La programmation dynamique

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1 La programmation dynamique

2 Le chemin optimal y  V( x ) B D A F C E Notations :
Désignons par V ( x ) l’ensemble des taches à accomplir dans un projet, Soit C ( x , y ) le cout nécessaire pour réaliser une tache et passer à la deuxième, Soit f ( x ) le chemin optimal pour réaliser toutes les taches entre x et F . f ( x ) = min C ( x , y ) + f ( y ) et f ( F ) = 0 y  V( x ) 9 f( F ) = 0 f( D ) = 11 + f ( F ) f( E ) = 38 + f ( F ) f( B ) = min{ 9 + f ( D ) , 15 + f ( E ) } f( C ) = min{ 37 + f ( D ) , 12 + f ( E ) } f( A ) = min{ 40 + f ( B ) , 13 + f ( C ) } B D 40 11 15 A F 37 13 38 C E 12

3 Le chemin optimal Nous résolvons ces contraintes par substitution :
f( F ) = 0 f( D ) = 11 f( E ) = 38 f( B ) = 20 f( C ) = 48 f( A ) = 60 f( A ) = 60 = 40 + f( B ) = f( D ) = 9 B D 40 11 15 A F 37 13 38 C E 12

4 Le chemin optimal Principe : « toute partie d’un chemin optimal est elle-même optimale » Exemple : projet de voie ferrée entre A et L Démarche générale pour la construction du graphe Calculs séquentiels et élimination de sous-chemins E 2 7 I B 8 6 5 1 2 F 3 3 4 5 J L C 4 A 8 8 9 G 6 2 5 7 D 4 K 7 H 6

5 L’optimisation des coûts par le moyen de la méthode hongroise

6 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Application : • Les coûts de réalisation des taches selon les différentes équipes sont donnés par le tableau ci-dessous. • Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût de ce projet au minimum Management Logistique

7 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 1: Obtention des zéros Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ). Management Logistique

8 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 2:Recherche d’une solution optimale - On cherche la ligne ou des lignes comptant le moins de zéro. - On encadre un des zéros de cette ligne, puis on barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et dans la même colonne que les zéros encadrés. - On répète le processus pour les lignes restantes. Un zéro encadré par ligne ⇒ Solution optimale Management Logistique

9 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va appliquer l’étape 3 et 4 de l’algorithme. Management Logistique

10 Recherche Operationnelle
Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 3:Recherche des rangées en nombre minimal contenant tous les zéros: a. On marque d’une croix toute ligne ne contenant aucun zéro encadré. b. On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une ou plusieurs lignes marquées. c. On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une ou plusieurs colonnes marquées. d. On répète b) et c) jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de colonne ou de ligne à marquer. On trace un trait sur toute colonne marquée. On trace un trait sur toute ligne non marquée. Management Logistique

11 Recherche Operationnelle
Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique

12 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 4: Déplacement de certains zéros: -Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait. - Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux éléments rayés deux fois et retranché des éléments du tableau. - Retour à la phase 2. Management Logistique

13 Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau ci-dessous: Management Logistique

14 Recherche Operationnelle
Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique

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Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique