Les fentes multiples Méthode semi graphique d’addition d’ondes. La méthode trigonométrique n’est pas commode dans le cas de 3 sources ou plus, ou si les.

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1 Les fentes multiples Méthode semi graphique d’addition d’ondes. La méthode trigonométrique n’est pas commode dans le cas de 3 sources ou plus, ou si les amplitudes sont différentes.

2 Points essentiels Les vecteurs de Fresnel (section 7.5)
Interférence à N fentes Position des maxima principaux Position des minima Position des maxima secondaires Illustrations Intensité de la figure de diffraction (section 7.6)

3 Les vecteurs de Fresnel (ou phaseurs)
Méthode Chaque onde est représentée par un vecteur tournant (avec une vitesse angulaire w appelé vecteurs de Fresnel. La projection sur l’axe vertical représente la variation de la grandeur physique. Additionner 2 ondes (ou plus) équivaut à faire la somme de deux vecteurs formant un angle f entre eux. L’amplitude de l’onde résultante sera la longueur du vecteur résultant (utilisation de la loi des cosinus ou des composantes).

4 Illustration      4

5 Calcul de l’intensité par les vecteurs de Fresnel pour l’expérience de Young.
Il s’agit d’additionner 2 ondes de même amplitude et de même fréquence angulaire w. Ici, les vecteurs de Fresnel sont les champs électriques.

6 Représentation pour l’expérience de Young
ER f w t Pour faciliter la tache, on suppose E1 = 0 à t = 0 s , alors: ER = E1 + E2 La solution recherchée est de la forme : ER = E0R sin (w t + F ) Avec la loi des cosinus on obtient:

7 Suite… On sait que: 1 + cos  = 2 cos2 ( /2) (p. 295) et comme Io est proportionnel à E 20R on obtient: Ici, et Alors:

8 Figure d’intensité

9 Interférence avec 3 fentes (ou plus) également espacées
Conditions: 3 fentes identiques (source en phase). Remarques: Les positions des maxima principaux sont les mêmes indépendamment du nombre de fentes. Plus le nombre de fentes ( N ) augmente, plus les maxima principaux sont étroits et intenses. Pour N > 2, on remarque la présence de maxima secondaires.

10 Utilisation des vecteurs de Fresnel
En un point sur l’écran, les champs proviennent de fentes adjacentes et ont une différence de phase de :

11 Représentation des vecteurs
 ER  Pour construire la figure de distribution d’intensité, on trace les diagrammes pour diverses différence de phase . w t

12 Position des maxima principaux
Lorsque toutes les ondes sont en phase. Soit f = 0, 2p, 4p, 6p…… E0 E0 E0 E0R = 3E0 Puisque l’intensité est proportionnelle au carré de l’amplitude on obtient: I = 9 I0.

13 Position des minima Pour obtenir E0 = 0, la figure doit se refermer
Première possibilité E0 E0 E0 E0 Deuxième possibilité E0 E0 Remarque: Il existe ( N – 1) minima entre 2 maxima principaux.

14 Position des maxima secondaires
Lorsque  = p. E0 E0 Alors I = I0 E0 E0R = E0

15 Généralisons pour N fentes
Positions des maxima principaux Soit  = 0, 2p, 4p, 6p…… Intensité des maxima principaux I = N 2 I0 Positions des minima (N.B. Il existe (N – 1) minima entre deux maxima principaux) Soit  = 2p/N ; 4p/N ; 6p/N ; ……(maximum principal lorsque  = 2p) …2p + 2p/N ; 2p + 4p/N ; 2p + 6p/N ;…… (maximum principal lorsque  = 4p) …. Positions des maxima secondaires (Environ à mi-chemin entre 2 minima et au nombre de (N – 2) entre 2 maxima principaux) Soit  = 3p/N ; 5p/N ; 7p/N ; ……(maximum principal lorsque  = 2p) …2p + 3p/N ; 2p + 5p/N ; 2p + 7p/N ;…… (maximum principal lorsque  = 4p) …. N.B. Il y a une limite (q = 90°)

16 Illustrations N = 2 N = 3 N = 4

17 Figure d’intensité pour N fentes
Deux sources Trois sources Quatre sources

18 Intensité de la figure de diffraction
Utilisation des phaseurs pour calculer l’intensité de la figure de diffraction. On divise la largeur a de la fente en N sources ainsi la distance d entre 2 sources adjacentes est: et la différence de marche d entre 2 rayons adjacents devient: Ce qui correspond à une différence de phase  associée à cette différence de marche:

19 Le maximum central Si Ao est l’amplitude due à une source unique, l’amplitude au centre de l’écran est maximale, ainsi: Ao Ao Ao Ao Ao Ao Amax Amax = N Ao

20 Intensité d’un point P quelconque sur l’écran
Pour N très grand, l’arc de cercle sous-tendue par l’angle a est: N Ao = Amax a Ainsi; r a = N Ao = Amax Alors:

21 Intensité d’un point P quelconque sur l’écran (suite)
Puisque: alors: avec: Remarque: a est la différence de phase entre 2 rayons extrêmes.

22 Position des minima Lorsque:

23 Position des maxima secondaires
Lorsque: C’est-à-dire, pour: Position des maxima secondaires: Intensité des maxima secondaires: Remarque: 93% de l’intensité se retrouve dans le pic central.

24 Interférence et diffraction (N = 2)
Lorsqu’on observe une figure d’interférence à 2 fentes (ou plus), ce que l’on observe sur l’écran est une combinaison d’une figure de diffraction (due à la largeur d,une fente) et une figure d’interférence à 2 fentes. L’intensité peut être obtenue à partir de la figure d’interférence à 2 fentes, en remplaçant l’intensité de chaque ( I 0) par l’intensité due à la diffraction, on obtient:

25 Travail personnel Aucun exemple Aucune question Faire l’exercice 23
Faire le problème 3