Faculté des arts et des sciences Département de physique PHY 6790: Astronomie galactique Cours 4: Disque (un peu de théorie Binney & Tremaine – Galactic.

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1 Faculté des arts et des sciences Département de physique PHY 6790: Astronomie galactique Cours 4: Disque (un peu de théorie Binney & Tremaine – Galactic Dynamics) Chapitres 2 & 3 Cours 4: Disque (un peu de théorie Binney & Tremaine – Galactic Dynamics) Chapitres 2 & 3

2 Faculté des arts et des sciences Département de physique

3 Faculté des arts et des sciences Département de physique Disque mince vs disque épais 1.Disque mince (thin disk): composante stellaire principale. Disque mince jeune avec un [Fe/H] moyen ~ 0.0 et une échelle de hauteur exponentielle h z ~ 100pc (avec ISM: HI H 2 ) Disque mince vieux avec un [Fe/H] moyen ~ - 0.3 et une échelle de hauteur exponentielle h z ~ 300pc 1.Disque mince (thin disk): composante stellaire principale. Disque mince jeune avec un [Fe/H] moyen ~ 0.0 et une échelle de hauteur exponentielle h z ~ 100pc (avec ISM: HI H 2 ) Disque mince vieux avec un [Fe/H] moyen ~ - 0.3 et une échelle de hauteur exponentielle h z ~ 300pc

4 Faculté des arts et des sciences Département de physique Disque mince vs disque épais 1.Disque épais (thick disk): deuxième composante stellaire (Gilmore & Reid 1983): échelle de hauteur exponentielle h z ~ 500-1400 pc dispersion des vitesses beaucoup plus grande que celle du disque mince plus pauvre en métaux que le disque mince -2.2 < [Fe/H] < -0.5 1.Disque épais (thick disk): deuxième composante stellaire (Gilmore & Reid 1983): échelle de hauteur exponentielle h z ~ 500-1400 pc dispersion des vitesses beaucoup plus grande que celle du disque mince plus pauvre en métaux que le disque mince -2.2 < [Fe/H] < -0.5

5 Faculté des arts et des sciences Département de physique Disk Galaxy Distribution de brillance de surface en R: (R) = 0 e - R I o, la brillance de surface centrale est ( B ~ 21.65 mag arcsec -2 ): h ( -1 ) échelle de longueur (scale length): 3-4 kpc pour une grande galaxie comme la MW 1.5 kpc pour une petite galaxie comme le LMC Distribution de brillance de surface en z: z 0 échelle de hauteur ~ 0.5-1.0 kpc Distribution de brillance de surface en R: (R) = 0 e - R I o, la brillance de surface centrale est ( B ~ 21.65 mag arcsec -2 ): h ( -1 ) échelle de longueur (scale length): 3-4 kpc pour une grande galaxie comme la MW 1.5 kpc pour une petite galaxie comme le LMC Distribution de brillance de surface en z: z 0 échelle de hauteur ~ 0.5-1.0 kpc R max ~ 3-4 h

6 Faculté des arts et des sciences Département de physique Kregel et al (2001) trouvent R max /h R = 3.6 ± 0.6 pour 34 edge-on galaxies spirales Origine de R max ?

7 Faculté des arts et des sciences Département de physique r-band star counts NGC 300: deep r-band counts avec Gemini GMOS (Bland-Hawthorn, KCF et al): Disque exponentiel continue au moins jusquà 10 h sans truncation

8 Faculté des arts et des sciences Département de physique Disk Galaxy Quest-ce qui garde un disque en équilibre? La majorité de lénergie cinétique est en rotation: Dans la direction radiale, la gravité donne laccélération radiale nécessaire pour le mouvement circulaire des étoiles et du gaz Dans la direction verticale, la gravité est balancée par le gradient de pression vertical provoqué par les mouvements au hasard des étoiles Pour la barre, on croit quelle vient dune instabilité (m=2-4) dun disque supporté par la rotation

9 Faculté des arts et des sciences Disk Galaxy M81M74 Département de physique

10 Faculté des arts et des sciences Département de physique Deux échelles de temps importantes 1)Temps dynamique (période de rotation, crossing time, …) T dyn ~ 2.4 x 10 8 pour la Galaxie 2)Temps de relaxation: dans une galaxie, chaque étoile se déplace dans le potentiel, donné par léquation de Poisson: La densité (r) est la somme de 10 6 à 10 12 fonctions

11 Faculté des arts et des sciences Département de physique Deux échelles de temps importantes Une étoile sur son orbite sent le potentiel smooth des étoiles distantes et le potentiel fluctuant des étoiles proches Question: est-ce que ces fluctuations ont un effet significatif sur lorbite de létoile ? Problème classique – évaluer le temps de relaxation T R – ie le temps pour que les rencontres affectent dune façon significative lorbite dune étoile typique

12 Faculté des arts et des sciences Département de physique Deux échelles de temps importantes v vitesse typique dune étoile m: masse n: densité des étoiles (B&T 187-190)

13 Faculté des arts et des sciences Département de physique Dans des situations galactiques, T R >> age Ex: dans lenvironnement du Soleil: m = 1 n = 0.1 pc -3 v = 20 km s -1 Donc, T R = 5 x 10 12 années >> age de lUnivers Ex: dans le centre dune spirale (MW) n = 10 4 pc -3 v = 200 km s -1 Donc, T R = 5 x 10 11 années > age du disque Mais, dans le centre des amas globulaires où les densités sont beaucoup plus grandes, 10 7 < T R < 5 x 10 9 années, de sorte que les rencontres peuvent avoir un effet sur lévolution dynamique

14 Faculté des arts et des sciences Département de physique Conclusion: dans les galaxies, les rencontres entre les étoiles sont négligeables de sorte que lon peut les considérer comme des systèmes sans collision: est le potentiel smooth de la distribution de masse On est justifié dutiliser léquation de Boltzmann sans collisions Note: dans les spirales, des rencontres entre les étoiles du disque et les nuages moléculaires géants peuvent avoir un effet dynamique

15 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Supposons un potentiel smooth = (r) Potentiel sphérique (ex.: amas globulaires, galaxies elliptiques) Équation du mouvement: Le moment angulaire est constant et lorbite est dans un plan En coordonnées polaires (r, ): Si on intègre où E est lénergie. Une fonction E, dans lespace de phase qui est constante le long dun orbite est appelée une intégrale du mouvement. (B & T, chapitre 3)

16 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Dans notre convention < 0, Force = -d /dr (ie = -GM/r pour une masse ponctuelle)

17 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Lorbite est fermée si = 2 (m/n) où m, n sont des entiers Comme ce nest généralement pas le cas, lorbite est une rosette qui visite chaque point du plan avec r min < r < r max Même dans ce cas sphérique simple, les équations du mouvement doivent être intégrées numériquement

18 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Deux cas spéciaux: = 1/2 2 r 2 (oscillateur harmonique simple, potentiel dune sphère de densité uniforme) Les orbites sont des ellipses fermées centrées à lorigine, = période radiale Le potentiel Keplerien = -GM/r. Les orbites sont des ellipses fermées avec le foyer à lorigine. Lellipse est donnée par: où a et e sont reliés à lénergie E et au moment angulaire L par = 2 = période radiale

19 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Les galaxies ont des distributions de masse entre ces deux extrèmes (sphère & potentiel Keplerien) On peut donc sattendre à une période radiale

20 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires 2)Potentiels axisymétriques = (R,z) (ex.: disque de galaxie) Équations du mouvement: tel que Le mouvement dans le plan (R,z) où le potentiel effectif est:

21 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Voici un exemple dun orbite typique dun système aplati avec un potentiel logarithmique. Les orbites (noirs) ne visitent pas tous les points Ceci est typique de potentiels axisymétriques où (E,L) ne sont pas loin dorbites circulaires

22 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires 3)Orbites presque circulaires (majorité des étoiles dans les disques de galaxies) Équations du mouvement: Lorbite circulaire est définie par: x = R – R g tel que lorbite circulaire est (x,z) = (0,0). Donc, eff à (0,0) est:.

23 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires On écrit lexpansion: Alors et. Ce sont les équations du mouvement pour un oscillateur harmonique simple 2-D. La fréquence est la fréquence épicyclique et z est la fréquence verticale. La fréquence circulaire est:.

24 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Dans les disques de galaxies, (R) est typiquement ~constant à petits R (solid body) et ensuite décroit à grands R (flat part). Dans la région = constant, = 2. Dans la région Képlérienne, =. Donc,. La majorité des spirales nont pas de région Képlérienne dans leur courbe de rotation: dans les régions extérieures: Lorbite est une rosette ouverte Valeurs typiques dans lenvironnement du Soleil: 2 ~ 2.5 x 10 8 a. 2 ~ 1.9 x 10 8 a. 2 z ~ 0.7 x 10 8 a.

25 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Dans le plan (x,y), lorbite est une ellipse avec un rapport daxes < 1, dans le sens rétrograde. Cest ce quon appelle un mouvement épicyclique. La dispersion des vitesses est reliée à lamplitude des épicycles, RR ~ 40 km s -1 et lamplitude-x rms est de 1.1 kpc et R g ~ 8.5 kpc.

26 Faculté des arts et des sciences Département de physique Orbites stellaires Le rapport des composantes de dispersion des vitesses RR pour les étoiles du disque est déterminé par les amplitudes relatives des oscillations en R et en. Les amplitudes relatives sont fixées par la forme de lépicycle, qui lui est déterminé par les propriétés du potentiel. On a, par la théorie des épicycles: Comme observé. Il ny a pas de restriction sur RR / zz. On observe que RR / zz ~ 2 pour la plupart des étoiles du disque.

27 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels (BT, chap.2) Soit un système stellaire avec une densité de distribution (r): Potentiel Équation de Poisson: Accélération Énergie potentielle Théorème de Gauss Intégrale de la force sur la surface fermée = 4 G x masse interne

28 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels (BT, chap.2) Théorèmes de Newton pour des systèmes sphériques: 1)Une coquille (shell) sphérique nexerce aucune force gravitationnelle sur les points intérieurs 2)Laccélération exercée par une coquille sphérique sur les points extérieurs = laccélération exercée par une masse égale située au centre de la coquille (ces théorèmes sappliquent aussi à des systèmes ellipsoïdaux où la densité est stratifiée sur des ellipsoïdes)

29 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels (BT, chap.2) Théorèmes de Newton pour des systèmes sphériques: Laccélération exercée sur un point à lintérieur dune distribution de masse sphérique est donc: Cest un résultat important – il est valable à ~20% près pour une distribution non-sphérique, comme un disque de galaxie spirale.

30 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels (BT, chap.2) Deux vitesses utiles dans une distribution sphérique: La vitesse circulaire V c à r: La vitesse déchappement (escape velocity) V esc à r: Pour un potentiel Képlérien (point mass), lénergie dune étoile est E = 1/2v 2 –GM/r. Une étoile qui séchappe tout juste à linfinité à E = 0 Dans un potentiel (r), lénergie dune étoile est E = 1/2v 2 + (r)

31 Faculté des arts et des sciences Département de physique Exemples de potentiel 1)La sphère homogène: densité constante solid body rotation (vitesse angulaire constante) La période orbitale pour des orbites circulaires: Pour une orbite radiale dans une sphère homogène: Cest un oscillateur harmonique avec une période (3 /G ) 1/2, indépendant de lamplitude. Dans des systèmes plus réalistes où (r) diminue avec r, la période orbitale augmente avec le rayon orbital.

32 Faculté des arts et des sciences Département de physique Exemples de potentiel 2)Loi de puissance pour une distribution de densité sphérique: La majorité des spirales ont V c = cste à grand r, donc ~ 2 et M(r) ~ r. La distribution en loi de puissance = 2 est appelée la sphère isotherme singulière. Le potentiel qui correspond à la sphère = 2 est:

33 Faculté des arts et des sciences Département de physique Exemples de potentiel Sphère isotherme singulière: Cette forme est très utilisée pour la modélisation parce que cest un potentiel simple et réaliste pour les galaxies spirales (à lexception de la singularité centrale). On peut se débarrasser de cette singularité en utilisant: où r c est une longueur appelée rayon de cœur (core radius): il sagit dun rayon de transition entre la région du cœur central (r > r c ) où la vitesse de rotation est constante.

34 Faculté des arts et des sciences Département de physique Exemples de potentiel 3)Plummer model: Le modèle de Plummer a le potentiel dune softened point mass où b est une longueur. La distribution de densité qui va avec ce potentiel est: Le modèle de Plummer est très utilisé. La vitesse circulaire dans un modèle de Plummer a V c ~ r pour petits r (comme une sphère uniforme) et V c ~r -1/2 pour grands r (comme V c pour le cas Képlérien ou la masse ponctuelle)

35 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels de vrais disques Équation de Poisson: Parce que le système est plat, (échelle de longueur en R) >> (échelle de hauteur en z) donc, près du disque (Cette expression est exacte si V c est constant !) La distribution verticale de et la force gravitationnelle verticale d /dr dépend seulement de (R,z) à ce rayon.

36 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels de vrais disques Le problème: on mesure la distribution de lumière I(R) dun disque de galaxie où I est la brillance de surface en mag arcsec -2 (indépendante de la distance) ou Si on suppose que la densité de surface (R) ( ) est proportionnelle à la brillance de surface I(R), on peut mesurer la courbe de rotation attendue V c (R) Comment cela se compare-t-il au V c (R) observée ? Comme vous savez, assez bien pour R < 3 -1. Pour les grands R, la matière sombre devient importante.

37 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels de vrais disques Exemple: la majorité des spirales ont des distributions de brillance de surface I(R) proche dune distribution exponentielle (R) = 0 exp(-R/R d ). Alors (6) où y = R/2R d et I 0 K 0 I 1 K 1 sont des fonctions de Bessel modifiées (B&T p.78).

38 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels de vrais disques Une exponentielle I(R) nest pas toujours un fit parfait à la distribution de brillance de surface observée de sorte quil est mieux dintégrer numériquement. (R) est observée (en fait I(R) est observée et on suppose que le rapport masse-luminosité est constant en fonction de R) Ensuite on intègre (6) numériquement pour obtenir V c. Ceci nous donne la forme fonctionnelle de V c (R) est un facteur déchelle qui détermine lamplitude de V c (R). est déterminé en ajustant lamplitude de la courbe calculée à la courbe observée. Typiquement, dans la bande I (~800nm).

39 Faculté des arts et des sciences Département de physique VcVc R V c observée V c calculée pour un disque Fit de courbes de rotation

40 Faculté des arts et des sciences Département de physique Potentiels de vrais disques Calculer V c (R) à partir de (R) fonctionne bien car ça implique intégrer la densité observée. On peut aussi faire linverse, i.e. calculer à partir de V c (R): ce qui implique différencier les V c (R) observées (note: il faut faire attention car différencier des données peuvent amplifier les erreurs observationnelles)

41 Faculté des arts et des sciences Département de physique FIN