intro2 La didactique des mathématiques

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1 intro2 La didactique des mathématiques
De l’art d’enseigner les mathématiques à la didactique et à l’étude des situations ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

2 Des pratiques anciennes…
Enseigner des techniques 0,5 Million d’années Mathématiques 6000 Ans éduquer les enfants 2 à 5millions d’années ? ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

3 et l’étude de ces pratiques
Étude des Mathématiques Didactique Art d’enseigner tout à tous Papyrus Rhind - 18ième siècle Av.JC Comenius 1632 L’enseignement, l’apprentissage et l’éducation mathématique 18ième-21ième siècles Pédagogie Art d’ éduquer les enfants ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

4 intro2 La didactique des mathématiques
Au début du 20ième siècle, l’éducation n’est toujours pas l’objet d’une Science Didactique Art d’enseigner Mathématiques Philosophie L’éducation mathématique L’enseignement et l’apprentissage Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

5 Elle est un champ (scientifique ?) pour les sciences constituées
Mathématiques Logique Statistique Sociologie Psychologie Linguistique Neurosciences Histoire de l’Éducation Médecine Droit, déontologie de l’éducation Anthropologie Economie Didactique Art d’enseigner L’éducation mathématique L’enseignement et l’apprentissage Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

6 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Méthodologie Conception Description de méthodes D’enseignement Certains proposent de fonder les méthodes d’enseignement sur la connaissance scientifique des processus psychologiques généraux et notamment sur le behaviorisme. Mais en l’absence d’une analyse systématique de stimuli spécifiques, ce domaine ne peut proposer que des prescriptions générales Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

7 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Méthodologie Conception Description de méthodes D’enseignement De leur côté les mathématiques se développent, mais aussi elles se renouvèlent : Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements, leur structure et la conception de leur mode de fonctionnement et de leur rôle social se modifient profondément… Leurs rapports avec la logique, avec les autres sciences, avec l’histoire des concepts mathématiques - et donc avec leur l’enseignement - se renouvellent au sein d’un domaine nouveau de la philosophie : l’épistémologie, la théorie des sciences. Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

8 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Confrontation à la contingence ? Méthodologie Conception Description Histoire des Maths Limitée à l’étude philosophique fondée sur des évènements historiques passés, donc non reproductibles, par définition, l’épistémologie n’est pas une science expérimentale. Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

9 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Nouveaux résultats Nouvelle organisation Epistémologie Méthodologie Conception Description Histoire des Maths L’épistémologie pourrait proposer de nouvelles conceptions et de nouvelles organisations de l’enseignement des mathématiques mais la méthodologie ne peut pas les étudier de façon expérimentale et scientifique Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

10 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Nouveaux résultats Nouvelle organisation Epistémologie Méthodologie Conception Description Histoire des Maths Épistémologie génétique De plus, les conceptions pédagogiques et méthodologiques classiques sont l’objet de critiques de la part des sciences psychologiques Pédagogie Art d’ éduquer Psychologie cognitive ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

11 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Mathématiques Nouveaux résultats Nouvelle organisation Epistémologie élargie Confrontation à la contingence Méthodologie Conception Description Histoire des Maths Épistémologie génétique Psychologie cognitive Ainsi d’abord prolongée par l’épistémologie génétique (étude du développement des connaissances chez l’enfant) puis par la psychologie génétique et cognitive. l’épistémologie élargie peut tendre à devenir une science expérimentale. Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

12 intro2 La didactique des mathématiques
Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et de sa genèse, l’épistémologie peut se soumettre à des expériences par l’intermédiaire de la psychologie cognitive et génétique, puis par les neurosciences. Or les processus neurologiques ne déterminent pas seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus individuels et collectifs de la création d’un concept précis. D’autre part les apports de ces deux domaines semblent contredire fortement de nombreux principes de la méthodologie classique Or l’étude de la re-création des connaissances spécifiques au cours de processus didactiques peut fournir à l’épistémologie une confrontation expérimentale plus directe de ses thèses avec la contingence. Cette étude est à la fois plus visible et plus nécessaire lorsque le développement rapide des mathématiques conduit à essayer de modifier la méthodologie de leur enseignement ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

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Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie élargie Méthodologie Conception Description Confrontation à la contingence ? L’épistémologie élargie ne peut toujours pas étudier scientifiquement les conditions sociales et culturelles de l’apparition des connaissances spécifiques, ni en concevoir de nouvelles à partir des observations Elle ne peut donc pas être la théorie de la méthodologie Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

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Pratiques et savoirs didactiques Comenius avait énoncé une série de principes et de règles fondamentales pour « enseigner toutes les matières – y compris la morale - avec une méthode unique »avec seulement quelques compléments particuliers. « Un seul maître suffit à n’importe quel nombre d’élèves, ceux d’une même classe font la même chose simultanément,avec le même livre,… « Tout ce qui doit être su doit être enseigné, comme actuel et utile, directement et sans détour » « L’enseignement direct fait voir les causes, il commence par les généralités et va ensuite aux détails. Les connaissances doivent être présentées une à une et une seule à la fois Il faut insister jusqu’à parfaite compréhension… » Au début du 20ième siècle la discussion des principes de l’éducation appartient à la Pédagogie, L’étude des méthodes préconisées par les grands éducateurs et/ou pratiquées par les professeurs fait l’objet de la Méthodologie. ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

