ACT2025 - Cours 5 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours.

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1 ACT2025 - Cours 5 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours

2 ACT2025 - Cours 5 Rappel : Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt

3 ACT2025 - Cours 5 Rappel : Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant

4 ACT2025 - Cours 5 Rappel : Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison

5 ACT2025 - Cours 5 Rappel : Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison Diagramme dentrées et sorties

6 ACT2025 - Cours 5 Rappel : Taux instantané de lintérêt ou force de lintérêt Taux instantané de lintérêt constant Date de comparaison Diagramme dentrées et sorties Équation de valeur

7 ACT2025 - Cours 5 Si nous connaissons la fonction daccumulation A(t) alors le taux instantané de lintérêt est Rappel :

8 ACT2025 - Cours 5 Si nous connaissons le taux instantané de lintérêt x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction daccumulation Rappel :

9 ACT2025 - Cours 5 Le montant dintérêt gagné pendant la période allant de 0 jusquau temps t Le montant dintérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusquau temps t = b est Rappel :

10 ACT2025 - Cours 5 Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée dun prêt: échéance moyenne, duplication du capital

11 ACT2025 - Cours 5 Échéance moyenne: Léchéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s 1 + s 2 +... + s n ) dollars est équivalent à n versements de s 1, s 2,..., s n dollars respectivement payables aux moments t 1, t 2,..., t n.

12 ACT2025 - Cours 5 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Échéance moyenne: (suite)

13 ACT2025 - Cours 5 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est : Rappelons que Échéance moyenne: (suite)

14 ACT2025 - Cours 5 De ceci, nous obtenons que Échéance moyenne: (suite)

15 ACT2025 - Cours 5 De ceci, nous obtenons que Échéance moyenne: (suite) Donc

16 ACT2025 - Cours 5 Finalement nous obtenons Échéance moyenne: (suite)

17 ACT2025 - Cours 5 Finalement nous obtenons Échéance moyenne: (suite) ou encore

18 ACT2025 - Cours 5 Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de lintérêt constant équivalent au taux dintérêt composé i, cest-à-dire e = (1 + i) ou encore = ln(1 + i) Échéance moyenne: (suite)

19 ACT2025 - Cours 5 Échéance moyenne approché: Il est possible dapproximer la valeur de t* par léchéance moyenne approchée: En effet,

20 ACT2025 - Cours 5 Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si, x sont des nombres réels et -1 < < 1 et développer t = (1 + i) -t en série.

21 ACT2025 - Cours 5 Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux dintérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons quelle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement?

22 ACT2025 - Cours 5 Nous devons calculer léchéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant: Exemple 1: (suite)

23 ACT2025 - Cours 5 Le taux dintérêt est i = 6% par année. Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est 1500(1.06) -5 + 3500(1.06) -7 + 3000(1.06) -8 + 2500(1.06) -12 | 10500(1.06) -t* Exemple 1: (suite)

24 ACT2025 - Cours 5 Nous obtenons que léchéance moyenne est alors t* = 8.038029924 années soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes. Exemple 1: (suite)

25 ACT2025 - Cours 5 Par contre, nous obtenons que léchéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes. Exemple 1: (suite)

26 ACT2025 - Cours 5 Il est possible de montrer que nous avons toujours Remarque 1:

27 ACT2025 - Cours 5 Linégalité est une conséquence de linégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: Remarque 1: (suite)

28 ACT2025 - Cours 5 Combien faut-il de temps pour quun capital investi double? Duplication du capital:

29 ACT2025 - Cours 5 Si nous investissons un capital de K dollars au taux dintérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons K(1 + i) t = 2K Duplication du capital: (suite)

30 ACT2025 - Cours 5 Après simplification, nous obtenons (1 + i) t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de légalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) Duplication du capital: (suite)

31 ACT2025 - Cours 5 Après simplification, nous obtenons (1 + i) t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de légalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) Finalement Duplication du capital: (suite)

32 ACT2025 - Cours 5 Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Duplication du capital: (suite)

33 ACT2025 - Cours 5 Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément, Duplication du capital: (suite)

34 ACT2025 - Cours 5 Exemple 2: Si le taux dintérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double

35 ACT2025 - Cours 5 Exemple 2: Si le taux dintérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation

36 ACT2025 - Cours 5 Combien faut-il de temps pour quun capital investi triple? Triplication du capital:

37 ACT2025 - Cours 5 Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est Triplication du capital: (suite)

38 ACT2025 - Cours 5 Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Triplication du capital: (suite)

39 ACT2025 - Cours 5 Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, Triplication du capital: (suite)

40 ACT2025 - Cours 5 Si le taux dintérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Exemple 3:

41 ACT2025 - Cours 5 Si le taux dintérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation Exemple 3:

42 ACT2025 - Cours 5 Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux dintérêt.

43 ACT2025 - Cours 5 Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme dentrées et sorties est Situation 1:

44 ACT2025 - Cours 5 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i) n = A où P, A et n sont connus. Situation 1: (suite)

45 ACT2025 - Cours 5 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i) n = A où P, A et n sont connus. Situation 1: (suite) Nous obtenons facilement que

46 ACT2025 - Cours 5 Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, léquation de valeur nous permet décrire une équation sous la forme f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue après avoir transféré tous les termes dun côté de léquation de valeur à lautre. Situation 2:

47 ACT2025 - Cours 5 Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: Méthode de bissection Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. Situation 2: (suite)

48 ACT2025 - Cours 5 Déterminons le taux dintérêt dun prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 4:

49 ACT2025 - Cours 5 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000(1 + i) 9 + 5000(1 + i) 7 | 4000(1 + i) 5 + 4000(1 + i) 3 + 2000(1 + i) 2 + 3000 Exemple 4: (suite)

50 ACT2025 - Cours 5 Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

51 ACT2025 - Cours 5 Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où

52 ACT2025 - Cours 5 Nous pouvons noter que f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796 Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. Exemple 4: (suite)

53 ACT2025 - Cours 5 Nous pouvons noter que f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796 Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sous- intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons le tableau. Exemple 4: (suite)

54 ACT2025 - Cours 5 if(i)f(i) 4%-833.0496513 6%601.3797796 5%-148.4830568 5.5%218.011650 5.25%32.690028 5.125%-58.410764 5.1875%-12.989460 5.21875%9.817942 5.203125%-1.593838 Exemple 4: (suite)

55 ACT2025 - Cours 5 Donc nous pouvons conclure que le taux dintérêt recherché est approximativement 5.2% par période de capitalisation. Si nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos calculs en subdivisant de plus en plus lintervalle de départ. Exemple 4: (suite)