Quelques énoncés géométriques

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1 Quelques énoncés géométriques

2 Une des activités de la géométrie consiste à démontrer certains faits concernant les situations géométriques. En général, on essaie de déduire certaines mesures d’angles ou de segments dans des figures. Chaque affirmation doit être accompagnée d’une justification (une preuve). Ces preuves (justifications) sont des énoncés qui ont déjà été démontrés par d’autres mathématiciens auparavant. On peut donc les utiliser afin de prouver nos affirmations.

3 Dans le triangle suivant, que vaut la mesure de l’angle A ?
B C ? 400 Exemple Dans le triangle suivant, que vaut la mesure de l’angle A ? Sachant que la mesure de l’angle B vaut 900 et que la mesure de l’angle C vaut 400, on peut affirmer que la mesure de l’angle A est 500. La mesure de l’angle A peut être déduite, car on peut le prouver par l’énoncé : « La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est »

4 Voici une liste d’énoncés qui te sera utile dans ton travail.
Une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques. Une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu d’un autre segment. Une médiane est un segment joignant un sommet et le milieu du côté opposé. Une hauteur est un segment abaissé d’un sommet perpendiculairement sur le côté opposé.

5 Des angles adjacents sont des angles qui ont le même sommet, un côté en commun et qui sont situés de chaque côté de ce côté commun. A B C D Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs perpendiculaires sont complémentaires. m ABC + m CBD = 900 A B C D Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentaires. m ABC + m CBD = 1800

6 Des angles opposés par le sommet sont des angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un sont les prolongements en ligne droite des côtés de l’autre. A B C D E Les angles opposés par le sommet sont isométriques. m ABC = m DBE

7 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 1800.
B C La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 1800. m A + m B + m C = 1800 600 Dans tout triangle équilatéral, les angles mesurent 600. A B C Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques. Si m A = m C alors m AB = m BC

8 L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle. Les axes de symétrie d’un triangle équilatéral supportent des médianes, des médiatrices, des bissectrices et des hauteurs de ce triangle. 450 Dans tout triangle rectangle isocèle, chacun des angles aigus mesure 450.

9 Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
B C Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires. m B + m C = 900 La mesure du côté opposé à un angle de 300 dans un triangle rectangle est la moitié de celle de l’hypoténuse. 300 8 4 c a b Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse égale la somme des carrés des mesures des cathètes. c2 = a2 + b2

10 Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
m A = m C et m B = m D A B C D Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires. m CBA + m BAD = Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. m AD = m BC et m AB = m DC A B C D E Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. m AE = m EC et m BE = m ED Remarque : Le carré, le rectangle et le losange sont des parallélogrammes.

11 Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement et en leur milieu.
5 Le carré est un losange. Dans un polygone convexe, les diagonales issues d’un sommet divisent ce polygone en autant de triangles qu’il y a de côtés moins deux. La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone est égale à autant de fois 1800 qu’il y a de côtés moins deux : (n – 2). Pour un hexagone : 1800 (6 – 2) = 7200.

12 Le cercle Circonférence : ligne courbe délimitant un cercle. Arc : portion de la circonférence. Corde : segment joignant deux points de la circonférence. Diamètre : corde passant par le centre du cercle. Rayon : segment de droite joignant le centre du cercle à la circonférence. Tangente : droite qui touche le cercle en un seul point.

13 Disque : surface intérieure d’un cercle.
Angle au centre : angle formé par deux rayons. Secteur : portion d’un disque. Dans un cercle, l'angle au centre a pour mesure la mesure en degrés de l'arc compris entre ses côtés. A B C 3600 circonférence m C = m AB

14 A B C D E Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs côtés. m ACB m DCE = m AB m DE A B C D E secteur 1 secteur 2 Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures de leurs angles au centre. aire du secteur 1 aire du secteur 2 = m ACB m DCE

15 Il existe encore beaucoup d’axiomes, d’énoncés et de théorèmes.
D’ici la fin de ton secondaire, tu en découvriras encore plusieurs. Bien connaître tous ces énoncés permet non seulement de justifier les affirmations que l’on peut faire, mais donne aussi des pistes de travail dans l’élaboration de notre démarche.