L ABORATOIRE d I NGÉNIERIE des S YSTÈMES A UTOMATISÉS EA 4014 – Université dAngers Institut des Sciences et Techniques de lIngénieur dAngers Master2 Recherche.

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1 L ABORATOIRE d I NGÉNIERIE des S YSTÈMES A UTOMATISÉS EA 4014 – Université dAngers Institut des Sciences et Techniques de lIngénieur dAngers Master2 Recherche Spécialité : Systèmes Dynamiques et Signaux ALGORITHME DE FOURIER – MOTZKIN. APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS. ALGORITHME DE FOURIER – MOTZKIN. APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS. SUJET : Réalisé par : Codjo Hermann ZANNOU Suivi par : M r Philippe DECLERCK Maître de Conférences à luniversité dAngers Juin 2007

2 PLAN OBJECTIF GÉNÉRAL 1 - ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN 2 – QUELQUES RAPPELS SUR LES RÉSEAUX DE PETRI 3 – APPLICATION DE LALGORITHME DE FOURIER- MOTZKIN AUX GRAPHES D ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS CONCLUSION ET PERSPECTIVES

3 OBJECTIF GÉNÉRAL 1.un algorithme de résolution des systèmes dinéquations Axb Analyser : 2.une démarche de calcul de trajectoire des graphes dévénements temporisés

4 Partie1 : Algorithme de Fourier-Motzkin

5 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Objectif m contraintes n variables Applicable à des systèmes dinégalités Ax b

6 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Objectif Elle permet de : Tester lexistence de solution des systèmes Ax b. Trouver une solution lorsqu'elle existe. Elle permet de : Tester lexistence de solution des systèmes Ax b. Trouver une solution lorsqu'elle existe.

7 Principe ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN La méthode comporte deux phases : Une phase de descente Une phase de remontée

8 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe Descente Après classement nous avons le système suivant : m contraintes n variables Etape1: classement

9 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe Descente Etape2 : calcul des bornes (4) (1) et (2) (1) (2) (3)

10 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe Descente Etape3 : élimination (3) (2) (1) Répéter la procédure sur la variable x 2 (5) I S (4) et (3) (4) (1) et (2)

11 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe Remontée Connaissant la condition sur la variable x n et en lui attribuant une valeur, on peut remonter à la condition sur la variable x n-1 ainsi de suite on remonte à la variable x 1.

12 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Le test dexistence de solution est réalisé après élimination des (n-1) premières variables du système dinéquations linéaires Ax b Il suffit de vérifier si la borne inférieure de la dernière variable est inférieure ou égale à sa borne supérieure.

13 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Pour b = 15 Existence de solution (7) (6) (1) (4) (3) (5) (6) (2)

14 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Existence de solution (7) (6)

15 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Remontée En prenant x 2 = 3/2 on a : [1 1.5] T est donc une solution quelconque Existence de solution

16 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Pour b = 11 Existence de solution

17 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Existence de solution

18 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Exemple Descente Donc le système nadmet pas de solution pour b =11 Existence de solution

19 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finie Dépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

20 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finieDépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

21 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finieDépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

22 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finieDépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

23 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finieDépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

24 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations itération borne inférieure Borne supérieure Nouveau système après élimination de la variable courante (1) et (2)finie Dépend de (1) et (2) (3) - + Dépend de (3) (1) et (3) - finieDépend de (3) (2) et (3) finie+ Dépend de (3) (1) - finieArrêt de la descente (2)finie+ Arrêt de la descente (1) (3) (2)

25 ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Guide utilisateur Le programme Scilab développé comprend quatres parties : un programme principal « Optim » un sous-programme « elimination » un sous programme « remontee » un sous programme « affichage »

26 Partie2 : Rappels les Réseaux de Petri

27 RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Définition Un réseau de Pétri est un moyen de : Modélisation du comportement des systèmes à événements discrets Description des relations existantes entre des conditions et des événements

28 RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Description Figure2 : Réseau de Petri

29 RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Graphe dévénements Figure2 : Réseau de Petri

30 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Partie 3

31 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Objectifs Modéliser les graphes dÉvénements Temporisés sous forme algébrique simplifiée Ax b Ensuite appliquer Fourier-Motzkin pour tracer les trajectoires temporelles.

32 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique La forme algébrique simplifiée Ax b sobtient en dupliquant les places qui contiennent plus dun jeton. Cela se fait au prix dune extension du vecteur détat x(k)

33 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Toute place située entre deux transitions internes doit contenir au maximum un jeton Illustration: Après transformation nous avons le graphe suivant : Démarche

34 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Toute place située entre une transitions source et une transition interne doit être sans jeton Illustration : Après transformation nous obtenons le graphe suivant : Démarche

35 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique exemple Description aux dateurs, algèbre (max,+)

36 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique exemple Description aux dateurs, algèbre (max,+) Description aux dateurs, algèbre ordinaire

37 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique exemple (1) (2) (3)

38 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Forme générale (4) (5) (3)

39 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Systèmes monotones Un système dinégalités linéaires de la forme Ax b est dit sup-monotone (respectivement inf-monotone) si chaque ligne de la matrice A a au maximum un élément strictement positif (respectivement strictement négatif) Définitions Nous avons montré quun graphe dÉvénements Temporisés modélisé sous forme Ax b est un système inf- monotone

40 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications exemple (1) (2) (3)

41 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications On va représenter la sortie y(k), k = {1, 10}. Pour cela, on prend lentrée sur un lhorizon [1 10] k12345678910 u(k)28 6776 115124 172+ exemple

42 APPLICATION AUX GRAPHES DÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications k12345678910 x 1 (k)30 6978 117126 174+ x 2 (k)434 7382 121130 178 k12345678910 y(k)1242 8190 129138 186 exemple

43 Conclusion et perspectives

44 CONCLUSION ET PERSPECTIVES Conclusion Nous avons développé un programme Scilab basé sur lalgorithme de Fourier-Motzkin qui : teste lexistence de solution pour les systèmes linéaires Ax b. calcule une solution quelconque des systèmes linéaires Ax b. Maximise ou minimise une fonction objective sous Ax b. calcule les trajectoires temporelles des graphes dévénements.

45 CONCLUSION ET PERSPECTIVES Perspectives Le programme développé peut être utiliser pour : résoudre les inégalités aux compteurs la commande des systèmes linéaires le calcul du taux de production

46 Merci de votre attention