Annexe A: Numérotation binaire

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1 Annexe A: Numérotation binaire
Architecture des ordinateurs Béat Hirsbrunner S octobre 2006 Annexe A: Numérotation binaire A.1 Nombres en précision finie A.2 Représentation des nombres A.3 Conversion d’une base à une autre A.4 Nombres binaires négatifs A.5 Arithmétique binaire B.1 Principes des nombres en virgules flottantes nfnfdnfnfn

2 A.1 Nombres en précision finie
Les ordinateurs utilisent une autre arithmétique que les humains Les physiciens disent: Il y a 10 puissance 78 électrons dans l’univers… Les chimistes disent : … Les philosophes disent : … Les mathématiciens disent : … Les reporters sportifs disent : … Les ordinateurs disent : j’aime les 0 et 1 et je préfère travailler avec des nombres contenant un nombre fini de chiffres (8 bits, 16 bits, …) Exemple: Ensemble des entiers positifs avec 3 chiffres décimaux L’ensemble comprend exactement 100 éléments: 000, 001, …, 999 Certains nombres ne peuvent pas être représentés: Les nombres supérieurs à 999 Les nombres négatifs … L’arithmétique n’est pas fermée (au regard des opérations +, - *): = 1200 (trop grand) = -2 (négatif) L’algèbre des nombres en précision finie est différente de l’algèbre normale: a + (b - c) = (a + b) - c (avec a=700, b=400, c=300: a+b est trop grand, mais pas a+(b-c)) nfnfdnfnfn

3 A.2 Représentation des nombres (1/3)
• Base naturelle pour les humains : 10 • Base naturelle pour les ordinateurs d’aujourd’hui: 2, 8, 16, …: 01 ABCDEF … nfnfdnfnfn

4 A.2 Représentation des nombres (2/3)
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5 A.2 Représentation des nombres (3/3)
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6 A.3 Conversion d’une base à une autre (1/2)
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7 A.3 Conversion d’une base à une autre (2/2)
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8 A.4 Nombres binaires négatifs (1/5)
Valeur signée (Signed Magnitude) Le premier bit représente le signe (0=positif, 1=négatif) Complément à un (one’s complement) Tous les 1 sont remplacés par des 0 et tous les 0 par des 1 Complément à deux (two’s complement) Puis on rajoute 1 au résultat Excédent 2m-1 (excess 2m-1) On additionne 2m-1 aux nombres à m bits Remarques (1) et (2) ont deux représentations différentes pour le zéro ! (3) et (4) n’ont pas le même nombre de chiffres positifs et négatifs ! (3) et (4) ne se différencient que sur le premier bit ! Pour toutes les représentations, le signe est encodé dans le premier bit ! nfnfdnfnfn

9 A.4 Nombres binaires négatifs (2/5)
1 2 3 000 100 001 101 110 111 010 011 -0 -1 -2 -3 Valeur signée 1 2 3 000 100 001 101 110 111 010 011 -3 -2 -1 -0 Complément à un nfnfdnfnfn

10 A.4 Nombres binaires négatifs (3/5)
000 100 001 101 110 111 010 011 1 2 3 -4 -1 -2 -3 Complément à 2 nfnfdnfnfn

11 A.4 Nombres binaires négatifs (4/5)
000 111 001 -4 -3 -2 -1 3 2 1 110 010 101 011 100 Codage par excédent 2m-1 nfnfdnfnfn

12 A.4 Nombres binaires négatifs (5/5)
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13 A.5 Arithmétique binaire
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14 A.5 Arithmétique binaire
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15 B.1 Principes Notation scientifique: Virgule flottante:
n = m * 10e, avec m = mantisse et e = exposant Virgule flottante: 0 ≤ |m| < 1, par exemple 2002 s’écrit 0,2002 * 104