chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.

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1 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume.

2 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Exemples : quelle est l’ambiguïté ?

3 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Exemples : est-ce un cercle ou une sphère ? est-ce un carré ou un cube ?

4 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Exemple : est-ce un carré ? Peut-être, mais cela peut être un cube dont une face ( 2 dimensions ) est vue à plat, la 3ème dimension est alors ...

5 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Exemple : est-ce un carré ? Peut-être, mais cela peut être un cube dont une face ( 2 dimensions ) est vue à plat, la 3ème dimension est alors non vue ( une droite vue selon son axe est vue comme un point ). y x Il faut qu’aucun des axes ne soient vus selon eux-mêmes. z

6 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd )

7 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° °

8 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° °

9 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat arêtes cachées en pointillés

10 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat arêtes cachées en pointillés

11 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées en pointillés

12 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées en pointillés

13 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées le cube semble allongé en pointillés

14 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées le cube semble allongé : on applique sur en pointillés la fuyante un coeff. de réduction de 0,5

15 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées le cube semble allongé : on applique sur en pointillés la fuyante un coeff. de réduction de 0,5

16 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. perspective isométrique perspective cavalière ( au programme de 2nd ) 120° ° On commence par une vue à plat Le 3ème axe est appelé la fuyante arêtes cachées Le cube semble allongé : on applique sur en pointillés la fuyante un coeff. de réduction de 0,5 On complète par les arêtes cachées.

17 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Remarque : perspective cavalière la perspective cavalière n’est pas … ° On commence par une vue à plat le 3ème axe est appelé la fuyante le cube semble allongé : on applique sur la fuyante un coeff. de réduction de 0,5 On complète par les arêtes cachées.

18 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Remarque : perspective cavalière la perspective cavalière n’est pas réaliste : ° On commence par une vue à plat si l’on voit une face à plat, le 3ème axe est appelé la fuyante … le cube semble allongé : on applique sur la fuyante un coeff. de réduction de 0,5 On complète par les arêtes cachées.

19 chapitre 10 : La Géométrie dans l’Espace.
I Les perspectives : But : représenter sur une surface plane ( en 2 dimensions ) un objet ayant 3 dimensions, sans perdre l’information que c’est un volume. Remarque : perspective cavalière la perspective cavalière n’est pas réaliste : ° On commence par une vue à plat si l’on voit une face à plat, le 3ème axe est appelé la fuyante d’autres devraient être vues le cube semble allongé : on applique sur de côté comme des segments la fuyante un coeff. de réduction de 0,5 On complète par les arêtes cachées.

20 Application : tracez les perspectives cavalières, à l’échelle 3, du cube de côté 1 cm, selon les vues suivantes : 1°) cube vu de dessus et de la droite. 2°) cube vu de dessus et de la gauche. 3°) cube vu de dessous et de la gauche. 4°) cube vu de dessous et de la droite. Méthode : vue à plat + fuyantes ( 45° et coeff. réduction ) + on complète ( arêtes vues et cachées ).

21 Sur le papier, le côté du cube mesurera : …
Application : tracez les perspectives cavalières, à l’échelle 3, du cube de côté 1 cm, selon les vues suivantes : 1°) cube vu de dessus et de la droite. 2°) cube vu de dessus et de la gauche. 3°) cube vu de dessous et de la gauche. 4°) cube vu de dessous et de la droite. Sur le papier, le côté du cube mesurera : … Sur la fuyante il mesurera : …

22 Sur le papier, le côté du cube mesurera : 1 × échelle = 1 × 3 = 3 cm
Application : tracez les perspectives cavalières, à l’échelle 3, du cube de côté 1 cm, selon les vues suivantes : 1°) cube vu de dessus et de la droite. 2°) cube vu de dessus et de la gauche. 3°) cube vu de dessous et de la gauche. 4°) cube vu de dessous et de la droite. Sur le papier, le côté du cube mesurera : 1 × échelle = 1 × 3 = 3 cm Sur la fuyante il mesurera : 3 × coeff. de réduction = 3 × 0,5 = 1,5 cm

23 1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche
1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche. vues 3 cm à plat 3°) vu de dessous et de la gauche. 4°) vu de dessous et de la droite.

24 1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche
1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche. fuyantes 1,5 cm 3°) vu de dessous et de la gauche. 4°) vu de dessous et de la droite.

25 1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche
1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche. on complète 3°) vu de dessous et de la gauche. 4°) vu de dessous et de la droite.

26 1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche
1°) vu de dessus et de la droite. 2°) vu de dessus et de la gauche. on complète 3°) vu de dessous et de la gauche. 4°) vu de dessous et de la droite.

27 Pour ceux qui n’arrive pas à voir sur leur feuille plate les volumes :

28 Pour ceux qui n’arrive pas à voir sur leur feuille plate les volumes : il faut utiliser un trait plus fin pour les arêtes cachées notre cube n’est pas un cube transparent ou un cube en fil de fer !

29 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide.

30 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir …

31 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles

32 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides …

33 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple …

34 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple la sphère.

35 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple la sphère. Exemples de patrons : le cylindre

36 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple la sphère. Exemples de patrons : le cylindre

37 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple la sphère. Exemples de patrons : le cylindre h R

38 II Le patron d’un solide
C’est la mise à plat des surfaces latérales d’un solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons ; exemple : le cube et des patrons possibles Certains solides n’ont pas de patron : exemple la sphère. Exemples de patrons : le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

39 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

40 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

41 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution h R le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

42 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution cercle de rayon R secteur h angulaire R le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

43 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution cercle de rayon R secteur h angulaire rayon a = ? R le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

44 le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R
le cône de révolution cercle de rayon R secteur h angulaire h² + R² = a² rayon a R le cylindre h un rectangle h × (2πR) R et deux cercles de rayon R

45 le cône de révolution cercle de rayon R secteur h angulaire h² + R² = a² rayon a R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres :

46 = = qui permet d’en déduire b
le cône de révolution a cercle de rayon R secteur h angulaire h² + R² = a² b rayon a R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres : longueur de l’arc πa πR = = qui permet d’en déduire b mesure de l’angle ° b en ayant obtenu a avec h² + R² = a²

47 Application : Déterminez le patron d’un cône de révolution de hauteur 20 cm et de base de rayon 10 cm ( dimensions du patron à déterminer en valeurs approchées ). Tracez-le ensuite à l’échelle ¼.

48 donc a = √500 valeur exacte. a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée.
le cône de révolution a cercle de rayon R secteur h angulaire b rayon a R a² = h² + R² = 20² + 10² = 500 donc a = √500 valeur exacte a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée.

49 donc a = √500 valeur exacte. a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée.
le cône de révolution a cercle de rayon R secteur h angulaire b rayon a R a² = h² + R² = 20² + 10² = 500 donc a = √500 valeur exacte a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée. ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4

50 donc a = √500 valeur exacte. a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée.
le cône de révolution a cercle de rayon R secteur h angulaire rayon a ouverture b R a² = h² + R² = 20² + 10² = 500 donc a = √500 valeur exacte a ≈ 22,4 (cm) valeur approchée. ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4

51 a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur
le cône de révolution a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur donc a = √500 ≈ 22,4 cm h angulaire rayon a ouverture b R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres : 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4 proportionnalité entre les angles et aires : πa² A = A = … 360° b

52 a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur
le cône de révolution a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur donc a = √500 ≈ 22,4 cm h angulaire rayon a ouverture b R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres : 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4 proportionnalité entre les angles et aires : πa² A b = A = × πa² = … × πa² 360° b

53 a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur
le cône de révolution a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur donc a = √500 ≈ 22,4 cm h angulaire rayon a ouverture b R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres : 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4 proportionnalité entre les angles et aires : πa² A b πR = A = × πa² = × πa² = πRa ≈ … 360° b πa

54 a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur
le cône de révolution a² = h² + R² = 20² + 10² a cercle de rayon R secteur donc a = √500 ≈ 22,4 cm h angulaire rayon a ouverture b R ouverture angulaire b proportionnalité entre les angles et les périmètres : 2πa πR R = b = × 360 ≈ × 360 ≈ 161,0° 360° b a ,4 proportionnalité entre les angles et aires : πa² A b πR = A = × πa² = × πa² = πRa ≈ π×10×22,4 ≈ 703,7 cm² 360° b πa

55 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

56 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

57 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

58 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

59 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

60 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

61 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

62 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

63 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

64 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

65 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

66 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

67 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

68 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

69 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

70 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :

71 Exercice : Complétez les perspectives cavalières ( sans les arêtes cachées ) du cube aux faces comportant des lettres, et dont on donne le patron :