Théorie… Inférence statistique: étude du comportement d’une population ou d’un caractère X des membres d’une population à partir d’un échantillon aléatoire.

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1 Théorie… Inférence statistique: étude du comportement d’une population ou d’un caractère X des membres d’une population à partir d’un échantillon aléatoire simple de taille n prélevé de cette population. E( )= V( ) avec remise sans remise

2 Théorie… (suite) Cas 1: Population normale et variance connue OU
Population non normale et n>30 et variance connue

3 Théorie… (suite) Cas 2: Population normale ou non et variance inconnue et n>30 * Grâce au théorème central limite

4 Théorie… (suite) Cas 3: p est une variable de Bernouilli B(1,p)
Population infinie Population finie

5 Exercice 1 Le poids des contenants de poudre à laver se distribue normalement selon une loi normale de moyenne 5,2 kg et d’écart type 0,4 kg: X  N (5.2 , 0.4²) On prétend que le poids minimum des contenants est de 5 kg. On prélève un échantillon aléatoire (avec remise) de 16 contenants: n=16

6 Déterminons d’abord la distribution de probabilité de :
1. a) Quelle est la probabilité pour que la moyenne des poids des contenants dans cet échantillon excède ce poids minimum de 5 kg ? On cherche Déterminons d’abord la distribution de probabilité de : Cas 1 (acétate #3):  N (5.2 , 0.4²/16)

7 1. a) (suite) Ainsi,

8 Exercice 1 b) Si 20 % des contenants sont classés de catégorie inférieure à cause d’imperfections superficielles, quelle est approximativement la probabilité pour que le pourcentage observé de contenants classés de catégorie inférieur dans un échantillon aléatoire de 100 contenants se situe à moins de 5 % du pourcentage de la population ?

9 Exercice 1 b) (suite) P = proportion de la population P  Bi (1; 0,20)
Cas 3 (acétate #5):

10 Exercice 1 b) (suite) On cherche Ainsi on obtiendra:

11 Exercice 2 Un processus de production est vérifié périodiquement par un inspecteur du contrôle de la qualité. L’inspecteur sélectionne des échantillons aléatoires simples de 30 produits finis et calcule la moyenne d’échantillon des poids des produits. Les résultats de test sur une longue période révèlent que 5 % des valeurs sont supérieures à 2,1 livres et que 5 % sont inférieures à 1,9 livres.

12 2. Quels sont la moyenne et l’écart type pour la population des produits fabriqués par ce procédé ?
D’après la donnée du problème, nous sommes en mesure de tracer la représentation graphique ci haut.

13 Exercice 2 (suite) On cherche à estimer, de façon ponctuelle, la moyenne et l’écart type de la population. Cas 2 (acétate #4): Si nous sommes en mesure de trouver les valeurs de l’espérance mathématique et l’écart type de , il sera très facile de trouver la moyenne et l’écart type de la population.

14 Exercice 2 (suite) Moyenne:
On peut penser que la moyenne sera égale à 2 puisque la distribution est symétrique et que la distance entre la moyenne et 1,9 est la même que la distance entre la moyenne et 2,1. Donc E ( ) = 2.

15 Exercice 2 (suite) Écart type: On sais que: Avec Z=1,645 x=2.1 N = 30
En remplaçant dans l’équation, on obtient: En isolant, on obtient

16 Exercice 2 Donc,  N (2 ; 0,111)