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Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels
• Approche cinétique / Approche fluide • Équations fluides et le problème de leur fermeture • Différentes approches dans la littérature • Nos résultats (Chust & Belmont, PoP, sous presse 2005) Thomas Chust (CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France) Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique » 7-10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon
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APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell
Intégration/ w solution Équation de Vlasov Moments macroscopiques n[t, r, w] et v[t, r, w] Équations de Maxwell f[t, r, w] Système fluide FLUIDE Deux approches différentes pour résoudre le même problème à partir de la même équation En principe équivalentes mais en pratique …
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SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV
Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) : Solution : trajectoire En pratique, des simplifications sont nécessaires : linéarisation, modèle 1- ou 2-D, évolution quasi-statique, nombre limité de particules … 1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B 2) Forme quelconque de f Nombre infini de degrés de liberté
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ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / w Équations exactes
En pratique, il faut tronquer le système : une équation de fermeture est nécessaire 1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B 2) Système d’équations infini (moments) (généralement à l’ordre , ou ) Forme quelconque de f
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CONDITIONS POUR UNE FERMETURE
Collisionel : Non-collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules Pas de constrainte locale sur la forme de f (opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann) Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel Nombre fini de degrés de liberté Relation locale entre n, et est possible Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion) ( and )
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PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES
Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres?) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de , , , etc. ?) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ?) Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés … Exemple: Fermeture « double-adiabatique » CGL : Symétrie gyrotropique Concerne l’ordre 3 Annulation du flux de chaleur
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APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS
Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques avec fonction de distribution de base (“ordre 0”) en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1 Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977) Quelconque: Mintzer (1965) Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly … Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … 1) Choix ad hoc des symétries 2) Fermeture à l’ordre N 3) Approximation dépendant de f0
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APPROCHES LINÉAIRES … Principe:
Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma … Modèles formellement fluides des modes miroir, d’interchange … : Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992) Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …) Modèles « Landau-fluides » : Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …) Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)
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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1)
(1) Condition de gyrotropie Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope Hypothèses intuitives : Pas d'effets de fréquence fini: Pas d'effets de rayon de Larmor fini: Pas de résonance cyclotron:
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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2)
… … avec Condition “sls” de gyrotropie : Hypothèse de compacité :
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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3)
(2) Condition d’adiabaticité Condition “sls” de gyrotropie Condition d’adiabaticité :
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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4)
(3) Condition d’adiabaticité || Condition d’adiabaticité || : Fermeture « double-adiabatique » CGL (fermeture “gyrotropique-adiabatique”)
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LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL)
Si (variations “temporelles”) Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité Ce sont de vraies lois fluides …
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LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES”
Si (variations “spatiales” ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …
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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1)
( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients … Équations fluides pour une espèce : avec
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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2)
( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) Directement comparable aux modèles à 16-moments de Barakat & Schunk (1982) Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003) Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8-moments Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire
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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3)
Si (variations “spatiales”) fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale)
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FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1)
(pas de restriction sur le flux de chaleur) with 1) Expression entière de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : 2) Partie non-gyrotopique de mise à zéro comme avant: 3) Partie gyrotropique de calculée comme avant :
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FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2)
(pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique de : Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …
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UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ?
(avec aucune restriction ?) Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ? • Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture • Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur. • Ramos (2005) également mais juste formellement Valable seulement pour une approche perturbative ?
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Fermeture des équations fluides approximation des coefficients
CONCLUSION Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs) En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche) Fermeture des équations fluides approximation des coefficients Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique ! Condition de gyrotropie condition d’adiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)
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