Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale

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1 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A B C D E

2 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A B C D E

3 A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E

4 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. B C D E

5 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. D E F

6 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. 4) F ϵ à (CE) qui est dans (ACE), donc F ϵ à (ACE). D E F ϵ à (BD) qui est dans (ABD), donc F ϵ à (ABD). F ϵ à (ACE) et à (ABD), donc F ϵ à X. F

7 Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale
Exercice 1 : Soit la pyramide à base trapézoïdale. Déterminez les intersections suivantes : °) X = (ABD) ∩ (ACE) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ à (ACE) et à (ABD), donc ϵ à X. 3) B, D, C et E ϵ à la même face donc coplanaires, donc (BD) et (CE) aussi, et non // donc sécantes B C en un point F. 4) F ϵ à (CE) qui est dans (ACE), donc F ϵ à (ACE). D E F ϵ à (BD) qui est dans (ABD), donc F ϵ à (ABD). F ϵ à (ACE) et à (ABD), donc F ϵ à X. 5) F et A ϵ à X, F et A distincts, et X est une droite donc X est la droite (AF). F

8 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A B C D E

9 A 1) 2 plans non // donc X est une droite. B C D E
2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A ) 2 plans non // donc X est une droite. B C D E

10 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite.
2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X B C D E

11 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite.
2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C G D E

12 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite.
2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C 4) G appartient à 2 droites respectivement dans les 2 G plans, donc G appartient à X. D E

13 2°) X = (ABE) ∩ (ACD) A 1) 2 plans non // donc X est une droite.
2) A appartient aux 2 plans donc A appartient à X 3) B, C, D et E coplanaires car sur la même face, donc (DC) et (BE) aussi, et non // donc sécantes en 1 point G B C 4) G appartient à 2 droites respectivement dans les 2 G plans, donc G appartient à X. D E 5) X est une droite, donc X = (AG)

14 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A B C D E

15 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A B C D E

16 A 1) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E
3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. B C D E

17 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. B C D E

18 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E

19 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

20 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

21 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

22 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

23 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

24 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE …

25 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute …

26 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute …

27 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC.

28 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A.

29 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A. Nous venons d’expliquer un théorème appelé …

30 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. aucune des 3 droites d’un plan B C n’est sécante ailleurs qu’en A avec l’une des 3 droites de l’autre plan ! D E Si l’on fait des // à (DE) dans la face ADE, comme la base est un trapèze, toutes ces // sont // à (BC), et la // la plus haute sera // confondue avec la plus haute des // à (BC) sur la face ABC. Cette // commune ϵ aux 2 plans, donc est dans X, qui est une droite, donc X est cette // passant par A. Nous venons d’expliquer un théorème appelé « Théorème du toit ».

31 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. B C D E

32 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. 3) Théorème du toit : la // à (DE) en A est dans (ADE) ( notée d ). La // à (BC) en A ( notée d’ ) est dans (ABC). B C Comme (BC) // (DE), ces 2 droites d et d’ sont //, et comme elles passent par le même point A, D E elles sont // confondues : d = d’

33 3°) X = (ABC) ∩ (AED) A ) les 2 plans ne sont pas //, donc X est une droite. 2) A ϵ aux 2 plans donc A ϵ à X. 3) Théorème du toit : la // à (DE) en A est dans (ADE) ( notée d ). La // à (BC) en A ( notée d’ ) est dans (ABC). B C Comme (BC) // (DE), ces 2 droites d et d’ sont //, et comme elles passent par le même point A, D E elles sont // confondues : d = d’ 4) d ϵ aux 2 plans donc d ϵ à X. X est une droite, donc X = d