alors être représenté par ( 18 – x ). x ( 18 – x ) La proportion peut maintenant être établie: m AB m ED m BC m CD = = 3 5 x ( 18 – x ) 3 ( 18 – x ) = 5x 54 – 3x = 5x 54 = 8x x = 6,75 cm m BC = 6,75 cm m CD = ( 18 – x ) = 18 – 6,75 = 11,25 cm

22 Problème 10 : Déterminer la mesure ( m ) du segment AB.
K = m BE m CD = = 90 150 3 5 90 m A B 150 m 75 m C E D x Posons x pour représenter le segment AB. La proportion peut maintenant être établie: m BE m CD m AB m AC = = 3 5 x ( 75 + x ) 3 ( 75 + x ) = 5x x = 5x 225 = 2x x = 112,5 m

23 Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.
Problème 11 : Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d ’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou. Echelle 3/2 Echelle 1/2 K = 1 2 1 8 K3 = K = 3 2 27 8 K3 = Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 1 8 = x 160 Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 27 8 = x 160 x = 20 mg x = 540 mg

24 Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou.
Problème 12 : Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou. Echelle 3/2 Echelle 1/2 K = 1 2 1 4 K2 = K = 3 2 9 4 K2 = Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 1 4 = x Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 9 4 = x x = 1 mg x = 9 mg

25 Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures d’aires : K2 - pour trouver des mesures de volumes : K3 2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.