15 Les situations mathématiques
En comparant la résolution des problèmes à l’histoire des concepts mathématiques, il apparaît que certaines conditions, qui disparaissent de l’énoncé final, jouent un rôle essentiel. Ces conditions peuvent être considérées comme un milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce jeu peut être modélisé par une « situation ». Ainsi chaque concept mathématique peut être associé à des conditions dans lesquelles un être humain est amené à produire, comme réponse, un comportement spécifique témoignant d’une certaine connaissance d’un concept mathématique La notion de « situation » que nous définirons et étudierons d’abord, élargit donc la notion de « problème » et permet d’introduire d’autres paramètres que la validité logique (Ex. : efficacité). Cf. énoncés  théorèmes  problèmes  situations ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

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Schéma d’une Situation mathématique Connais-sances Figure 1 Milieu matériel, social etc. Invention apprentissage Sujet apprenant adaptation ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

17 Connaissances et savoirs mathématiques
Nos connaissances mathématiques sont le résultat d’activités complexes, individuelles et collectives très diverses. Une partie d’entre elles peut s’exprimer par des termes, des définitions, des théorèmes…, et sont des références culturelles, ce sont les « connaissances - savoir ». Appelons les « savoirs » D’autres interviennent dans les décisions mais elles sont instables, incertaines ou même fausses ou inexprimables, elles naissent et disparaissent selon les circonstances mais elles sont indispensables à la pensée et à l’apprentissage. Appelons les « connaissances » Enseigner les mathématiques consiste à enseigner les savoirs et l’usage des connaissances. Il n’y a donc pas d’autre moyen que de susciter chez les élèves des activités similaires à celles des mathématiciens qui les produisent. Tout apprentissage est un phénomène épistémologique ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

18 intro2 La didactique des mathématiques
De façon classique l’activité mathématique est provoquée par des problèmes et des exercices obtenus en transformant le texte de certains théorèmes. Cette méthode présente l’inconvénient d’instaurer l’organisation standard des textes mathématiques comme le modèle de la pensée mathématique naturelle et vivante et ainsi de réduire cette pensée créative à sa fonction de démonstration. La responsabilité de cette représentation de la pensée mathématique repose entièrement sur le professeur qui est conduit à réprimer tout écart à ce modèle. Les connaissances éventuellement provoquées par le problème doivent être immédiatement traduites en savoirs ou réprimées Toute manifestation d’une connaissance que le professeur sait être une erreur ou une digression, devient une faute qu’il doit réprimer. Il en résulte une tension qui est difficile à supporter pour la plupart des élèves et des professeurs . Les connaissances deviennent sulfureuses et l’activité mathématique devient individuelle et solitaire. ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

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Remplacer certains problèmes par des situations permet de déférer une part cette responsabilité à un milieu chargé de laisser libre cours à la pensée de l’élève, et de lui en montrer les conséquences, indépendamment du professeur… qui devient alors disponible pour une attitude positive. Toute la difficulté de l’ingénierie didactique consiste alors à faire que les réactions du milieu soient instructives, c’est-à-dire conduisent assez rapidement à résoudre le problème (souvent caché) en comprenant sa résolution. Autrement dit qu’il produise des réactions non seulement correctes mais suggestives et pertinentes, c’est-à-dire spécifiques de la connaissance à produire et adaptées à la démarche de l’élève. Un milieu faiblement significatif, qui se borne par exemple à indiquer « réussite/échec » sans que chaque expérience apporte d’autre information que l’élimination d’une issue possible est un milieu très dispendieux et inefficace La relation didactique peut être modélisée par un système composé d’un élève et d’un milieu dont le professeur n’est qu’une partie. Ce modèle permet de mieux analyser les observations des épisodes de classe ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

20 L’épistémologie expérimentale
Les situations retiennent des ensembles de conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui rend possible leur reproduction et leur analyse à l’aide de leurs effets sur les décisions des élèves. Noter bien qu’il s’agit d’une étude des situations et non pas d’une étude des élèves. Ainsi les situations permettent, - de reproduire à volonté des phénomènes pour les étudier, ce qui fonde l’épistémologie expérimentale des mathématiques - d’éprouver et d’améliorer des dispositifs pour l’enseignement d’une connaissance, ce qui fonde l’ingénierie didactique - d’étudier les dispositifs pour la psychologie du développement des connaissances des élèves ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

21 Epistémologie Expérimentale
Didactique Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Expérimentale Méthodologie Conception Description Confrontation à la contingence ? Étude des Situations mathématiques Ingénierie des dispositifs Observation Méthodes d’observation des situations mathématiques Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

22 Les situations didactiques
Les situations mathématiques sont utilisées pour faire produire et apprendre aux élèves des connaissances mathématiques. Ces connaissances apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui leur est spécifique et qui permet à l’élève de les reconnaître, de les comprendre, de les apprendre et de les utiliser. Aucune intervention extérieure n’est nécessaire pour la construction historique des mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par contre, dans les processus d’apprentissage, l’intervention du professeur et de la société sont indispensables et le sens des mathématiques enseignées peut en être changé. Il faut donc reprendre l’étude des situations mathématiques en considérant chacune comme une partie d’une situation didactique. Celle-ci sera définie comme « un système de conditions qui permet à un professeur et à un groupe d’élèves de s’acculturer à une partie déterminée des mathématiques ». ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

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Le « triangle didactique » Figure 2 Savoir scolaire Transposition didactique Système Educatif apprentissage Elève communication ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

24 intro2 La didactique des mathématiques
La situation didactique utilise des situations mathématiques Savoir scolaire Elève Système Educatif Connais-sances Sujet apprenant Milieu matériel, social etc. organisation Figure 3 Ce schéma évite la confusion des fonctions Et l’éviction du milieu ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

25 intro2 La didactique des mathématiques
Note sur le milieu, les situations et les problèmes. La situation est composée de règles (d’un jeu) proposées par le professeur et d’un milieu composé de contingences matérielles et des savoirs de l’élève Le milieu et les règles déterminent ensemble la trouvaille probable de la réponse et de la solution. Mais la validité des « informations » qui apparaissant dans les rapports de l’élève avec le milieu ne sont plus de la responsabilité du professeur. Celui n’étant donc plus obligé de dénoncer et de rectifier immédiatement celles qu’il sait fausses, comme il est obligé de le faire dans le cas de la résolution d’un problème, peut laisser se développer une activité mathématique authentique et publique de la part de l’élève, sans déroger à sa mission de professeur, garant de la vérité de qui apparaît Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de son rôle, une situation devient un simple problème, c’est-à-dire une reconstitution de texte suivant la logique de l’exposé d’un texte. Ce qui ne simule et ne développe qu’une des composantes de l’activité mathématique et qui en modifie la signification et l’usage ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

26 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Epistémologie Expérimentale Situations mathématiques Méthodologie Conception Description Situations didactiques en mathématiques Ingénierie didactique Observation Méthodes d’observation des situations didactiques Etudes des situations didactiques en mathématiques Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

27 intro2 La didactique des mathématiques
Art d’enseigner Epistémologie Expérimentale Etudes des situations didactiques et des curriculums en mathématiques Méthodologie Conception Description Microdidactique Domaines de la Didactique des Mathématiques abordés dans ce cours Macrodidactique Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

28 Mathématiques Didactique Art d’enseigner Approches globales Epistémologie Expérimentale Méthodologie Conception Description Théories des situations Théorie anthropologique Approches théoriques et expérimentales de la Didactique des Mathématiques Champs conceptuels Registres Pédagogie Art d’ éduquer Approches locales ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

29 intro2 La didactique des mathématiques
Epistémologie Expérimentale Didactique Art d’enseigner Méthodologie Conception Description Didactique théorique et expérimentale des Mathématiques Didactique empirique des mathématiques Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

30 L’étude des situations
Programme du cours ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

31 intro2 La didactique des mathématiques
1ère Partie 2ème Partie Situations mathématiques Curriculums mathématiques Ingénierie mathématique et didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations mathématiques Théorie des situations mathématiques à usages didactiques Ingénierie Mathématique et didactique Observations longitudinales Observation Méthodes d’observation des situations mathématiques Méthodologie de l’observation Méthodes d’observation des curriculums didactiques Modélisation et Eléments Fondamentaux des curriculums Théorie des curriculums didactiques en mathématiques Méthodologie de la recherche expérimentale ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

32 intro2 La didactique des mathématiques
3ème Partie 4ème Partie Macrodidactique des mathématiques Situations didactiques en mathématiques Observation d’épisodes didactiques Ingénierie didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations didactiques Théorie des situations didactiques en mathématiques Observations macrodidactiques cadres conceptuels Méthodes d’observation des situations didactiques Modélisation des phénomènes systèmes à agents didactiques Théories behavioristes et économiques Théories Anthropologiques du Didactique Ethno mathématiques Méthodologie de la recherche expérimentale en didactique ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques

33 4ième Partie : Phénomènes de Macro didactique
La microdidactique étudie comment les connaissances humaines sont diffusées, reproduites et utilisées par les individus et par les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée à la microéconomie. La théorie des situations didactiques appartient à la microdidactique. Elle étudie la relation didactique Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique, c’est-à-dire l’étude scientifique de tous les phénomènes en rapport avec la diffusion des connaissances mathématiques dans les différentes sociétés humaines? Dans ce cas, l’ethnomathématique serait la partie anthropologique de la macrodidactique des mathématiques - La Théorie Anthropologique du Didactique (Anthropologie des savoirs) fera l’objet d’un chapitre introductif à part ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques