MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES Colloque jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, 03 - 07 mai 2010 Mohamed ACHIBI LSTA (Paris 6) / Snecma (Villaroche)

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1 MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES Colloque jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, 03 - 07 mai 2010 Mohamed ACHIBI LSTA (Paris 6) / Snecma (Villaroche) Directeur de thèse : Michel BRONIATOWSKI

2 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 1 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Plan de lexposé Cadre industriel Modèle de Cox Copules Le modèle développé Conclusions

3 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 2 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Cadre industriel Objectif : modéliser les défauts de dimensionnement, dans le but daméliorer les ddv dans le cadre de la tolérance aux dommages Base de données de défauts de surface relevés en maintenance sur des moteurs, de taille supérieure à un certains critère du manuel de maintenance Sur chaque pièce, on dispose des dimensions (longueur et profondeur) du défaut « le plus grand » ainsi que du nombre de défauts Contexte

4 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 3 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Cadre industriel Base de défauts Pour chaque pièce critique traitée : Découpage de la pièce en macro-zones Identification et caractérisation des défauts Type de défauts Chocs Rayures Dimensionnel du défaut Longueur Profondeur

5 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 4 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle de Cox

6 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 5 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle de Cox Forme générale : : taux de panne de base : vecteur de covariables : vecteur de paramètres Cas univarié

7 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 6 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle de Cox Permet de relier la durée de survie dun patient à plusieurs variables explicatives ou facteurs pronostiques Exprime un effet multiplicatif des diverses covariables sur la fonction de hasard (modèle à structure multiplicative) Conséquences du modèle et hypothèses à vérifier : Risques proportionnels Log-linéarité Cas univarié

8 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 7 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle de Cox Cas bivarié Forme générale : : taux de panne de base : vecteur de covariables où α et β sont les vecteurs de paramètres

9 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 8 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle de Cox Pourquoi le modèle de Cox bivarié ? Supposons les modèles de régression suivants : Cas bivarié

10 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 9 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Les copules

11 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 10 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Quest-ce quune copule? Définition « pratique » : une copule est une fonction de répartition définie sur [0,1] N dont les lois marginales sont égales à la loi uniformes sur [0,1] Définition « technique » : une copule est une fonction C définie sur [0,1] N vérifiant : 1.Pour tout vecteur u ayant au moins une composante nulle, C(u) = 0 2.C est N-croissante Cas où N = 2 : 3.Pour tout vecteur u ayant toutes ses composantes égales à 1, sauf u k, C(u) = u k Définition

12 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 11 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Illustration 01 0 1 Propriété 1 C(u,0)= 0 C(0,v)= 0

13 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 12 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Illustration 01 0 1 Propriété 2 (a 1,b 1 ) (a 1,b 2 )(a 2,b 2 ) (a 2,b 1 )

14 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 13 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Illustration 01 0 1 Propriété 3 C(1,v)= v C(u,1)= u

15 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 14 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Théorème (Sklar, 1959) Soit F une fonction de répartition N-dimensionnelle dont les marges univariées sont F 1, …, F N, alors il existe une copule C telle que : Réciproquement, si C est une copule et F 1, …, F N des lois de probabilité alors C(F 1 (x 1 ), …, F N (x N )) définit bien une loi jointe de marges F 1, …, F N. Si les fonctions de répartitions F 1, …, F N sont continues, alors on peut définir C de manière unique par : Théorème de Sklar

16 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 15 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Exemples

17 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 16 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé

18 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 17 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé Validité du modèle Le modèle (M1) nous permet décrire :M1 fonction de survie ? Définition : HYPOTHESE :

19 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 18 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé Définition 1 : Définition 2 : Définitions

20 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 19 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé Théorèmes : 1. 2. 3. Lhypothèse (H) peut donc se réécrire de la façon suivante : Lien avec les copules

21 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 20 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé Copules archimédiennes et extension : Stabilité du modèle

22 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 21 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Le modèle développé Copules de valeurs extrêmes : Stabilité du modèle

23 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 22 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Conclusions

24 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 23 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Conclusions Modèle assez simple à mettre en œuvre après avoir vérifié marginalement lhypothèse des hasards proportionnels et lhypothèse de log-linéarité Deux grandes classes de copules stables sous le modèle Modèle permettant de faire des prédictions zone à zone Conclusions

25 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 24 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Conclusions Application du modèle pour modéliser la loi jointe de la longueur et la profondeur des défauts en tenant compte de la variable « zone de la pièce » Choix de la copule dans la zone de référence Procédure destimation des paramètres de copule Propriété des estimateurs Modèle prenant en compte les dépendances négatives Perspectives

26 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 25 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Conclusions Copules et concepts de dépendances Harry JOE – Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall, London 1997 Roger B. NELSEN – An introduction to copulas, Springer 1999 – 2006 Modèle de Cox D.R. COX and D. OAKES – Analysis of Survival Data, Chapman & Hall, London 1984 Modèle de Cox bivarié et copules M. ACHIBI and M. BRONIATOWSKI – Bivariate Cox model and copulas, arXiv:0911.1443 Alexandre DEPIRE – Thèse de lUniversité de Champagne-Ardenne – Modélisation Markovienne – Modèles de régression de copules et valeurs extrêmes – Application aux systèmes daide à la conduite (INRETS) Quelques références bibliographiques

27 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 26 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Conclusions Merci pour votre attention ! Des questions ?

28 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 27 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Exemple de découpage en macro-zones Disque de TuBP

29 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 28 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Copules archimédiennes Frailty models Indépendance conditionnelle de X et Y par rapport à W Loi jointe : Lois marginales : Transformée de Laplace Φ : Copule archimédienne :

30 Ce document et les informations quil contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans lautorisation préalable et écrite de Snecma. 29 Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010 Une brève introduction aux copules Copules de valeurs extrêmes Théorème de représentation (Pickands)