Fonction polynomiale de degré 1

Présentation au sujet: "Fonction polynomiale de degré 1"— Transcription de la présentation:

1 Fonction polynomiale de degré 1
Fonction linéaire f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b

2 Toutes ces fonctions sont composées de termes algébriques.
Comme son nom l’indique, les fonctions polynomiales sont composées de polynômes, c’est-à-dire de termes accompagnés de lettres. Exemples : f(x) = x2 + 5x + 6 Toutes ces fonctions sont composées de termes algébriques. g(x) = 3x + 6 h(x) = 100/x Ce sont donc des fonctions polynomiales. i(x) = 5 x

3 Plusieurs situations de la vie courante évoluent selon une même tendance.
Exemples : - Le salaire d’un employé en fonction du nombre d’heures travaillées; - Le coût d’un plein d’essence en fonction du nombre de litres; - Le périmètre d’un carré en fonction de la longueur du côté; - Le coût de location en fonction du nombre d’heures; - Le remplissage d’une piscine en fonction du nombre d’heures; - Le revenu des ventes en fonction des articles vendus; - La conversion des degrés Fahrenheit en degrés Celsius; - En électricité, la courbe de la tension (V) en fonction du courant (A); - Etc.

4 En mettant en relation les variables de ces situations, on observe qu’elles ont tendance à s’aligner selon une ligne droite. Exemples : 5 50 Heures ($) Salaire d’un travailleur

5 Conversion de température
20 0C 25 0F Conversion de température

6 Courbe de la tension en fonction du courant
Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V) 2 4 6 8

7 La courbe associée à ce modèle est une ligne droite oblique.
Elles suivent le modèle mathématique de la fonction polynomiale de degré 1, connu également sous le nom de fonction linéaire : f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b La courbe associée à ce modèle est une ligne droite oblique. x y

8 Remarque : Dans le plan cartésien, une série de points reliés entre eux porte le nom de courbe. Exemples : x y x y x y courbe linéaire courbe parabolique courbe sinusoïdale

9 f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b
La fonction linéaire est une fonction polynomiale de degré 1, car l’exposant de la variable indépendante est 1. 1 1 1 f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b Remarque : En algèbre, même si l’exposant 1 ne s’écrit pas, il faut se souvenir qu’il est sous-entendu. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 1 est toujours une ligne droite. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 2 est toujours une parabole. f(x) = x f(x) = x2 x y x y

10 Examinons la signification de chaque élément de cette fonction.
f(x) = a x b a b Représente la variable dépendante. Représente la variable indépendante. Dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des ordonnées ( y ). Dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des abscisses ( x ). Ces deux variables sont mises en relation par une règle qui est déterminée par les deux paramètres qui les accompagnent. est le taux de variation; il indique la grandeur de la variation entre les deux variables. est l’ordonnée à l’origine; dans une situation réelle, nous l’appellons aussi la valeur initiale.

11 Remarque : Les lettres a et b représentent des paramètres. f(x) = ax + b Toutefois, on aurait pu choisir d’autres lettres. L’important est de savoir que dans une fonction de degré 1 (fonction linéaire) : - le paramètre qui multiplie la variable indépendante est le taux de variation; - le paramètre qui est additionné ou soustrait à la variable indépendante est l’ordonnée à l’origine. Nous pourrions également écrire f(x) = mx + k

12 a : Le taux de variation x1 x2 y1 y2
Le taux de variation indique la grandeur de la variation entre les deux variables. x1 x2 - y1 y2 Sa formule est : Le taux de variation est donc un rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses. Examinons quelques exemples.

13 Taux de variation ( a ) y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x
P2 ( x2 , y2 ) Plaçons 2 points sur cette droite. P1 ( x1 , y1 ) Appelons le premier point : P1 Appelons le deuxième point : P2 P1 : le point n0 1; P2 : le point n0 2; x1 : l’abscisse du point n0 1; x2 : l’abscisse du point n0 2; y1 : l’ordonnée du point n0 1. y2 : l’ordonnée du point n0 2.

14 Remarque : La détermination des points se fait toujours par rapport à l’axe des abscisses. P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 - Par rapport à l’axe des abscisses, le point P1 est le premier. - Par rapport à l’axe des abscisses, le point P2 est le deuxième.

15 ∆ y : y2 – y1 ∆ x : x2 – x1 Taux de variation ( a ) x1 x2 y1 y2
P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 . x2 y2 Il a donc subi une variation (un déplacement) par rapport à l’axe des x. Cette variation se calcule en reportant les abscisses des points sur l’axe des x. x1 y1 Variation des abscisses : x1 x2 - = 4 Il a également subi une variation par rapport à l’axe des y. Cette variation se calcule en reportant les ordonnées des points sur l’axe des y. Variation des ordonnées : y1 y2 - = 20 La variation est parfois notée par ce symbole : ∆ . Remarque: ∆ y : y2 – y1 ∆ x : x2 – x1

16 En reportant la variation des ordonnées sur la variation des abscisses, nous obtenons le taux de variation de la fonction. P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x x2 y2 variation des ordonnées : y1 y2 - x1 y1 variation des abscisses : x1 x2 - x1 x2 - y1 y2 = 2 6 - 30 50 = 4 20 a = = 5 Donc a : le taux de variation = 5 Important : Dans la formule du taux de variation : x1 x2 - y1 y2 la variation des ordonnées est toujours au numérateur. la variation des abscisses est toujours au dénominateur.

17 x1 x2 y1 y2 Détermine le taux de variation dans cette situation :
Temps (heures) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ( $ ) Salaire d’une secrétaire médicale ( 2 , 40 ) ( 4 , 80 ) ( 7 , 140 ) 1) Il faut choisir 2 points : P1 ( x1 , y1 ) P1 ( 2 , 40 ) P2 ( x2 , y2 ) P2 ( 4 , 80 ) 2) Il faut utiliser la formule du taux de variation : x1 x2 - y1 y2 = a = 2 4 - 40 80 = 40 2 = 20 Taux de variation ( a ) : 20

18 x1 x2 y1 y2 Détermine le taux de variation dans cette situation :
Temps (heures) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ( $ ) Salaire d’une secrétaire médicale ( 2 , 40 ) ( 4 , 80 ) ( 7 , 140 ) 1) En utilisant d’autres points : P1 ( x1 , y1 ) P1 ( 2 , 40 ) P2 ( x2 , y2 ) P2 ( 7 , 140 ) 2) En utilisant la formule du taux de variation : x1 x2 - y1 y2 = a = 2 7 - 40 140 = 100 5 = 20 Taux de variation ( a ) : 20 Remarque: Peu importe les points utilisés de la courbe, le résultat demeure identique.

19 Courbe de la tension en fonction du courant
Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V) 2 4 6 8 Détermine le taux de variation dans cette situation : 1) Il faut choisir 2 points : P1 ( x1 , y1 ) P1 ( 0,25 ; 2 ) P2 ( x2 , y2 ) P2 ( 1 , 8 ) 2) En utilisant la formule du taux de variation : x1 x2 - y1 y2 = a = 0,25 1 - 2 8 = 6 0,75 = 8 Taux de variation ( a ) : 8

20 y2 y1 x2 x1 Détermine le taux de variation dans cette situation : 1 2
3 4 5 6 8 10 12 14 Quantité ( kL) Écoulement d’un réservoir de pétrole 1) Il faut choisir 2 points : P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) P2 ( 6 , 0 ) P1 ( 0 , ) 2) En utilisant la formule du taux de variation : Temps (hres) x1 x2 - y1 y2 = a = 6 - 12 000 = 6 = Taux de variation :

21 Un taux de variation positif Un taux de variation négatif
Remarque : Un taux de variation positif Un taux de variation négatif y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x La fonction est croissante La fonction est décroissante (la courbe monte) (la courbe descend)

22 + x1 x2 y1 y2 Détermine le taux de variation dans cette situation :
Heure de la journée Température extérieure (0C) 6 4 2 - 2 8 - 4 10 12 14 16 18 Détermine le taux de variation dans cette situation : 1) Il faut choisir 2 points : Il faut être le plus précis possible. P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) P1 ( 0 , - 3 ) P2 ( 18 , 10 ) 2) En utilisant la formule du taux de variation : x1 x2 - y1 y2 = a = 18 - - 3 10 = 18 - 3 10 + = 13 18 13 18 Taux de variation : Ici, on garde la forme fractionnaire, car la réponse est plus précise. Attention aux signes 13 18 On doit soustraire et y1 est négatif donc ≈ 0,72

23 y1 y2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 Dans cet exemple : P1 ( 0 , 1 ) P2 ( 2, 5 ) x
3 4 5 6 7 variation des ordonnées : y1 y2 - variation des abscisses : x1 x2 - x1 x2 - y1 y2 = 2 - 1 5 = 2 4 = 1 2 = a = 2

24 2 1 a = 2 ou Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. 1 2 3 4 5 x y Graphiquement, on peut constater ce fait. a = 2 1 + 2 + 1 + 2 + 1

25 y 5 -2 Dans cet exemple, a = 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) Ce qui signifie que pour un accroissement de 5 unités des abscisses, il y a un décroissement de deux unités des ordonnées. - 2 P2 ( x2 , y2 ) +5 x

26 Une des particularités de la fonction linéaire est que le taux de variation est
constant. 1 2 3 4 5 + 1 + 2 x y Cette caractéristique nous permet de déterminer si une table de valeurs représente une fonction linéaire.

27 x f(x) … -3 -7 -2 -4 -1 2 1 5 8 3 11 x1 x2 y1 y2 Exemple:
2 1 5 8 3 11 En utilisant la formule du taux de variation, il faut calculer au moins trois couples : x1 x2 - y1 y2 = a : = 3 = 3 = 3 Cette table de valeurs représente une fonction linéaire, car le taux de variation est constant. a = le taux de variation = 3.

28 x f(x) … -3 9 -2 4 -1 1 2 3 x1 x2 y1 y2 Exemple: - = a = 1 - 0 = 1
2 3 x1 x2 - y1 y2 = a = = 1 = 3 = 5 Cette table de valeurs ne représente pas une fonction linéaire, car le taux de variation n’est pas constant.

29 b : ordonnée à l’origine
Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est le point de rencontre de la fonction avec l’axe des ordonnées. Dans l’exemple ci-contre, l’ordonnée à l’origine est y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 Ce point est ainsi nommé, car lorsque la fonction traverse l’axe des ordonnées, elle le fait vis-à-vis l’origine du plan cartésien. À l’origine du plan cartésien, la valeur de x est égale à 0. x Algébriquement, il existe un symbole précis pour représenter l’ordonnée à l’origine : f (0) la valeur de la fonction (la valeur de y) quand x vaut 0. Ce symbole est très important en mathématique.

30 Par exemple, dans le graphique ci-contre,
Dans certaines situations, le terme « valeur initiale » est synonyme d’ordonnée à l’origine. Dans une situation réelle, comme le remplissage d’une piscine, on peut avoir un point de départ. Par exemple, dans le graphique ci-contre, 5 10 15 20 25 1 000 2 000 3 000 4 000 Remplissage d’une piscine Litres Minutes il y a déjà litres d’eau au départ. C’est la première donnée, donc la valeur initiale.

31 On regarde le point où la courbe traverse l’axe des ordonnées.
Dans un graphique, l’ordonnée à l’origine ( b ) est facile à déterminer. On regarde le point où la courbe traverse l’axe des ordonnées. 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y 5 10 15 20 25 1 000 2 000 3 000 4 000 Remplissage d’une piscine Litres Minutes b = ordonnée à l’origine = 3 b = ordonnée à l’origine = 2 000

32 x f(x) x f(x) … -3 -7 -2 -4 -1 2 1 5 8 3 11 … -3 9 -2 4 -1 1 2 3
Dans une table de valeurs : Parfois, les tables de valeurs donnent l’ordonnée à l’origine. … x f(x) -3 -7 -2 -4 -1 2 1 5 8 3 11 Il suffit de nous rappeler que l’ordonnée à l’origine est la valeur de f(0). (La valeur de y quand x = 0) b : ordonnée à l’origine = 2 … x f(x) -3 9 -2 4 -1 1 2 3 b : ordonnée à l’origine = 0

33 Les tables de valeurs ne fournissent pas toujours l’ordonnée à l’origine.
… x f(x) 3 15 5 21 8 30 10 36 12 42 16 54 20 66 Alors que faire? Il y a une méthode simple comportant 2 étapes. 1) Il faut déterminer, en premier, déterminer le taux de variation : En utilisant la formule du taux de variation, il faut calculer au moins trois couples pour confirmer que la fonction est linéaire. x1 x2 - y1 y2 = a = = 3 = 3 = 3 Cette table de valeurs représente une fonction linéaire car le taux de variation est constant. a = le taux de variation = 3.

34 … x f(x) 3 15 5 21 8 30 10 36 12 42 16 54 20 66 2) Déterminer l’ordonnée à l’origine : Sachant que le taux de variation est constant et qu’il vaut 3. En utilisant la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = a x + b Il faut remplacer le a par 3 : f(x) = 3 x + b Il faut choisir un couple et remplacer f(x) et x par ces 2 valeurs : Exemple : ( 5 , 21 ) f(x) = 3 x + b 21 = 3 X 5 + b 21 = 15 + b Enfin, isoler le b : = b - 15 - 15 6 = b b = ordonnée à l’origine = 6

35 Les prochaines tables de valeurs présentent des fonction linéaires.
Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs : x f(x) 3 27 5 37 10 62 14 82 x1 x2 - y1 y2 = = 10 2 = 1) Déterminer le taux de variation ( a ) : 5 2) Utiliser la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = a x + b Remplacer le a par 5 : f(x) = 5 x + b Choisir un couple et remplacer f(x) et x par ces 2 valeurs : avec ( 3 , 27 ) f(x) = 5 x + b 27 = 5 X 3 + b 27 = 15 + b Enfin, isoler le b : = b - 15 - 15 12 = b b = ordonnée à l’origine = 12

36 Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs :
x f(x) 8 - 9 13 - 19 16 - 25 19 - 31 x1 x2 - y1 y2 = = = - 10 5 = 1) Déterminer le taux de variation ( a ) : - 2 2) Utiliser la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = a x + b Remplacer le a par -2 : f(x) = -2 x + b Choisir un couple et remplacer f(x) et x par ces 2 valeurs : avec ( 13 , - 19 ) f(x) = - 2 x + b - 19 = -2 X 13 + b - 19 = b Enfin, isoler le b : = b + 26 + 26 7 = b b = ordonnée à l’origine = 7

37 Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs :
x f(x) 1 - 10,4 4 - 2,6 7 5,2 10 13 x1 x2 - y1 y2 = ,2 = 7,8 3 = 1) Déterminer le taux de variation ( a ) : 2,6 Si possible, pour faciliter les calculs, on choisit des couples de nombres positifs. 2) Utiliser la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = a x + b Remplacer le a par 2,6 : f(x) = 2,6 x + b Choisir un couple et remplacer f(x) et x par ces 2 valeurs : avec ( 10 , 13 ) f(x) = 2,6 x + b 13 = 2,6 X 10 + b 13 = b Enfin, isoler le b : = b - 26 - 26 - 13 = b b = ordonnée à l’origine = - 13

38 Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs :
x f(x) - 3 - 6 - 1 8 15 3 36 b = ordonnée à l’origine = 15

39 Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs :
x f(x) - 3 - 51 3 51 6 102 8 136 x1 x2 - y1 y2 = = 51 3 = 1) Déterminer le taux de variation ( a ) : 17 2) Utiliser la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = a x + b Remplacer le a par 17 : f(x) = 17 x + b Choisir un couple et remplacer f(x) et x par ces 2 valeurs : avec ( 3 , 51 ) f(x) = 17 x + b 51 = 17 X 3 + b 51 = 51 + b Enfin, isoler le b : = b - 51 - 51 0 = b b = ordonnée à l’origine = 0

40 Détermine l’ordonnée à l’origine de cette table de valeurs :
x f(x) 1 2 4 3 9 16 Attention : En utilisant la formule du taux de variation, il faut calculer au moins trois couples : x1 x2 - y1 y2 = a : = 3 = 5 = 7 Cette table de valeurs ne représente pas une fonction linéaire car le taux de variation n’est pas constant. Elle représente une fonction du second degré : f(x) = x2 Ordonnée à l’origine, f(0) : f(0) = 02 = 0 Important : Le calcul d’au moins 3 couples nous permet de vérifier si la table de valeurs représente une fonction linéaire.

41 x1 x2 y1 y2 Déterminer la règle d’une fonction linéaire.
Tu sais déjà le faire ! 1) Il faut vérifier si la table de valeurs représente bien une fonction linéaire. Le calcul effectué avec 3 couples nous confirme que le taux de variation est constant. x1 x2 - y1 y2 2) Déterminer le taux de variation : 3) Déterminer l’ordonnée à l’origine avec un couple et la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = ax + b avec ( x , y )

42 x1 x2 y1 y2 Déterminer la règle d’une fonction linéaire. Exemple : x
f(x) 3 27 5 37 10 62 14 82 1) Vérifier si la table de valeurs représente bien une fonction linéaire : x1 x2 - y1 y2 = a : = 5 = 5 = 5 2) Déterminer le taux de variation : a = 5 3) Déterminer l’ordonnée à l’origine avec un couple et la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = ax + b f(x) = 5x + b 27 = 5 X 3 + b avec ( 3, 27 ) 27 = 15 + b = b - 15 - 15 f(x) = 5x + 12 12 = b Règle :

43 x1 x2 y1 y2 Déterminer la règle d’une fonction linéaire. y 1 2 3 4 5 6
y 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 x Avec un graphique Le graphique nous permet de constater « visuellement » que la fonction est linéaire. ( 2 , 30 ) ( 6 , 40 ) 1) Déterminer le taux de variation : x1 x2 - y1 y2 = a = = 2,5 2) Déterminer l’ordonnée à l’origine avec un couple et la forme théorique de la fonction linéaire : f(x) = ax + b f(x) = 2,5x + b 30 = 2,5 X 2 + b avec ( 2, 30 ) 30 = 5 + b = b - 5 - 5 f(x) = 2,5x + 25 25 = b Règle :

44 C’est le modèle de base, le modèle le plus simple. f(x) = ax
Maintenant que nous connaissons les différentes significations des termes d’une fonction du premier degré, examinons les différences. f(x) = x C’est le modèle de base, le modèle le plus simple. f(x) = ax En fait, f(x) = ax + b f(x) = x signifie : f(x) = 1 x + 0 a = 1 et b = 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y Graphiquement, il correspond à : Dans une table de valeurs, il correspond à : x … … … … f(x) Les valeurs de x sont égales aux valeurs de f(x). En géométrie, cette droite correspond à la droite d1.

45 Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe.
f(x) = ax Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons, y mais elle passera toujours par l’origine du plan cartésien. 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 Dans une table de valeurs, les couples de coordonnées forment toujours une suite proportionnelle. Exemple : x … … x … … f(x) f(x) x = -10 -5 = -8 -4 = -6 -3 = -4 -2 = -2 -1 = 2 1 = 4 2 = … = 2 Bien entendu sauf le couple ( 0 , 0 ). Remarque : La fonction f(x) = x est une fonction linéaire de variation directe, mais comme le coefficient (le paramètre) a = 1, les mathématiciens en ont fait la fonction de référence ou fonction de base du modèle linéaire.

46 Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle.
f(x) = ax + b Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons, mais elle ne passera jamais par l’origine du plan. y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 Dans une table de valeurs, le taux de variation est constant, mais les différents couples ne sont pas proportionnels. Exemple : x … , , , ,5 … x … … f(x) f(x) x = = 1 -2 2,5 1 = 3 2 = 4

47 Remarque : Des droites, ayant le même taux de variation, sont parallèles entre elles. Exemple : y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 f(x) = 0,5x g(x) = 0,5x + 2 x h(x) = 0,5x - 2 Remarque : Ces 3 fonctions étant différentes, nous les nommons par 3 lettres différentes.

48 x1 x2 y1 y2 Déterminer la règle dans un problème théorique.
Une fonction linéaire passe par les points ( 1 , 37 ) et ( 5 , 85 ). Quelle est sa règle? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement : f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 1 5 - 37 85 = Étape 1 : Calculer le taux de variation : a = 12 Étape 2 : Déterminer b = f(x) = 12x + b avec ( 1 , 37 ) ou ( 5 , 85 ) 37 = 12 X 1 + b 85 = 12 X 5 + b 37 = 12 + b 85 = 60 + b = b - 12 - 12 = b - 60 - 60 25 = b 25 = b La règle est donc f(x) = 12x + 25

49 Une fonction linéaire passe par les points ( 2 , 66 ) et ( 4 , 132 ).
Quelle est sa règle ? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement : f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 2 4 - 66 132 = Étape 1 : Calculer le taux de variation: a = 33 f(x) = 33x + b avec ( 2 , 66 ) Étape 2 : Déterminer b = 66 = 33 X 2 + b 66 = 66 + b = b - 66 - 66 0 = b La règle est donc f(x) = 33x Il s’agit donc d’une fonction linéaire de variation directe.

50 Déterminer la règle dans une mise en situation.
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Déterminer la règle de cette situation. N.B. Les mises en situation sont les plus difficiles à transposer en règle. Important Il faut lire attentivement les données du problème pour identifier les variables indépendante et dépendante. Question : Dans cette situation, quelle est la variable qui dépend de l’autre ? Le salaire dépend-il du nombre de fenêtres lavées? ou Le nombre de fenêtres lavées dépend-il du salaire? Réponse : Bien entendu, le salaire dépend du nombre de fenêtres lavées. Par conséquent, la variable dépendante est le salaire. et la variable indépendante est le nombre de fenêtres lavées.

51 Déterminer la règle dans une mise en situation.
Dans la situation précédente, nous écrivions que : Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. La formulation « en fonction de » permet également de déterminer les variables, puisque ce qui suit cette expression est toujours la variable indépendante. En fonction du nombre de fenêtres lavées; variable indépendante : le nombre de fenêtres lavées; variable dépendante : le salaire. f(nombre de fenêtres lavées) = le salaire (variable indépendante) variable indépendante ( x ) f

52 Déterminer la règle dans une mise en situation.
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Pour détecter le taux de variation, il faut comprendre ce qu’est un taux. Un taux est un rapport entre 2 éléments. Exemple : 0,50$ par fenêtre : 0,50$ pour 1 fenêtre. 10 $/heure : 10 $ pour 1 heure 100 km/heure : 100 km pour 1 heure Remarque : Le taux de variation a toujours 1 comme dénominateur. Exemple : Une grue peut déplacer 4 poutres à toutes les deux minutes. 4 poutres 2 minutes 2 poutres 1 minute Taux de variation : = Taux de variation : 2 poutres par minute.

53 Déterminer la règle dans une mise en situation.
Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20 $ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. - L’augmentation régulière est de 0,50 $ par fenêtre. - La fonction est donc une linéaire. - Le taux de variation est : 0,50$. - La valeur initiale est 20$ (salaire de base) - La règle est donc : f(x) = 0,50x + 20 Attention : Le taux de variation est un nombre; il ne doit jamais être accompagné de la variable indépendante. Taux de variation = 0,50 et non 0,50x

54 Aujourd’hui, au Québec, l’unité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre par heure ( km/h ). Avant 1 970, (et encore aujourd’hui aux États-Unis) le système était le mille par heure (mph). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures. Quelle règle permet d’exprimer le mille par heure en fonction du kilométrage par heure ?

55 x1 x2 y1 y2 Variable indépendante : x : Km/h
Variable dépendante : f(x) : MPH D’abord, déterminons au moins 3 couples de coordonnées pour savoir si la relation est linéaire. La lecture doit être la plus précise possible. ( Km/h , MPH ) ( , ) ( , ) ( , ) Ensuite, calculons le taux de variation entre ces couples : a = x1 x2 - y1 y2 = 80 - 50 = 80 160 - 50 100 = 160 - 100 = 0,625 0,625 0,625 Nous sommes bien en présence d’une fonction linéaire : f(x) = 0,625x Il est inutile de calculer b, puisque le premier couple indique ( 0 , 0 ).

56 x est remplacé par la valeur suggérée :
Lorsque la règle d’une fonction est établie, elle sert d’outil pour effectuer certains calculs. Exemple : En utilisant la règle f(x) = 3x + 2 Détermine f (10 ) la valeur de f quand x = 10 (la valeur de la fonction) x est remplacé par la valeur suggérée : f(x) = 3x + 2 f(10) = 3 X = 32 Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 10 , 32 ).

57 x = km/h Exemple : À partir de la règle de la vitesse automobile,
f(x) = 0,625x Calcule en mph, une vitesse de 160 km/h. f(x) = mph x = km/h f(x) = 0,625x f(160) = 0,625 X 160 = 100 Réponse : 100 mph

58 Exercice : Une fonction linéaire passe par les points ( 3 , 36 ) et ( 8 , 71 ).
Détermine f(13). D’abord, il faut déterminer la règle. Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement : f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 3 8 - 36 71 = - Étape 1 : Calculer le taux de variation : a = 7 - Étape 2 : Déterminer b : f(x) = 7x + b avec ( 3 , 36 ) 36 = 7 X 3 + b 36 = 21 + b = b - 21 - 21 15 = b La règle est donc f(x) = 7x + 15

59 Ensuire, utilisons la règle pour déterminer la valeur demandée.
L’équation est f(x) = 7x + 15 f(13) = 7 X = 106 f(13) = 106

60 En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2
y En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 Calcule f(0) : f(x) = 0,5x + 2 f(0) = 0,5 X = 2 x soit le couple ( 0 , 2 ) f(0) est le symbole de l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de f(x) quand x = 0

61 g(x) = 2x + b avec le point ( 4 , 3 )
Exercice Une fonction f(x) passe par les points ( 3 , 7 ) et ( 6 , 13 ). Quelle est l’équation d’une autre fonction g(x) passant par le point ( 4 , 3 ) et qui est parallèle à f(x) ? Étape 1 : Calculer le taux de variation de f(x) : x1 x2 - = y1 y2 3 6 - = 7 13 P1 ( 3 , 7 ) P2 ( 6 , 13 ) 6 3 = 2 Remarque : Il n’est pas nécessaire de déterminer la règle; seul le taux de variation est nécessaire. Étape 2 : Déterminer l’équation de g(x) : Puisque g(x) est parallèle à f(x), son taux de variation est le même. g(x) = ax + b g(x) = 2x + b avec le point ( 4 , 3 ) 3 = 2 X 4 + b = b - 8 -5 = b Donc, g(x) = 2x - 5

62 Conclusion La fonction polynomiale de degré 1, ou fonction linéaire sert à représenter certaines situations de la vie courante. Cette présentation nous a permis d’explorer plusieurs éléments. Beaucoup d’informations ont été présentées, sont très importantes. mais toutes ces informations