Estimation des conditions initiales par inversion

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1 Estimation des conditions initiales par inversion
Fadji Hassane Maina, LHyGeS Strasbourg Philippe Ackerer , LHyGeS Strasbourg 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

2 Modélisation des écoulements souterrains
Écoulements souterrains décrits par les modèles physiques Équation de continuité (conservation de la masse) : Loi de Darcy (calcul des flux) : Équation de diffusivité (équation d’écoulement) : Une équation résolue par des méthodes numériques Résolution de l’équation de diffusivité Connaissance des paramètres K,S et f Conditions aux limites Conditions initiales 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

3 Les conditions initiales et leur estimation
Permettent de spécifier le problème d’écoulement Conditions initiales : charges hydrauliques en tout point du domaine à l’état initial Estimation : simulation en régime permanent Approximation des conditions initiales Prise en compte d’une période de relaxation Contraintes de la période de relaxation Définition de la période : durée Cas des simulations sur une courte durée Estimation des conditions initiales par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

4 Méthode d’inversion Les conditions initiales paramètres inconnus du modèle Méthodes d’inversion : estimation des paramètres en calant les niveaux piézométriques La fonction objectif J est : La correction des paramètres : 𝜃 𝑘+1 = 𝜃 𝑘 +∆ 𝜃 𝑘 Tel que : 𝐽 𝜃 𝑘+1 <𝐽 𝜃 𝑘 Correction : ∆ 𝜃 𝑘 = 𝐻𝑎 𝑘+1 ∆ 𝑔 𝑘 Les gradients ∆ 𝑔 𝑘 sont calculés par état adjoint 𝐻𝑎 l’inverse du Hessien est calculé par la méthode BFGS 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

5 Calcul des gradients : État adjoint
État adjoint associer des contraintes au problème d’optimisation Contrainte équation du problème direct discrétisé Approcher le gradient de la fonction objectif par celui d’un lagrangien défini par : Gradients calculés par : 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

6 Paramétrisation multi-échelle évolutive
Représentation de la variabilité spatiale des charges hydrauliques à l’état initial Paramétrisation Paramétrisation permet aussi de mieux posé le problème inverse Représentation de l’espace Zonation Interpolations (Paramétrisation multi-échelle) Modification du champ au cours de l’optimisation Fixes Évolutives Paramétrisation multi-échelle évolutive 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

7 (même domaine, nombre de points d’observation différents)
Application Tester la méthodologie d’inversion Deux exemples (même domaine, nombre de points d’observation différents) 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

8 Application 4 puits de pompages pour perturber le champ d’écoulement
Durée de la simulation : 42 jours Prise en compte de la recharge : 0,4 mm/j Champs de perméabilité et emmagasinement supposés connus Charge imposée Logarithme de la perméabilité Logarithme de l’emmagasinement 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

9 Exemple 1 : Validation de la méthode
96 points d’observation choisis aléatoirement (50 solutions) Les erreurs d’estimation des conditions initiales sont inférieures à 1 pour toutes les solutions Les zones ayant les plus fortes erreurs sont les limites à flux nul 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

10 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion
Exemple 1 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Solution exacte Solution 1 Solution 2 Solution 3 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

11 Exemple 1 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

12 Comparaison des charges mesurées et simulées aux points d’observation
Exemple 1 Comparaison des charges mesurées et simulées aux points d’observation Toutes les solutions reproduisent parfaitement les variations de charges hydrauliques mesurées 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

13 Les conditions initiales sont retrouvées par inversion
Exemple 1: validation croisée Les conditions initiales sont retrouvées par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

14 Exemple 2 : Évaluation de la robustesse de la méthode
30 points d’observation choisis aléatoirement (50 solutions) Les erreurs d’estimation des conditions initiales sont inférieures à 1,5 pour toutes les solutions Les zones ayant les plus fortes erreurs sont dépourvues de points d’observation 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

15 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion
Exemple 2 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Solution exacte Solution 1 Solution 2 Solution 3 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

16 Les conditions initiales sont retrouvées par inversion
Exemple 2: validation croisée Les conditions initiales sont retrouvées par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

17 Conclusions et Perspectives
Les conditions initiales peuvent être considérées comme des paramètres inconnus du modèle La méthode d’inversion couplée à la paramétrisation multi-échelle permet de retrouver les variations de charges hydrauliques à l’état initial Estimation des conditions initiales par inversion Pas de période de relaxation Bien adaptée aux simulations sur une courte période (notamment dans les aquifères libres) Perspectives : Estimer simultanément les conditions initiales et les paramètres du modèle par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

18 Merci de votre attention
21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

19 Paramétrisation multi-échelle
Trottier (2014) Ackerer et al 2014 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion