MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Présentation au sujet: "MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I"— Transcription de la présentation:

1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Troisième cours ACT Cours 3

2 Rappel: Valeur actuelle d’un capital ACT Cours 3

3 Rappel: Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation
ACT Cours 3

4 Rappel: Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation
Taux effectif d’escompte ACT Cours 3

5 Rappel: Valeur actuelle d’un capital Fonction d’actualisation
Taux effectif d’escompte Équivalence de taux ACT Cours 3

6 Sur ce dernier point, nous avons vu que
Rappel: Sur ce dernier point, nous avons vu que où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectif d’intérêt et d, un taux effectif d’escompte. ACT Cours 3

7 Exemple 1: Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres: 1) soit qu’il paie 2400$ dans un an 2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%. ACT Cours 3

8 Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? ACT Cours 3

9 Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? À quel taux d’escompte, les deux options sont équivalentes? ACT Cours 3

10 Solution pour la première question:
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est ACT Cours 3

11 Solution pour la première question:
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est ACT Cours 3

12 Solution de la première question (suite):
Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plus avantageuse pour Alex. ACT Cours 3

13 Solution pour la deuxième question:
Notons par d le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Alors nous avons ACT Cours 3

14 Solution pour la deuxième question:
Donc d = %. Ceci est tout simplement la formule d’équivalence: ACT Cours 3

15 Autres formules d’équivalence:
Nous avons Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: ACT Cours 3

16 Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est ACT Cours 3

17 Autres formules d’équivalence:
Nous avons vu que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: ACT Cours 3

18 Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est ACT Cours 3

19 Explication de la formule: (suite)
Nous avons Capital investi au début de la période: ACT Cours 3

20 Explication de la formule: (suite)
Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: ACT Cours 3

21 Explication de la formule: (suite)
Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt: ACT Cours 3

22 Autres formules d’équivalence:
Nous avons que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: ACT Cours 3

23 Explication de la formule:
Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an. ACT Cours 3

24 Explication de la formule:
Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an. Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollar dans un an et l’emprunteur recoit initialement (1 - d) dollar. ACT Cours 3

25 Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d ACT Cours 3

26 Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id ACT Cours 3

27 Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts: i - d ACT Cours 3

28 Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT Cours 3

29 Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT Cours 3

30 Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT Cours 3

31 Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT Cours 3

32 Escompte composé: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par d, alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation ACT Cours 3

33 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) ACT Cours 3

34 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2 ACT Cours 3

35 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2 En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - d)2 dollars au début de la 1ère période. ACT Cours 3

36 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans une situation d’escompte composé: ACT Cours 3

37 et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:
Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans une situation d’escompte composé: et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: ACT Cours 3

38 L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé
L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par la formule: ACT Cours 3

39 Escompte simple: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par d, alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation. ACT Cours 3

40 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) ACT Cours 3

41 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d) ACT Cours 3

42 Principal investi au début de la 1ère période pour
avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d) En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - 2d) dollars au début de la 1ère période. ACT Cours 3

43 Noter que nous devons supposer
Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple: Noter que nous devons supposer ACT Cours 3

44 Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction de capitalisation:
L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple! ACT Cours 3

45 En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt i tel que
Le terme de droite de l’équation ci-dessus est une fonction linéaire, alors que le terme de gauche ne l’est pas. ACT Cours 3

46 Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans? ACT Cours 3

47 Exemple 2: (suite) Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons 4000( )5 = $ ACT Cours 3

48 Exemple 2: (suite) Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année c’est-à-dire que le taux d’intérêt équivalent est %. Nous obtenons alors une autre approche. ACT Cours 3

49 Exemple 2: (suite) Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt composé de % par année. Nous obtenons que Alex reçoit ACT Cours 3

50 Exemple 3: Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L? ACT Cours 3

51 Exemple 3: (suite) Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est ACT Cours 3

52 Comparaison: Si nous comparons les fonctions d’actualisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux d, nous obtenons le graphique suivant: ACT Cours 3

53 ACT Cours 3

54 Nous avons que et ACT Cours 3

55 ACT Cours 3

56 Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par période. Il existe un autre type de taux tant pour l’intérêt que l’escompte: le taux nominal ACT Cours 3

57 Exemple 4: Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): % par année et % par jour. Comment interpréter ce taux de 18.50% par année? ACT Cours 3

58 Exemple 4: (suite) Si nous considérons le taux % par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons ( ) = = ACT Cours 3

59 Exemple 4: (suite) Si nous considérons le taux % par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons ( ) = = Ce taux quotidien de % correspond à un taux annuel de % par année et non au taux de 18.50% par année. ACT Cours 3

60 Exemple 4: (suite) La raison est que le 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que ACT Cours 3

61 Taux nominal d’intérêt:
Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m) ACT Cours 3

62 Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m. ACT Cours 3

63 Exemple 5: Un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire i(4) = 8% par année. Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir? ACT Cours 3

64 Le taux d’intérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de
Exemple 5: (solution) Le taux d’intérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois ACT Cours 3

65 Exemple 5: (solution) Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%: 10000( )-20 = $ ACT Cours 3

66 Équivalence de taux: Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt i(m) par année capitalisé m fois par année, nous obtenons ACT Cours 3

67 Équivalence de taux: (suite)
L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-ième de période égal à et la valeur accumulée est ACT Cours 3

68 Équivalence de taux: (suite)
Si le taux effectif d’intérêt i est équivalent au taux nominal d’intérêt i(m), alors ACT Cours 3

69 Équivalence de taux: (suite)
Donc et ACT Cours 3

70 Exemple 6: Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2e année? ACT Cours 3

71 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 9%, i.e. que le taux d’intérêt par mois est ACT Cours 3

72 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années. ACT Cours 3

73 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années. La valeur accumulée sera 2500( )24 = $ ACT Cours 3

74 Taux nominal d’escompte:
Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m) ACT Cours 3

75 Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an au taux nominal d’escompte d(m), alors nous obtenons ACT Cours 3

76 Équivalence de taux: Supposons que les taux suivants sont équivalents
Taux effectif d’intérêt: i Taux nominal d’intérêt: i(m) Taux effectif d’escompte: d Taux nominal d’escompte: d(p) ACT Cours 3

77 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de l’année, nous obtenons
ACT Cours 3

78 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de l’année, nous obtenons
En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons ACT Cours 3

79 L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes
ACT Cours 3