Les changements de numéraire dans la tarification d’options

Présentation au sujet: "Les changements de numéraire dans la tarification d’options"— Transcription de la présentation:

1 Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Promoteur Pierre Devolder Benjamin Pajot Juin 2010

2 De nombreuses options existent sur le marché

3 Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise
Achat au prix minimum en T0 ou en T1 Ristourne de (1-ρ) % Pay-off :

4 La tarification d’une telle option
n’est pas toujours simple, à priori

5 Une solution analytique du prix est toujours préférable
Rapidité et facilité d’implémentation Calcul explicite de la sensibilité Evaluation de l’influence des paramètres

6 La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages
Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques

7 Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

8 Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

9 Le marché peut se modéliser mathématiquement
Espace de probabilité Intervalle de temps Actifs S0, S1, … SN Sous P : Terme de diffusion Terme de tendance

10 Un numéraire est un étalon de valeurs
Bien matériel / virtuel de référence (monnaie, action, indice, … ) Actif négociable Processus numéraire S0

11 Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier
Exemple Numéraire S1 : Numéraire S2 : Marché normalisé

12 La théorie de l’arbitrage est gouvernée
par le premier théorème fondamental Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.) si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0 Martingales sous Q0

13 Une option doit être tarifée
grâce à la formule de tarification générale Pay-off stochastique Marché A.O.A. Numéraire S0

14 Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option
Numéraire S1 Numéraire

15 Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

16 Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn
Espace de probabilité Théorème de Radon-Nikodyn

17 Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique
Hypothèses : Filtration Noyau de Girsanov

18 Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure
Terme de diffusion Terme de tendance

19 La mesure martingale risque-neutre est
un cas particulier de changements de mesure = 0

20 Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables
= 0

21 Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

22 La technique de changements de numéraires
va permettre la tarification de l’option 22

23 Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif
S(T0) n’est pas un actif négociable en T1 S0(t) est un actif négociable en T1 Pay-off

24 La dynamique des deux actifs sous-jacents
est connue sous la mesure risque-neutre Dynamique de S sous Q Dynamique de S0 sous Q

25 L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification
Prix de l’option

26 La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire
Dynamique de S/S0 sous Q0

27 Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S
Prix de l’option ESOP

28 Tant que S(T0) n’est pas connu
la volatilité du prix de l’option est faible

29 Tant que S(T0) n’est pas connu
la volatilité du prix de l’option est faible

30 Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile
Prix de l’option ESOP

31 Comme la valeur S(T0) est connue
la volatilité de l’option devient plus forte

32 Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0

33 Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification
Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques Restent méconnus à l’heure actuelle